CERCLES
CERCLES DE FORD
ARBRE DE STERN-BROCOT
SUITES DE FAREY
CHRONOLOGIE
John Farey, géologue anglais, conjecture en 1816, sur les fractions ordinaires
Démonstration la meme année par Augustin Cauchy
Magnifique illustration géométrique en 1938 par Lester Ford (mathématicien américain)
Représentation des rationnels par un arbre infini :
indépendamment par le mathématicien allemand
DEFINITION DEFINITION
Ce sont toutes les fractions irréductibles Entre 0 et 1
ayant un dénominateur inférieur ou égal
à n et classées par ordre croissant
Si a / b et a' / b'
sont deux termes CONSECUTIFS d'une suite de Farey
alors ba' - ab' = 1
INSERTION
Dans la suite de Farey, en prenant trois fractions consécutives : p/q < p’/q’ < p’’/q’’ le terme médian est donné par:
Cercles
de Ford
(fractal)
Tangence des cercles
d : distance en rouge
t = r + R
d² = ( X - x )² + ( Y - y )² t = y + Y
d² = X² - 2Xx + x² + Y² - 2Yy + y² t² = y² + 2 yY + Y²
d² - t²
= ( X - x )² - 4Yy
= ( P/Q - p/q )² - 4 (1/2Q² . 1/2q² )
= ( (Pq - pQ)/qQ )² - (1/qQ )²
= ( ( Pq - pQ )² - 1 ) /q²Q²
POINTS DE TANGENCE
EN DIMENSION 3
ARBRE DE STERN-BROCOT
ARBRE DE STERN-BROCOT ARBRE DE STERN-BROCOT
Fait extraordinaire : tous les rationnels
figurent dans l’arbre, une et une seule fois, et sous forme irréductible
Ensembles de Farey : sous-arbres
Chaque rationnel y apparaît une seule fois, en écriture irréductible
GENERATIONS
0/1 < 1/0 0/1 < 1/1 < 1/0
0/1 < 1/2 <1/1 < 2/1 < 1/0
0/1 <1/3< 1/2 <2/3<1/1<3/2 < 2/1<3/1 < 1/ 0
0/1 <1/4<1/3<2/5< 1/2<3/5 <2/3<3/4<1/1<4/3<3/2 <5/3< 2/1<5/2<<3/1 < 4/1<1/0
0/1<1/5< <1/4<2/7<<1/3<3/8<2/5<3/7< 1/2<4/7<3/5 <5/8<<2/3<5/7<3/4<4/5<1/1
2/3<7/10<5/7<8/11<3/4< 7/9<4/5<5/6<1/1
2/3< 9/13<7/10<12/17<5/7<13/18<8/11<11/15<3/4< 10/13<7/9<11/14<4/5<9/11<5/6< 6/7<1/1
3/4<13/17< 10/13< 17/22<7/9<18/23<11/14<15/19<4/5
3/4<16/21<13/17<23/30< 10/13<
27/35
< 17/22<24/31<7/9<25/32<18/23<29/37<11/14 27/35 : 1/1
-1/2
- 2/3 - 3/4 -4/5
- 7/9 –10/13
–17/22
–27/35
PROPRIETES PROPRIETES
1)Si m/n < m’/n’ sont consécutives dans l’arbre (i.e. dans une génération) alors m’n –mn’ = 1 (*)
Preuve par récurrence : on vérifie que pour le nouvel élément (m+m’)(/n+n’), on a encore (cf déterminants liés) : (m+m’)n – m(n+n’) =1 = m’(n+n’)-(m+m’)n’
2)Conséquence : fractions irréductibles (Bezout)
3)Si m/n < m’/n’ alors m/n < (m+m’)(/n+n’) < m’/n’ : la construction de l’arbre préserve l’ordre donc chaque fraction apparaît au plus une fois
4)Chaque fraction est présente dans l’arbre : tant que a/b n’est pas apparue, on considère ses 2 plus proches voisins m/n < m’/n’ vérifiant donc (*) Puisque m/n < a/b < m’/n’ , on a : an-bm > 0 et m’b –an’ > 0 soit encore puisqu’ils sont entiers an-bm 1 et m’b –an’ 1;
CODAGE
Prenons par exemple 27/35, selon ce principe,
elle se code sous la forme GDDDGGDG
(G pour gauche et D pour droite).
Or on peut vérifier que 1' on a :
Ensemble de MANDELBROT
Ampoule de période 3
Ampoule de période 9
Ampoules 2/5 et 3/7
ADDITION DE FAREY
