Licence Math. Appliqu´ees 2004-05 G´eom´etrie
Feuille 3
Exercice 1. (Sous-espaces affines et barycentres)
a) Soit D une partie de E de cardinal ≥ 2. Montrer que D est une droite de E si et seulement si les propri´et´es suivantes sont v´erifi´ees:
i) si {a, b, c} ⊂D alors a, b, csont align´es;
ii) si {a, b, c} ⊂E sont align´es avec a6=b et {a, b} ⊂D, alors c∈D.
b) Soient a, bdeux points distincts de E. On note (ab) l’ensemble des points c∈E align´es avec a, b. Montrer que (ab) est une droite de E, qu’elle passe par a et b, et que c’est la seule droite de E passant par a et b. Montrer que (ab) est aussi l’ensemble de tous les barycentres des points a etb.
c) Montrer que tout sous-espace affine F ⊂E v´erifie la condition ii) du a). Si a et b sont deux points distincts d’un sous-espace affine F, que peut-on dire de (ab) ? Montrer qu’une partie non vide F ⊂ E est un sous-espace affine si et seulement si on a
({a, b} ⊂F et a6=b)⇒(ab)⊂F.
Exercice 2. (Centre de gravit´e d’un triangle, puis d’un t´etraˆedre)
Soient a, b, c trois points non align´es du plan affine, g leur isobarycentre, et a0, b0, c0 les milieux respectifs des segments [b, c],[a, c],[ab]. Montrer que g est le point d’intersection des m´edianes [aa0],[bb0],[cc0], et qu’il est situ´e au tiers de chacune d’entre elles (par exemple, a0g = 13a0a).
Soient maintenant a, b, c, d quatre points non coplanaires de l’espace affine R3. Soient a0, b0, c0, d0 les isobarycentre des triangles (bcd), (acd), (abd), (abc). Soient i, j, k, i0, j0, k0 les milieux des segments [ab], [ac] [ad], [cd], [bd], [bc]. Montrer que les droites (aa0), (bb0), (cc0), (dd0), (ii0), (jj0), (kk0) sont concourantes.
Exercice 3. (Coordonn´ees cart´esiennes vs barycentriques)
Dans le plan affine R2, on consid`ere les trois points a = (3,1), b = (2,2) et c = (1,−1). Montrer que (a, b, c) est un rep`ere affine de R2 D´eterminer les points p et q dont les coordonn´ees barycentriques dans ce rep`ere sont respective- ment (13,13,12) et (12,12,14). Quels sont les coordonn´ees barycentriques dans (a, b, c) du point r de R2 dont les coordonn´ees cart´esiennes dans (a,−→
ab ,ac−→) sont (2,1) ? Donner les coordonn´ees barycentriques dans le rep`ere (a, b, c) du pointg, barycentre de {(p,2),(q,1),(r,3)}.
Exercice 4. (Coordonn´ees cart´esiennes vs barycentriques)
Soienti,j etkles points de l’espace affineR3 de coordonn´ees respectives (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1). Donner une ´equation cart´esienne du sous-espace affine P en- gendr´e par ces points. D´eterminer les coordonn´ees barycentriques dans le rep`ere (i, j, k) d’un pointp= (x, y, z) quelconque deP.
Exercice 5. (´Equation de droite en coordonn´ees barycentriques)
Soit (a, b, c) un rep`ere du plan affineR2. On noteλ, µ, νles coordonn´ees barycen- triques d’un pointmdeR2dans ce rep`ere. On consid`ere trois pointsm1, m2, m3 dans R2. Montrer que les points m1, m2, m3 sont align´es si et seulement si le d´eterminant de la matrice
λ1 λ2 λ3 µ1 µ2 µ3 ν1 ν2 ν3
est nul. Indication: ´ecrire les coordonn´ees cart´esiennes des points m1, m2, m3 dans le rep`ere (a,−→
ab ,ac−→) en fonction des λi, µi, νi.
En d´eduire que l’´equation d’une droite affine de R2 en coordonn´ees barycentriques est de la forme a.λ+b.µ+c.ν = 0 aveca, b, c non tous ´egaux.
Exercice 6. (Parall´elisme et intersection en coordonn´ees barycentriques) Soit (a, b, c, d) un rep`ere de l’espace affineR3. On noteλ, µ, ν, τ les coordonn´ees barycentriques d’un point m deR2 dans ce rep`ere.
a) `A quelle condition sur λ, µ, ν, τ, le point m est-il situ´e sur le plan (abc) ? sur la droite (ab) ?
b) `A quelle condition surλ, µ, ν, τ, la droite (am) est-elle parall`ele au plan (bcd) ? c) Calculer lorsque ce point existe, les coordonn´ees barycentriques du point d’intersection de la droite (am) et du plan (bcd).
Exercice 7. (Changement de rep`ere affine)
Dans le plan affine, on consid`ere les points A = (1,1), B = (2,2), C = (2,0), P = (1,0), Q = (2,1) et R = (1,2). On note (x, y) les coordonn´ees cart´esiennes d’un point M dans le rep`ere (A,−−→
AB ,−−→
AC), et (α, β) les coordonn´ees de ce mˆeme point dans le rep`ere (P,−−→
P Q ,−−→
P R). D´etreminer α et β en fonction de x et y, et r´eciproquement.
