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Quel est son rayon de convergence? 3

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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Master Math. Fonda. et appliqu´ees Orsay 2007–2008 U4 : Analyse 1er semestre

Feuille d’exercices no5

S´eries enti`eres et fonctions analytiques

1 - Fonction xα avec 0< α <1.

Soit 0< α <1.

1. La fonctionf :x7→xα est-elle analytique surR+∗? Sur quel domaine de Cse prolonge-t-elle de mani`ere holomorphe?

2. D´eterminer le d´eveloppement en s´erie enti`ere def(x) enx= 1. Quel est son rayon de convergence?

3. D´eterminer le signe des coefficients an de ce d´eveloppement. En d´eduire que la s´erie P anhn converge normalement pourh∈[−1,1].

4. Donner une suite de polynˆomes convergeant uniform´ement vers √

x sur [0,1], et une autre vers

|x|sur [−1,1].

2 - La fonction arctan

1. Montrer que la fonction arctanx est analytique surR.

2. D´eterminer son d´eveloppement en s´erie enti`ere en 0. Quel est son rayon de convergence?

3. Montrer que π

4 = 1−1 3 +1

5−1 7 +· · ·.

4. Peut-on prolonger la fonction arctan en une fonction holomorphe d´efinie sur tout C?

3 - D´evaloppement en s´erie de l’inverse d’une fonction Soit f :R→Rd´efinie par

f(x) = ex−1

x −1 pourx6= 0 et f(0) = 0.

1. Soit n≥0 entier. Montrer quefn:x→f(x)nest analytique surR. On note

f(x)n=

+∞

X

p=0

an,pxp

son d´eveloppement en s´erie enti`ere en 0. Quel est son rayon de convergence?

2. Que valent a0,p eta1,p pour p≥0 entier?

3. Soient n≥1 etp≥0 entiers. Exprimer an+1,p en fonction des an,j et a1,j. 4. D´eterminer le signe de an,p pour tousn≥0 et p≥0 entiers.

5. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que la famille (−1)nan,pxp

(n,p)∈N2 est sommable si et seulement si f(|x|)<1. Que vaut alors sa somme?

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6. Montrer, en utilisant ce qui pr´ec`ede, que la fonction g:R→Rd´efinie par g(x) = x

ex−1 pour x6= 0 et g(0) = 1,

est d´eveloppable en s´erie enti`ere en 0 et que le rayon de convergence de ce d´eveloppement est sup´erieur ou ´egal `a 1. Exprimer les coefficients de ce d´eveloppement en fonction desan,p.

7. Cette estimation du rayon de convergence est-elle optimale?

4 - Une fonction C mais pas analytique Soit 0< α <1. Montrer que la fonctionf(x) =P

n=0e−nαeinxest de classeCmais pas analytique au voisinage de 0.

Indication.Pourkentier fix´e, estimer le maximum denke−nα et en d´eduire que |f(k)k!(0)|1/k

→+∞

lorsquek→+∞.

5 - Une fonction C, mais pas analytique 1. Montrer que la sommeP+∞

n=0e−2nei4nx d´efinit une fonction g∈C(R).

2. Soit r >0. Etudier la sommabilit´e de la famille (4nje−2nrj

j! )(n,j)∈N2.

3. En d´eduire que la s´erie de Taylor de g en z´ero n’est normalement convergente dans aucun voisinage de z´ero.

4. Montrer que gn’est pas r´eelle analytique en z´ero.

NB: On peut montrer que g n’est nulle part r´eelle analytique.

6 - Recherche de solutions d’une ´equation diff´erentielle sous forme de s´eries enti`eres 1. Montrer qu’il existe une unique s´erie enti`ere f(x) = X

n≥0

anxn, de rayon de convergence R >0, solution de l’´equation diff´erentielle

4xy00+ 2y0+y= 0 (E)

avec y(0) = 1. D´eterminer anet R.

2. Exprimer f `a l’aide de fonctions usuelles, en distinguant les cas x≥0 et x <0.

3. Chercher une autre solution de (E) s’´ecrivant sous la forme g(x) = xαP

n≥0bnxn au voisinage de 0+ (solution de Frobenius.)

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