Master Math. Fonda. et appliqu´ees Orsay 2007–2008 U4 : Analyse 1er semestre
Feuille d’exercices no5
S´eries enti`eres et fonctions analytiques
1 - Fonction xα avec 0< α <1.
Soit 0< α <1.
1. La fonctionf :x7→xα est-elle analytique surR+∗? Sur quel domaine de Cse prolonge-t-elle de mani`ere holomorphe?
2. D´eterminer le d´eveloppement en s´erie enti`ere def(x) enx= 1. Quel est son rayon de convergence?
3. D´eterminer le signe des coefficients an de ce d´eveloppement. En d´eduire que la s´erie P anhn converge normalement pourh∈[−1,1].
4. Donner une suite de polynˆomes convergeant uniform´ement vers √
x sur [0,1], et une autre vers
|x|sur [−1,1].
2 - La fonction arctan
1. Montrer que la fonction arctanx est analytique surR.
2. D´eterminer son d´eveloppement en s´erie enti`ere en 0. Quel est son rayon de convergence?
3. Montrer que π
4 = 1−1 3 +1
5−1 7 +· · ·.
4. Peut-on prolonger la fonction arctan en une fonction holomorphe d´efinie sur tout C?
3 - D´evaloppement en s´erie de l’inverse d’une fonction Soit f :R→Rd´efinie par
f(x) = ex−1
x −1 pourx6= 0 et f(0) = 0.
1. Soit n≥0 entier. Montrer quefn:x→f(x)nest analytique surR. On note
f(x)n=
+∞
X
p=0
an,pxp
son d´eveloppement en s´erie enti`ere en 0. Quel est son rayon de convergence?
2. Que valent a0,p eta1,p pour p≥0 entier?
3. Soient n≥1 etp≥0 entiers. Exprimer an+1,p en fonction des an,j et a1,j. 4. D´eterminer le signe de an,p pour tousn≥0 et p≥0 entiers.
5. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que la famille (−1)nan,pxp
(n,p)∈N2 est sommable si et seulement si f(|x|)<1. Que vaut alors sa somme?
6. Montrer, en utilisant ce qui pr´ec`ede, que la fonction g:R→Rd´efinie par g(x) = x
ex−1 pour x6= 0 et g(0) = 1,
est d´eveloppable en s´erie enti`ere en 0 et que le rayon de convergence de ce d´eveloppement est sup´erieur ou ´egal `a 1. Exprimer les coefficients de ce d´eveloppement en fonction desan,p.
7. Cette estimation du rayon de convergence est-elle optimale?
4 - Une fonction C∞ mais pas analytique Soit 0< α <1. Montrer que la fonctionf(x) =P∞
n=0e−nαeinxest de classeC∞mais pas analytique au voisinage de 0.
Indication.Pourkentier fix´e, estimer le maximum denke−nα et en d´eduire que |f(k)k!(0)|1/k
→+∞
lorsquek→+∞.
5 - Une fonction C∞, mais pas analytique 1. Montrer que la sommeP+∞
n=0e−2nei4nx d´efinit une fonction g∈C∞(R).
2. Soit r >0. Etudier la sommabilit´e de la famille (4nje−2nrj
j! )(n,j)∈N2.
3. En d´eduire que la s´erie de Taylor de g en z´ero n’est normalement convergente dans aucun voisinage de z´ero.
4. Montrer que gn’est pas r´eelle analytique en z´ero.
NB: On peut montrer que g n’est nulle part r´eelle analytique.
6 - Recherche de solutions d’une ´equation diff´erentielle sous forme de s´eries enti`eres 1. Montrer qu’il existe une unique s´erie enti`ere f(x) = X
n≥0
anxn, de rayon de convergence R >0, solution de l’´equation diff´erentielle
4xy00+ 2y0+y= 0 (E)
avec y(0) = 1. D´eterminer anet R.
2. Exprimer f `a l’aide de fonctions usuelles, en distinguant les cas x≥0 et x <0.
3. Chercher une autre solution de (E) s’´ecrivant sous la forme g(x) = xαP
n≥0bnxn au voisinage de 0+ (solution de Frobenius.)
