9 Espaces de Hilbert.

Ecole Normale Sup´´ erieure – FIMFA – Ann´ee 2010-2011 Travaux dirig´es de Topologie et Calcul diff´erentiel Franc¸ois B´eguin

Feuille d’exercices n

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9 Espaces de Hilbert.

1 -

Identit´e du parall´elogramme g´en´eralis´ee

1. SoitH un espace de Hilbert. Montrer l’identit´e du parall´elogramme g´en´eralis´ee: pour tousx₁, . . . , x_n∈H, on a

kx1k²+· · · kxnk²= 1 2ⁿ

Xkε1x₁+· · ·+ε_nx_nk² o`u la somme porte sur tous lesn-uplets (ε1, . . . , εn) dans{−1,1}ⁿ.

2. En d´eduire que`<sup>p</sup>n’est pas isomorphe `a `² pourp6= 2.

2 -

Distance `a un sous-espace vectoriel ferm´e dans un espace de Banach

Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues de[−1,1] dans R muni de la norme de la convergence uniforme, etF le sous-espace vectoriel deE form´e des fonctions impaires dont l’int´egrale sur [0,1] est nulle.

Soitϕl’´el´ement deE donn´e par ϕ(t) =t.

1. V´erifier queF est ferm´e.

2. Montrer que la distance de ϕest ´egale `a 1/2, mais que l’on akϕ−ψk>¹₂ pour toutψ∈F.

Le th´eor`eme de projection sur un convexe ferm´e est donc faux dans un espace de Banach o`u la norme ne d´erive pas d’un produit scalaire.

3 -

Hyperplan ferm´e d’orthogonal r´eduit `a {0} dans un espace pr´e-hilbertien

1. Rappeler pourquoi un sous-espace vectoriel d’un espace de Hibert est dense si et seulement si son orthogonal est r´eduit `a{0}.

2. Soit c₀₀(N) l’espace pr´ehilbertien des suites nulles `a partir d’un certain rang, muni du produit scalaire hu, vi=P

n∈Nu_nv_n. Soitf la forme lin´eaire surc₀₀(N) donn´ee par f(u) =X

n∈N

un

n+ 1. Montrer que Ker(f) est un hyperplan ferm´e, et que (Ker(f))^⊥={0}.

3. Plus g´en´eralement, montrer que dans tout espace pr´e-hilbertien non complet, il existe un hyperplan ferm´e dont l’orthogonal est r´eduit `a {0}.

4 -

Continuit´e des op´erateurs auto-adjoints

SoitH un espace de Hilbert, et T :H →H un op´erateur tel quehT(x), yi=hx, T(y)ipour tous x, y∈H. Montrer queT est continu.

5 -

Le th´eor`eme de repr´esentation de Riesz est faux dans un espace pr´e-hilbertien

SoitE=C([0,1],R) l’espace pr´e-hilbertien des fonctions continues de [0,1] dansR, muni du produit scalaire hf, gi = R1

0 f(t)g(t)dt. Pourp ≥0 et a ∈]0,1[ fix´es, on consid`ere la forme lin´eaire u: E → R d´efinie par u(f) =Ra

0 t^pf(t)dt.

1. Montrer queuest continue et calculer sa norme.

2. Montrer qu’il n’existe aucun ´el´ementg deE tel queu(f) =hf, gipour toutf.

6 -

Op´erateurs de Hilbert-Schmidt SoitH un espace de Hilbert.

1. Soient (ei)_i∈I et (fj)_j∈J deux bases hilbertiennes de H. Montrer que, pour tout op´erateur lin´eaireA de H dans lui-mˆeme, on a

X

i∈I

kAeik²=X

j∈J

kA^∗fjk².

En d´eduire que, siAest un op´erateur lin´eaire deH dans lui-mˆeme, la quantit´e

kAkHS:= X

i∈I

kAeik²

!¹₂

est ind´ependante du choix de la base hilbertienne (ei)i∈I. Lorsque cette quantit´e est finie, on dit queAest unop´erateur de Hilbert-Schmidt. On noteraHS(H) l’ensemble des op´erateurs de Hilbert-Schmidt de H.

2. Montrer quek · k_HS d´efinit une norme surHS, et que l’on akAk_HS≥ |||A|||pour toutA.

3. Si A et B sont deux op´erateurs continus, montrer que l’op´erateurA◦B est de Hilbert-Schmidt d`es que l’un des op´erateursAouB est de Hilbert-Schmidt.

4. Montrer quek · kHS muni de la normek · kHS est un espace de Hilbert.

5. Montrer que tout op´erateur de rang fini est de Hilbert-Schmidt. Montrer que les op´erateurs de rang finis sont denses dansHS(H) (pour la normek·kHS), et que les op´erateurs de Hilbert-Schmidt sont des op´erateurs compacts.

6. Soit A un op´erateur compact auto-adjoint. Pour toute valeur propre non-nulle λ de A, on note nλ la dimension du sous-espace propre associ´e `aλ. Montrer queAest de Hilbert-Schmidt si et seulement si

X

λ∈σ(A)\{0}

n_λ|λ|²<+∞.

On suppose maintenant queH =L²(X, µ) o`uµest une mesureσ-finie sur un espace mesurable (X,B). Pour K∈L<sup>2</sup>(X×X, µ⊗µ), on consid`ere l’´op´erateur surH d´efini par

AK(f) :=

Z

X

K(x, y)f(y)dµ(y).

7. V´erifier queA_K est un op´erateur lin´eaire continu deH dans lui-mˆeme, pour toutK∈L²(X×X, µ⊗µ).

Que peut-on dire de la norme de cet op´erateur ? `A quel condition est-il auto-adjoint ?

8. Soit (e_i)_i∈I une base hilbertienne de H. Montrer que la famille (e_i,j)_(i,j)∈I2 d´efinie par e_i,j(x, y) = ei(x)ej(y) est une base hilbertienne deL²(X×X, µ⊗µ).

9. En utilisant les bases hilbertiennes (ei)_n∈N et (ei,j)_(i,j)∈I2, montrer que kAKk_HS =kKk_L2(X×X,µ⊗µ)

pour K ∈ L²(X ×X, µ⊗µ). En particulier, AK est un op´erateur de Hilbert-Schmidt pour tout K ∈ L²(X×X, µ⊗µ).

10. R´eciproquement, et toujours en montrer que tout op´erateur de Hilbert-Schmidt A ∈ HS(H) est de la formeA_K pour un certainK∈L²(X×X, µ⊗µ).

11. Conclure que l’applicationK7→A_K d´efinit une bijection isom´etrique entreL²(X×X, µ⊗µ) etHS(H).

7 -

Th´eor`eme ergodique de Von Neumann

1. SoitH un espace de Hilbert etT un endomorphisme continu deH de norme inf´erieure ou ´egale `a 1. Pour n∈N\ {0}, on noteTn:= _n+1¹ Pn

k=0T^k la moyenne desn+ 1 premiers it´er´es deT, et on veut montrer que

n→∞lim Tn(x) =P(x) pour toutx∈H o`uP est le projecteur orthogonal sur Ker(Id−T).

a. Montrer que Ker(I−T) = Ker(I−T^∗), et en d´eduire queH = Ker(Id−T)⊕Im(Id−T).

b. Montrer queTn(x) tend vers 0 pourx∈Im(Id−T).

c. D´emontrer le r´esultat annonc´e.

2.Application.SoitH =L²(R/(2πZ))'L²([0,2π]) etα∈2πQ. Montrer que pour toutf ∈H, on a 1

n+ 1

n

X

k=0

f(·+nα)→m(f) dansL²(R/(2πZ))

o`um(f) est la fonction constante ´egale `a _2π¹ R2π 0 f(t)dt.