CPGE 1 ; khôlle 8
1. 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 et 𝐷 sont quatre point quelconques du plan ; 𝐼 , 𝐽 , 𝐾 et 𝐿 sont milieux respectifs des segments [𝐴𝐵] , [𝐵𝐶] , [𝐶𝐷] et [𝐷𝐴] ; prouver que 𝐼𝐽𝐾𝐿 est un paralèllogramme 2. 𝑅 = (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ) est un repère orthonormal direct, on pose Ω −1; 2 , 𝐼 = 𝑖 + 𝑗 et 𝐽 = 𝑖 − 𝑗
Justifier que 𝑅′(Ω, 𝐼 , 𝐽 ) est un repère du plan
Déterminer les formules de passage du repère 𝑅 vers le repère 𝑅’
Soit la parabole (P) d‟équation 𝑦 = 𝑥² dans le repère 𝑅 ; Déterminer son équation dans le repère 𝑅’
3. 𝑅 = (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ) est un repère orthonormal direct, on pose Ω −1; 2 ; 𝐼 et 𝐽 sont obtenus par rotation de 𝑖 et de 𝑗 d„angle 𝜋
6
Déterminer les formules de passage du repère 𝑅 vers le repère 𝑅’
4. Dans un repère orthonormal direct (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ) , soit les points 𝐴 2; 1 , 𝐵 4; 3 𝑒𝑡 𝐶(6; 1) Déterminer une mesure de l‟angle orienté (𝐴𝐵 , 𝐴𝐶 )
5. Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un carré direct de coté 2 ; on construit les points 𝐾 et 𝐿 tels que les triangles 𝐷𝐶𝐾 et 𝐷𝐿𝐴 soient équilatéraux
Calculer : 𝐴𝐵 . 𝐴𝐿 𝑒𝑡 𝐷𝑒𝑡(𝐴𝐵 , 𝐴𝐿 ) puis 𝐴𝐵 . 𝐿𝐾 𝑒𝑡 𝐷𝑒𝑡(𝐴𝐵 , 𝐿𝐾 ) 6. Dans une base orthonormale directe ( 𝑖 , 𝑗 ), on donne le vecteur 𝑢 (2; −2)
Construire une base orthonormale directe (𝐼 ; 𝐽 ) avec 𝐼 colinéaire à 𝑢 7. Dans un repère orthonormal direct (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ) , on donne les points
𝐴 2; 1 , 𝐵 4; 7 𝑒𝑡 𝐶(6; 1) ; Déterminer les coordonnées de l‟orthocentre 8. Dans un repère orthonormal direct (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ) , on donne les points
𝐴 2; 1 , 𝐵 4; 7 𝑒𝑡 𝐶(6; 1) ; Déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit 9. Dans un repère orthonormal direct (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ) , on donne les points
𝐴 2; 1 , 𝐵 4; 7 𝑒𝑡 𝐶(6; 1) ; Déterminer les coordonnées du centre du centre de gravité 10. 𝑢 et 𝑣 sont deux vecteurs de norme 2 et 3 et 𝑢 , 𝑣 = −𝜋
6 (𝑚𝑜𝑑 2𝜋) : calculer
𝐷𝑒𝑡 𝑢 , 𝑢 − 𝑣 ; Det 𝑢 + 𝑣 ,2𝑢 + 2𝑣 ; 𝐷𝑒𝑡 4𝑢 , 3𝑣 ; 𝐷𝑒𝑡 (𝑢 − 2𝑣 , 2𝑢 + 𝑣 )
11. Dans une base orthonormale directe (𝑖 , 𝑗 ) , on donne 𝑢 2 , 1 𝑒𝑡 𝑣 (2 − 3 ; 1 + 2 3) Déterminer une mesure de l‟angle 𝑢 , 𝑣
12. 𝐴𝐵𝐶 est un triangle équilatéral direct dont les cotés ont pour longueur 2 ; en construisant un repère orthonormal direct “naturel” lié à la figure, déterminer et tracer les ensembles suivants :
𝐷1 = 𝑀 ∈ 𝑃, 𝐴𝐵 . 𝐴𝑀 = 2 𝑒𝑡 𝐷2 = {𝑀 ∈ 𝑃 , 𝐷𝑒𝑡 𝐴𝐵 , 𝐴𝑀 = 2 }
