NOM : ENONCE ET FEUILLE REPONSE Respecter les consignes Exercice 1 Dans le plan rapporté au repère orthonormé direct (O ; U, V), on appelle A le point d’affixe -1 + i√3, B celui d’affixe
√2 + i√2, J celui d’affixe -1. On notera également zA, zB et zJ les affixes respectifs des points A, B et J.
On note z1 le complexe B
A
z z 1) a) Ecrire z1 sous forme
exponentielle.
b) Quels sont les définitions, propriétés, théorèmes ou règles de calculs utilisés pour répondre au a) ?
On appelle K le point d’affixe zK tel que zK = z1zJ. 2) a) Ecrire zK sous
forme exponentielle.
b) Ecrire zK
sous forme algébrique.
c) Présenter ci-dessous le calcul de zk permettant d’obtenir la forme algébrique demandée.
3) A tout point P d’affixe z, on associe le point P’ d’affixe z’ tel que z’ = z1z.
a) Ecrire une valeur en radians
de l’angle orienté
(
OP, OP 'JJJG JJJJG)
. b) Le point P décrivant le segment [AJ], quel est l’ensemble décrit par P’ ? c) Justifier la réponse au 3)b).Exercice 2
Dans cet exercice il s’agit de trouver la valeur moyenne m sur ;2 6 3
π π
de la fonction f telle que f(x) = -2 cos2(3x) sin(5x).
Pour calculer cette valeur moyenne, il convient de trouver une primitive de f.
L’écriture donnée de f(x) n’est pas une écriture adaptée : il faut d’abord linéariser f(x). La méthode de linéarisation est laissée au choix (calculs à l’aide des « formules » trigonométriques ou à l’aide des formules dites d’Euler …).
1) a) Ecrire la forme linéarisée de f(x) obtenue à la suite du calcul fait au brouillon.
b) citer les théorèmes utilisés pour obtenir cette écriture.
2) a) Présenter alors, au dos de cette feuille, un calcul justifié d’une primitive de f.
b) Ecrire la valeur exacte de la moyenne m.
NOM : ENONCE ET FEUILLE REPONSE Respecter les consignes Exercice 3 Soit une fonction f définie sur ]7 ; +∞[ et telle que, pour tout x > 7, f(x) = ln (3x – 2) + ln (x – 7). On appelle C la courbe représentative de f
1) Présenter une étude justifiée des sens de variations de f.
On veut savoir en quel(s) point(s) la courbe C coupe l’axe des abscisses, et, s’il y a des points d’intersection, on veut préciser les coordonnées exactes de ces points concernés. Pour répondre à ce questionnement on peut résoudre une équation ou un système d’équations.
2) a) Ecrire l’équation ou le système d’équations.
b) Ecrire les coordonnées (exactes) de chaque point d’intersection.
c) Citer les définitions, propriétés et théorèmes (de ce niveau) utilisés pour résoudre l’équation ou le système.
On veut savoir si la courbe C possède une tangente de coefficient directeur 1, et si oui, on veut préciser les coordonnées exactes des points concernés. Pour répondre à ce questionnement on peut résoudre une équation.
3) a) Ecrire l’équation ou le système d’équations.
b) Ecrire l’abscisse (exacte) de chaque point concerné.
On veut connaître les coordonnées des points d’intersection de C et de la droite d d’équation y = x – 6.
Pour cela on propose d’étudier, pour x > 7, les sens de variations de g(x) = ln (3x – 2) + ln (x – 7) – x + 6, et d’utiliser des propriétés adéquates.
4) a) Faire un tableau de synthèse montrant comment est étudié le signe de la dérivée de g, et donnant les sens de variations de g.
NOM : ENONCE ET FEUILLE REPONSE Respecter les consignes b) Ecrire des encadrements d’amplitude 10-2
des abscisses de chacun des points d’intersection de C et de d.
c) Citer les définitions, propriétés et théorèmes clés et essentiels utilisés
pour répondre à b).
On veut calculer le nombre U d’unités d’aire de la partie du plan comprise entre la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 8 et x = 10. Ce qui suit est fait pour aboutir à ce calcul.
5) a) Ecrire la dérivée de la fonction h, définie sur ]7 ; +∞[,
telle que h(x) = x 2 ln 3x – 2
( )
3
−
.
b) Ecrire les théorèmes utilisés pour faire ce calcul.
c) Déduire de a) une écriture d’une primitive de ln (3x – 2).
On admet qu’une primitive de ln (x – 7) est (x – 7) ln (x – 7) – x.
d) Présenter un calcul justifié de U.
Le résultat sera présenté sous la forme a ln 2 + b ln 3 + c ln 7 + d ln 11 + e, où a, b, c, d et e sont des quotients d’entiers.
Eléments pour un corrigé
Exercice 1 Dans le plan rapporté au repère orthonormé direct (O ; U, V), on appelle A le point d’affixe -1 + i√3, B celui d’affixe
√2 + i√2, J celui d’affixe -1. On notera également zA, zB et zJ les affixes respectifs des points A, B et J.
On note z1 le complexe B
A
z z 1) a) Ecrire z1 sous forme
exponentielle.
5i
e 12
− π
b) Quels sont les définitions, propriétés, théorèmes ou règles de calculs utilisés pour répondre au a) ?
Th.1 : lien entre écritures algébrique et « module/argument » (trigonométrique, exponentielle, polaire) pour les complexes non nuls.
Th.2 : (sous forme exponentielle)
i
i( ') i '
re r
r 'e r 'e
θ θ−θ
θ = (r > 0 et r’ > 0, θ et θ’ réels) On appelle K le point d’affixe zK tel que zK = z1zJ.
2) a) Ecrire zK sous forme
exponentielle.
7i
e12
π b) Ecrire zK
sous forme algébrique.
2 6 i 6 2
4 4
− − −
+ c) Présenter ci-dessous le calcul de zk permettant d’obtenir la forme algébrique demandée.
On a zK = z1zJ, zA = -1 + i√3, zB = √2 + i√2, z1 = B
A
z
z et zJ = -1 donc zK
= 1 i 3 2 + i 2
− − + , soit encore (ths.) zK = 2 6 i 6 2
4 4
− + − − .
Ths : z zz '
z '=z 'z ' (avec z’ non nul) zz= z2
i2 = -1
définition « écriture algébrique d’un complexe) calculs élémentaires.
3) A tout point P d’affixe z, on associe le point P’ d’affixe z’ tel que z’ = z1z.
a) Ecrire une valeur en radians
de l’angle orienté
(
OP, OP 'JJJG JJJJG)
. −512π b) Le point P décrivant le segment [AJ], quel est l’ensemble décrit par P’ ?
[BK]
c) Justifier la réponse au 3)b).
On a z’= z1z et z1 =
5i
e 12
− π
donc (th.1) P’ est l’image de P par la rotation de centre O et d’angle 5
12
− π. De z1 = B
A
z
z , on déduit zB = z1zA et (th.1) B = r(A), et de zK = z1zJ
on déduit (th.1) K = r(J).
Donc (th.2) l’image de [AJ] est [BK].
Th.1 : Le plan étant rapporté à un reprère orthonormé d’origine O, si z’ = eiθz alors la transformation du plan qui à P(z) associe P’(z’) est la rotation de centre O et d’angle θ.
Th.2 : L’image d’un segment [AB] par une rotation r est le segment [r(A)r(B)].
Exercice 2
Dans cet exercice il s’agit de trouver la valeur moyenne m sur ;2 6 3
π π
de la fonction f telle que f(x) = -2 cos2(3x) sin(5x).
Pour calculer cette valeur moyenne, il convient de trouver une primitive de f.
L’écriture donnée de f(x) n’est pas une écriture adaptée : il faut d’abord linéariser f(x). La méthode de linéarisation est laissée au choix (calculs à l’aide des « formules » trigonométriques ou à l’aide des formules dites d’Euler …).
1) a) Ecrire la forme linéarisée de f(x) obtenue à
la suite du calcul fait au brouillon. sin x sin 5x sin11x
2 − − 2
b) citer les théorèmes utilisés pour obtenir cette écriture.
Suivant le cas, par exemple : pour tout a,cos a2 cos(2a) 1
2
= +
pour tous a et b, sin a cos b =
1
[
sin(a b) sin(a b)]
2 + + −
Formules d’Euler : pour tout a réel, 2cos a = eia + e-ia ; 2i sin a = eia – e-ia Pour tous a et b réels et n entier, (eia)n = eina ; eia eib = ei(a+b) ei×0 = 1
2) a) Présenter alors, au dos de cette feuille, un calcul justifié d’une primitive de f.
On note F une primitive de f sur R.
Sur ;2 6 3
π π
f(x) = -2 cos2(3x) sin(5x) = sin x sin 5x sin11x
2 − − 2 , on peut
donc choisir F, telle que F(x) = cos x cos 5x cos11x
2 5 22
− + + .
Th. : pour tout x, (cos (ax))’ = -a sin (ax) (a constant)
Th. : F est une primitive de f sur I signifie F’ = f sur I.
Th. usuels de dérivation.
b) Ecrire la valeur exacte de la moyenne m. 2 7 18 3
( )
55 +
π
Eléments pour un corrigé
Exercice 3 Soit une fonction f définie sur ]7 ; +∞[ et telle que, pour tout x > 7, f(x) = ln (3x – 2) + ln (x – 7). On appelle C la courbe représentative de f
1) Présenter une étude justifiée des sens de variations de f.
Par exemple, de f(x) = ln (3x – 2) + ln (x – 7), pour tout x > 7, on déduit (th.) par
abus d’écriture 3 1 6x 23
f '(x)
3x 2 x 7 (3x 2)(x 7)
= + = −
− − − − , pour tout x > 7.
D’où le tableau de synthèse ci-dessous (les justifications étant évidentes)
Th. : su u est dérivable et strictement positive sur J, alors (ln u) ' u '
= u sur J.
Valeur de x -∞ 2/3 23/6 7 +∞
Signe de 6x – 23 - | - 0 + | + Signe de (3x – 2)(x – 7) + 0 - | - 0 +
Signe de f ’(x) sans objet || + Sens de variation de f sans objet ||
On veut savoir en quel(s) point(s) la courbe C coupe l’axe des abscisses, et, s’il y a des points d’intersection, on veut préciser les coordonnées exactes de ces points concernés. Pour répondre à ce questionnement on peut résoudre une équation ou un système d’équations.
2) a) Ecrire l’équation ou le système
d’équations. ln (3x – 2) + ln (x – 7) = 0 sur ]7 ; +∞[
b) Ecrire les coordonnées (exactes) de
chaque point d’intersection. 23 373; 0 6
+
c) Citer les définitions, propriétés et théorèmes (de ce niveau) utilisés pour résoudre l’équation ou le système.
Par exemple
Th.1 : ∀a > 0, - ln a = ln1 a
Th.2 : ∀a > 0, ∀b > 0, ln a = ln b ' a = b Ou
th.1’ : ∀a > 0, ∀b > 0, ln a + ln b = ln ab th.3 : ln 1 = 0
th.2
On veut savoir si la courbe C possède une tangente de coefficient directeur 1, et si oui, on veut préciser les coordonnées exactes des points concernés. Pour répondre à ce questionnement on peut résoudre une équation.
3) a) Ecrire l’équation ou le système d’équations. f’(x) = 1 sur ]7 ; +∞[
b) Ecrire l’abscisse (exacte) de
chaque point concerné. 29 397
6 +
On veut connaître les coordonnées des points d’intersection de C et de la droite d d’équation y = x – 6.
Pour cela on propose d’étudier, pour x > 7, les sens de variations de g(x) = ln (3x – 2) + ln (x – 7) – x + 6, et d’utiliser des propriétés adéquates.
4) a) Faire un tableau de synthèse montrant comment est étudié le signe de la dérivée de g, et donnant les sens de variations de g.
Valeur de x
-∞ 2/3 29 397 6
− 7 29 397 6
+ +∞
Signe de -3x2 + 29x – 37 - | - 0 + | + 0 - Signe de (3x – 2)(x – 7) + 0 - | - 0 + | +
Signe de g’(x) sans objet || - 0 + Sens de variation de g sans objet || α
avec ln(6 397) 7 397
6
α = + + − .
b) Ecrire des encadrements d’amplitude 10-2 des abscisses de chacun des points
d’intersection de C et de d.
Il y a deux solutions notées a et b
7,16 < a < 7,17 et 10,72 < b < 10,73 c) Citer les définitions, propriétés et
théorèmes clés et essentiels utilisés pour répondre à b).
Th. : si f est dérivable et strictement monotone sur un intervalle [a ; b] et si f(a)f(b) < 0, alors il existe un unique nombre c de ]a ; b[ tel que f(c) = 0.
On veut calculer le nombre U d’unités d’aire de la partie du plan comprise entre la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 8 et x = 10. Ce qui suit est fait pour aboutir à ce calcul.
5) a) Ecrire la dérivée de la fonction h, définie sur ]7 ; +∞[, telle que h(x) = x 2 ln 3x – 2
( )
3
−
. h(x) = ln (3x – 2) + 1, sur ]7 ; +∞[.
b) Ecrire les théorèmes utilisés pour faire ce calcul.
Th. : (uv)’ = u’v + uv’
Th. : su u est dérivable et strictement positive sur J, alors (ln u) ' u '
= u sur J.
c) Déduire de a) une écriture d’une
primitive de ln (3x – 2). x 2 ln 3x – 2
( )
3
−
– x
On admet qu’une primitive de ln (x – 7) est (x – 7) ln (x – 7) – x.
d) Présenter un calcul justifié de U. Le résultat sera présenté sous la forme a ln 2 + b ln 3 + c ln 7 + d ln 11 + e, où a, b, c, d et e sont des quotients d’entiers.
Eléments pour un corrigé
Par abus d’écriture, de 5)c) on sait que « x 2 ln 3x – 2
( )
3
−
– x » est une primitive
de « x 2 ln 3x – 2
( )
3
−
», et on admet que « (x – 7) ln (x – 7) – x » est une primitive de « ln (x – 7) », donc (th.1), x 2 ln 3x – 2
( )
3
−
– x +(x – 7) ln (x – 7) – x est une primitive de f(x).
On a f(8) = ln 22 > 0 et f est strictement croissante donc f est positive sur [8 ; 10].
Par suite (th.2) U = 10 2 ln 30 – 2
( )
3
−
– 20 +(10 – 7) ln (10 – 7) –
8 2 ln 24 – 2
( )
16 (8 7) ln(8 7) 3 − − + − −
donc (th.3) U = 28ln 28
( )
3 + 3 ln 3 – 4 – 22ln 22
( )
3
d’où (th.4, th.5) U = 34ln 2 + 3 ln 3 +28ln 7 22ln 11 4
3 3 − 3 −
Th.1 : si F est une primitive de f et si G est une primitive de g, alors F + G est une primitive de f + g.
Th.2 : si f est dérivable et positive sur [a ; b] et si F est une primitive de f sur [a ; b], alors le nombre d’unités d’aire U de la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, les droites d’équations x = 8 et x = 10 et la courbe représentative de f est tel que U = F(b) – F(a).
Th.3 : ln 1 = 0
Th.4 : ∀a > 0, ∀b > 0, ln a + ln b = ln ab Th.5 : ∀a > 0, ∀p de Z, ln ap = p ln a
