De la pureté locale à la décomposition C.R. Acad. Sci. Paris, Ser.I

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C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I

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Algebraic geometry

De la pureté locale à la décomposition

From local purity to decomposition

Fouad El Zein

^a

, D ˜ung Tráng Lê

^b

^,

^c

aInstitutdemathématiquesdeJussieu,Paris,France

bUniversitéd’Aix-Marseille,LATP,UMR–CNRS7353,Marseille,France cUFC,Fortaleza,Brésil

i n f o a r t i c l e r é s um é

Historiquedel’article : Reçule16mars2013

Acceptéaprèsrévisionle20octobre2014 DisponiblesurInternetle13novembre 2014

PrésentéparClaireVoisin

Lethéorèmededécompositionsedéduitdelapuretélocale.

©^{2014Académiedessciences.PubliéparElsevierMassonSAS.}Tous droits réservés.

a b s t r a c t

Thedecompositiontheoremisdeducedfromlocalpurity.

©^{2014Académiedessciences.PubliéparElsevierMassonSAS.}Tous droits réservés.

1. Introduction

Cettenote faitsuiteà[6]oùl’ondéduisaitun théorèmedepuretélocale enun pointencaractéristiquezéro,similaire authéorèmedepuretélocaledeDeligne–Gabberde[5],àpartirduthéorèmededécompositionsurlecomplémentaired’un pointdansuneboulecentréeencepoint.Ici,nousmontronscommentcethéorèmede puretélocaleenunpointpermet d’étendre le théorème de décomposition au centre de la boule,ce qui donne unepreuve par récurrence simultanée du théorèmedepuretélocaleetduthéorèmededécomposition.

Nousreprenonslesnotationsde [6].Soit f

:

X

→

V un morphismeprojectif devariétés algébriques complexes,L

˜

une variation de structuresde Hodge (VSH)polarisée sur un ouvert

Ω

lisse de X de dimension m, j

: Ω →

^X, L

:= ˜

L[^m

]

^le complexeréduitàL

˜

^endegré

−

^{m,et j}!∗Ll’extensionintermédiairedeL^{.Soitvunpointde V,ils’agitàprésentd’étendre} lerésultatdedécompositionde R f_∗j_!∗L^{sur V}

−

^{v aupointv àpartirdurésultatsurlapuretélocaleencepoint.}

Enréalité,ilyadeuxdécompositionsdenaturesbiendistinctes.L’uneconsisteàdécomposerunecohomologieperverse pHⁱ

(

R f_∗

(

j_!∗L

))

enunesommedirectecanoniqued’extensionsintermédiaires.L’autreconsisteàdécomposerlecomplexeen unesommedirectedesesproprescohomologiesperversesdécalées(voir[3,4]).

Ayantchoisid’utiliserdescomplexeslogarithmiques,ons’intéresseparticulièrementàdesfibrationspardesDCNsurles stratesausensde([6],Définition3.1),cequipermetd’utiliseruneSHMsurlecomplémentaired’undiviseuràcroisements normaux (DCN) à chaque pas du raisonnement de récurrence. On peut toujours seréduire à ce cas en transformant la variété X àl’aided’unedésingularisationadaptéeàL^etàunestratificationdeThom–Whitneyde f.

Adressese-mail :[email protected](F. El Zein),[email protected](D.T. Lê).

http://dx.doi.org/10.1016/j.crma.2014.10.021

1631-073X/©^{2014Académiedessciences.PubliéparElsevierMassonSAS.}Tous droits réservés.

Hypothèsederécurrence.Soit f

:

^X

→

^{V unefibration pardesDCNsurles stratesd’une}stratificationde Thom–WhitneyS de f,etV_jlaréuniondesstratesde V de dimension

≤

^{j.Parhypothèse,onsupposequela}décompositions’appliquesur l’ouvert U_j

:=

^V

−

^Vj pour j

<

n.LepasderécurrenceconsisteàétendreladécompositionàU_j−1 lelongde V_j

−

^Vj−1,ce quel’onfaitlocalementauvoisinagedetoutpointv d’unestrateSj.Parconstruction,l’imageréciproquedelastrateSjest unefibrationpardesDCNdans X relatifssurlastrate Sj.

Morphismesd’intersection. Il estnaturel d’exprimerlerésultat en termes de morphismesd’intersectionI qui sontl’une des révélationsdelathéoriedans[1]etdontl’importanceapparaîtaveclesstratifications.Soit XS_l

:=

^f−1

(

S_l

)

l’imageréciproque d’une strate Sl de dimension l

≤

^{n, onpose i}X_Sl

:

^XS_l

→

^{X, f}l

:

^XS_l

→

^Sl.Le morphisme d’intersection IS_l, définissant les imagesL_lⁱ:

IS_l

:

Ri^!_X

Slj_!∗L

→

i^∗_X

Slj_!∗L

,

Lⁱ_l

=

im

R^−l+ifl∗

Ri^!_X

Slj_!∗L

^ISl

→

R^−l+ifl∗

i^∗_X

Slj_!∗L

,

(1)

estinduitsur S_l parlecomposédumorphismeiX_Sl∗Ri^!_X

Slj_!∗L

→

^j!∗L^{etdumorphismede}restriction j_!∗L

→

ⁱX_Sl∗i^∗_X

Slj_!∗L^. Sousl’hypothèsede fibrationsurlesstratesde V,lesimagesLⁱ_l ^{de I}S_l sontdessystèmeslocauxsur lesdifférentesstrates.

CesL_l^{isontenfaitdesVSHdepoidsa}

+

ⁱ

−

^{l si}L^{estdepoidsa,car}Lⁱ_l ^{estl’imaged’unevariationdeSHMdepoids}

ω ≥

a

+

ⁱ

−

^{ldansunevariationdeSHMdepoids}

ω ≤

^a

+

ⁱ

−

^{let,deplus,letoutestcalculéavecdescomplexes}logarithmiques en XS_l DCNrelatifssur S_l.

Lefschetzdifficile.Ilfautdémontrer,parlamêmerécurrence,l’isomorphismedeLefschetzsurlacohomologieperverse pour lecup-produititéréaveclaclasse

η

d’unesectionhyperplane.Nouslevérifionssurlestermesdelaformuleexplicite(1).

Théorème1.1(Décompositiondelacohomologieperverse).Souslesconditionsdel’hypothèsederécurrence,soitn ladimensiondeV , SunestratificationdeThom–Whitneydef ,ij

:

^Vj

→

^{V laréuniondesstratesdedimension}

≤

^{j pourtoutj}

≤

^n,etkj

: (

V

−

^Vj

) →

^{V .} (i) Supposonsquelacohomologieperverseentoutdegréi deK

=

^{R f}_∗^j!∗L^{sedécomposesurl’ouvertV}

−

^Vj enunesomme directe d’extensions intermédiaires de VSH L_lⁱ (1)sur les strates Sl de V_l^∗

:=

Vl

−

Vl−¹ pourtoutl

>

j

,

iSl

:

Sl

→

V : pHⁱ

(

K

)

_|V−^Vj

Sl⊂V_l^∗

j<l≤ⁿ k^∗_jiS_l!∗Lⁱ_l

[

^l

]

^.

Alorslasuiteexactelonguedecohomologieperverse^pHⁱ

((

i_j

)

_∗R

(

i_j

)

^!K

)

pαi

→

^pHⁱ

(

K

)

pρi

→

^pHⁱ

(

Rk_j∗K_|V−Vj

)

pδi

→

^{donnelieuàune} suiteexactecourte :0

→

^imp

α

i

→

^pHⁱ

(

K

)

pρi

→

^imp

ρ

i

→

^{0defaisceauxpervers,quiestscindéesurV}

−

^Vj−1:

im^p

α

_i

₌

ker^p

ρ

_i

S_j⊂^V∗_j

iS_j!∗Lⁱ_j et im^p

ρ

_i

₌ (

k_j

)

_!∗k^∗_j^pHⁱ

(

K

)

S

_l⊂V_l^∗

j<l≤ⁿ

iS_l!∗L_lⁱ

[

^l

] ,

etquisedécomposeentermesdeLⁱ_l^pourl

>

j àdroiteetLⁱ_j^àgauche.

(ii) Lefschetzdifficile :sionsupposeparrécurrence

η

ⁱ

:

^pH⁻ⁱ

(

R f_∗j_!∗L

)

_|V−^Vj

→

∼ ^pHⁱ

(

R f_∗j_!∗L

)

_|V−^Vj,estunisomorphismesur l’ouvertV

−

^Vj,alors

η

ⁱs’étendenunisomorphismeau-dessusdeV

−

^Vj−¹.

Corollaire1.2.

(i) Lecup-productaveclaclassed’unesectionhyperplanedéfinitdesisomorphismes

η

ⁱ

:

^pH⁻ⁱ

(

K

) →

^pHⁱ

(

K

)

pouri

≥

^0,etpar conséquentlecomplexeK sedécomposedanslacatégoriedérivéeenunesommedirectedesescohomologiesperversesdécalées, quisedécomposentàleurtourenunesommedirected’extensionsintermédiaires :

K

=

i∈Z

pHⁱ

(

K

)[−

ⁱ

]

^{et p}Hⁱ

(

K

)

S

_l⊂^V_l^∗

0≤^l≤ⁿ

i_Sl!∗L_lⁱ

[

^l

].

(ii) Lethéorèmededécompositionsedéduitpourtoutmorphismeprojectifàpartirducasd’unmorphismefibrépardesDCNsurles strates.

L’ensembledeces résultatsdonneunenouvelle démontrationdu théorèmededécompositionàl’aided’unerécurrence sur la dimension décroissante desstrates d’unestratification de Thom–Whitney S ^{convenable de la base V et du mor-} phisme f reflétantainsiunepropriété topologiquedu morphismealgébrique.La preuven’utilisepaslathéoriedescycles évanescentsetdiffèredespreuvesactuelles,quenouscitonsenréférences[1,8].

2. Preuvedeladécompositiondelacohomologieperverseetducomplexe(théorème 1.1)

Débutdelarécurrence.La situationest celle d’unmorphisme projectif de variétés algébriques complexes f

:

^X

→

^{V où X} estlisse etd’uneVSHpolarisée définiesur unsystème localL

˜

^{sur le}complémentaire d’unDCN Y dans X de dimension m etsoit L

:= ˜

L[^m

]

^{.Ononsidère l’ouvert U formépar laréunion desgrandes strateslisses d’une}stratification de V de dimension n telque larestriction de f au-dessusde U soit lisseet propreetque le complémentaire de U dans V soit égal à laréunion V_n−1 des stratesde dimension

≤

ⁿ

−

1 contenant le lieu singulier de V etd’image réciproque X_Vn−1 un DCNdans X.Onpeutsupposer lecomplémentaire Y del’ouvert dedéfinition

Ω

dusystèmelocalL^{un DCNdans X,} réunionde X_Vn−1 etd’unDCNhorizontalnotéY_h telqueY_U

:=

^Y

∩

^f−1

(

U

) =

^Yh

∩

^f−1

(

U

)

soitunDCNdans f⁻¹

(

U

)

relatif au-dessusdeU etnecontenantpasdefibrede f.

Alors, lafamille de cohomologied’intersectiondes fibresformeune VSHsur U.Dans cecas, les faisceauximagesdi- rectessupérieures Rⁱf_∗j_!∗L^{coïncidentavecles}cohomologies perverses : ^pHⁱ

(

R f_∗

(

j_!∗L))

=

Hⁱ

(

R f_∗

(

j_!∗L))^{,lethéorèmede} Lefschetzdifficiles’applique,etparconséquentlesrésultatsde[3]aussi,d’oùladécompositionsur U.

RéductiondupasderécurrencepourunefibrationpardesDCNsurlesstratesaucasd’unestratededimensionzéro.Parconstruction, l’imageréciproque XV_i

:=

^f−1

(

Vi

)

dela réuniondesstratesde dimension

≤

^{i pour i}

∈ [

⁰

,

n

]

^{estun DCNdans X etpour} chaquestrateS_l dedimensionl, X_Sl

=

^f−1

(

S_l

)

estunDCNrelatif([6],Définition3.1).

Danscecas,lastratificationestditeadaptéeà f etL^{.L’espaceY contientdoncles}singularitésde L^{etde f de sorte} que l’on puisse utiliser des complexes logarithmiques pour la théoriede Hodge à coefficients dans L sur X ([2], 8.3.3, theorem 8.3.14)et[7].Nousutilisonsles notationssuivantes :

(

X

−

^XV_l

) →

^{jl X i}

←

l

XV_l,

(

V

−

^Vl

) →

^{kl V}

←

^il

Vl, f

:

^X

→

^{V et} f_l

:

^Xl

→

^Vl,enfin V_l^∗

:=

^Vl

−

^Vl−1désignelaréunion(éventuellementvide)desstratesdedimensionl.OnécritiS_l

:

^Sl

→

^Sl pourchaquestrateet,demême,avecabusdenotation iS_l

:

^Sl

→

^V.

Toutpoint vd’unestrate S_l admetunvoisinageB_v munid’uneprojection g

:

^Bv

→

^{Dl dansunproduitdedisquestelle} que son composé g

◦ (

f_|X_{B v}

)

avec la restriction de f soit lisse etque XBv∩^Sl soit un DCNdans XBv relatifsur Bv

∩

^Sl. Pour tout point t de Bv

∩

^Sl, la fibre de g au-dessus du point g

(

t

) ∈

^{Dl est une section normale} Nt de S_l au point t d’imageréciproquelisse X_NtcontenantleDCNXt.Lesdonnéessur X seréduisentàdesdonnéescorrespondantessur X_Nt. En particulier, lecomplexe logarithmique à coefficients etses filtrations W et F sur X ont une bonne réduction en un complexelogarithmiquesur X_Nv munidesfiltrationsW etF construitesdirectementsur X_Nv,cequinousramèneaucas d’unestratededimensionzérod’unestratificationsurNv,auquelcasondisposeduthéorèmedepuretélocaleaupoint v delasectionnormaleNv à S_l.

Casd’unestratededimensionzéro.Siv estunpointdansV0.Onvamontrerquelapuretélocaleauxpoints v delaréunion V0 des strates de dimension zéro permet d’étendre la décomposition de V

−

^V0 à V. La preuve étant locale, on peut supposer V projectiveetV0 réduità unpoint v.Onécritalors :kv

: (

V

− {

^v

} ) →

^V

,

iv

: {

^v

} →

^V

,

iXv

:

^Xv

=

^f−1

(

v

) →

^X, et j_v

: (

X

−

^Xv

) →

^X.

La suite exacte du théorème est associée au triangle sur V : i_v∗Ri^!_v

(

K

) →

^{α K}

→

^{ρ Rk}v∗K_|V−{v}

→

^{[1] et, de plus, on a :}

pHⁱ

(

iv∗Ri^!_vK

)

ⁱv∗Hⁱ

(

Ri^!_vK

)

.

Afindecalculersuccessivementim^p

ρ

i,im^p

α

ietdeprouverlescindagedans^pHⁱ

(

K

)

,ilnousestutiledesignalerd’abord lecalculdecohomologieperversede Rkv∗K_|V−{^v}sousl’hypothèsedeladécomposition(théorème 1.1(i))surV

−

^{v :} Lemme2.1.SoitS_lunestratedeV ,v unpointdelastrateV0dansl’adhérencedeS_l,etK

:=

j

(

iS_l

)

_!∗L_l^j

[

^l

−

^j

]

^{unesommedirecte} desystèmeslocauxsurSl.Ona :

(i) unesuiteexactecourtepourtouti 0

→ (

i_Sl

)

_!∗

L_lⁱ

[

^l

]

→

^pHⁱ

Rk_v∗k^∗_vK

h

→

j≤ⁱ Rⁱk_v∗

k^∗_v

(

i_Sl

)

_!∗L_l^j

[

^l

−

^j

]

→

^{0 (2)}

oùlederniertermeestunfaisceauendegrézérodesupport v.

(ii) H⁰

(

i^∗_v^pHⁱ

(

Rkv∗k^∗_vK

))

j≤ⁱRⁱkv∗

(

k^∗_v

(

iS_l

)

_!∗L_l^j

[

^l

−

^j

] )

^Rikv∗

(

k^∗_v

(

^p

τ

_≤iK

))

.

(iii) enparticulierunmorphisme

ϕ

àvaleurdans^pHⁱ

(

Rkv∗k^∗_vK

)

sefactorisepar

(

iS_l

)

_!∗

(

L_lⁱ

[

^l

] )

sih

◦ ϕ ₌

0.

Suitedelapreuve.IlsuffitdeconsidérerlecasVj

=

V0égalàunpoint

{

v

}

dansl’énoncéduthéorème.

1)Calculdel’imagede ^p

ρ

i.Pardéfinitiondufoncteurextensionintermédiaire([1],1.4.22,p. 54),ona :

(

k_v

)

_!∗^pHⁱ

(

k^∗_vK

) =

^im

_p

Hⁱ

(

R

(

k_v

)

_!k^∗_vK

)

pγi

→

^pHⁱ

(

R

(

k_v

)

_∗k^∗_vK

)

D’aprèsl’hypothèse de(1.1(i)),ceci estaussi égalà Sl⊂^Vl^∗

0<l≤ⁿ

(

i_Sl

)

_!∗Lⁱ_l

[

^l

]

^{où V}_l^∗

=

^Vl

−

^Vl−¹,dimS_l

=

^{l.Lemorphisme p}

γ

i se factoriseen^p

γ

i

=

^p

ρ

i

◦

^p

β

i: ^pHⁱ

(

R

(

kv

)

_!k^∗_vK

)

pβi

→

^pHⁱ

(

K

)

pρi

→

^pHⁱ

(

R

(

kv

)

_∗k^∗_vK

)

;onendéduit :

im^p

ρ

i

⊃

S

_l∈^V_l^∗

0<l≤n

(

i_Sl

)

_!∗L_lⁱ

[

^l

] =

^imp

γ

i

.

Pourobtenirl’égalitéim^p

ρ

i

=

^imp

γ

i,ilsuffitdeprouver,d’aprèslelemme2.1(iii),quelemorphisme ^p

ρ

_i⁰,induitpar ^p

ρ

i surlacohomologieendegrézéro,s’annule :

H⁰

i^∗_v^pHⁱ

(

K

)

^pρ0i

−→

^H0

i^∗_v^pHⁱ

(

Rk_v∗k^∗_vK

)

S

_l∈^V_l^∗

0<l≤ⁿ,j≤ⁱ Rⁱk_v∗

k^∗_vi_Sl!∗L_l^j

[

^l

−

^j

] .

Interprétationdumorphisme^p

ρ

_i⁰.OnconsidèredepetitsvoisinagesB_v de vetB_Xv de X_v etoninterprètelemorphisme ^p

ρ

_i⁰

comme un morphisme H⁰

(

B_v

,

^pHⁱ

(

K

)) →

H⁰

(

B_v

−

^v

,

^pHⁱ

(

K

))

^Gr_i^pτHⁱ

(

B_Xv

−

^Xv

,

j_!∗L)^{. En effet :} Hⁱ

(

B_v

,

^p

τ

_≤iK

)

Hⁱ

(

Bv

,

^pHⁱ

(

K

) [−

ⁱ

] )

car Hⁱ

(

Bv

,

^p

τ

<iK

) =

^Hi

(

i^∗_v

(

^p

τ

<iK

)) =

^{0 et} Hⁱ⁺¹

(

Bv

,

^p

τ

<iK

) =

^Hi+1

(

i^∗_v

(

^p

τ

<iK

)) =

^{0, et par consé-} quent ^p

ρ

_i⁰ sefactorisecommesuit :Hⁱ

(

Bv

,

^p

τ

_≤iK

) →

Hⁱ

(

Bv

,

K

) =

Hⁱ

(

Xv

,

j_!∗L

) →

Hⁱ

(

BXv

−

^Xv

,

j_!∗L

)

.

SiL^{estuneVSHpolariséedepoidsa,l’espace}Hⁱ

(

Xv

,

j_!∗L

)

estdepoids

ω ≤

^a

+

^{ialorsqu’àdroitelepoidsest}

ω >

a

+

ⁱ d’aprèslerésultatsurlapuretélocaleenv,donc ^p

ρ

_i⁰

=

^0.

2) L’isomorphismeim^p

α

i

ⁱv∗Lⁱ₀^{. Le morphisme de connexion p}Hⁱ⁻¹

(

Rkv∗K_|V−{^v}

)

pδ_i−1

→

Hⁱv

(

V

,

K

)

s’annule sur l’imagede p

ρ

i−¹ etpar conséquent, d’après lelemme 2.1(i), son image est égaleà celle de l’espace vectoriel Rⁱ⁻¹kv∗k^∗_v

(

^p

τ

_≤i−¹K

)

: Rⁱ⁻¹k_v∗k^∗_v

(

^p

τ

_≤i−1K

)

pδ_i−1

→

^pHⁱ

(

i^!_vK

) =

Hⁱv

(

V

,

K

)

Hⁱ_Xv

(

X

,

j_!∗L)^{etl’on aimp}

α

i

Hⁱv

(

V

,

K

)/

im^p

δ

i−1.Parailleurs,rappelons queLⁱ₀estl’imagedumorphismed’intersectionIⁱ_v endegréidanslediagrammesuivant :

Hⁱ⁻¹

i^∗_vRkv∗K_|V−{^v}

δ_i−1

→ H

ⁱ_v

(

V

,

K

)

^I

iv

→

Hⁱ

i^∗_vK

ρi

→

Hⁱ

i^∗_vRkv∗K_|V−{^v}

(

∗

) etl’ona :imIⁱ_v

Hⁱv

(

V

,

K

)/

im

δ

i−¹.Ilsuffitdoncdeprouver : im^p

δ

i−¹

=

^im

δ

i−¹.Vuqueladécompositions’appliquepar récurrencesur V

− {

^v

}

^{,ontrouve :}

p

δ

i−¹

Rⁱ⁻¹kv∗k^∗_v

(

^p

τ

_≤i−¹K

)

δ

i−¹

_p

τ

_≤i−¹

H

ⁱ⁻¹

(

BXv

−

Xv

,

j_!∗L

) ,

alors quel’on veutl’égalité avectoute l’image

δ

i−¹

(H

ⁱ⁻¹

(

B_Xv

−

^Xv

,

j_!∗L))^{, cequi découlede lapuretélocale.En effet,le} quotientHⁱ⁻¹

(

BXv

−

^Xv

,

j_!∗L

)/

^p

τ

_≤i−¹ estdepoids

ω <

a

+

^{i etlepoidsde}Hⁱ_Xv

(

X

,

j_!∗L

)

est

ω ≥

^a

+

^{i,d’oùl’ondéduitque} lesimagesde^p

δ

i−1 et

δ

i−1 sontégalesdansHⁱ_Xv

(

X

,

j_!∗L)^depoids

ω ≥

^a

+

^i.Vuqueimp

α

i

=

^kerp

ρ

i,onobtientunesuite exacte :0

→

ⁱv∗L0ⁱ

→

^pHⁱ

(

K

) →

^Sl⊂^V_l^∗

0<l≤niS_l!∗L_l^j

[

^l

] →

^0.

3) Scindagede^pHⁱ

(

K

)

. Considéronsla suiteexacte : ^pHⁱ

(

R

(

k_v

)

_!k^∗_vK

)

pβi

→

^pHⁱ

(

K

) →

^{θi Hi}

(

i^∗_vK

)

.Par définitionde Lⁱ₀^{,le mor-} phisme

θ

iinduitunisomorphismesuri_v∗Lⁱ₀

=

^imp

α

i

=

^kerp

ρ

i,alorsque

θ

i

◦

^p

β

i

=

^{0,etparconséquentimp}

β

i

∩

Lⁱ₀

=

^0.On endéduitque^p

ρ

iinduitunisomorphisme :im^p

β

i

pρi

→

^imp

ρ

ietfinalement :^pHⁱ

(

K

) =

^imp

β

i

⊕

ⁱv∗L₀ⁱ Remarque1.Onretientlesrelationsutilespourlasuite :

kerIⁱ_v

=

ker^p

α

i

im^p

δ

i−¹

S

_l⊂^V_l^∗

0<l≤n,0≤i−1−j

R^i−1−jkv∗

iS_l!∗L_l^j

[

l

]

S

_l⊂^V_l^∗

0<l≤n,0<i−j

Hⁱ_v^−j

iS_l!∗L_l^j

[

l

] .

Lefschetzdifficile.L’isomorphisme

η

ⁱ (théorème 1.1(ii)), d’aprèsl’hypothèse de récurrence, s’étendaux extensionsintermé- diaires

(

kv

)

_!∗k^∗_v^pHⁱ

(

K

)

. On poseLⁱv

=

^im

(

Hⁱ_Xv

(

X

,

j_!∗L

)

^I

iv

→

Hⁱ

(

Xv

,

j_!∗L

))

pour l’image du morphisme d’intersection Iⁱ_v au point v.L’assertion(ii)duthéorème1.1découledulemmesuivant.

Lemme2.2.

(i) LaVSH :L⁻_j^{isurunestrateS}j

⊂

^V∗_j^{estdualedePoincaréde}Lⁱ_j^pourtouti

∈

Z^. (ii) Lecup-produititéréavec

η

induitdesisomorphismes

η

ⁱ

:

L⁻_jⁱ

→

Lⁱ_j^surSjpouri

≥

^0.

L’assertion(i) estclairesurladéfinitionauto-dualedumorphismed’intersection.

(ii) On peutsupposer j

=

^{0 et S}j un point v.Il estintéressant d’interpréterl’assertiondanslecasclassiqueoù L

˜

^estun systèmelocalendegré0 sur X lisseetX_v estlisseaussi.LapreuveutilisealorsladécompositiondeLefschetzsur X_v,par contrelerésultatneconcernepaslapartieprimitivedeH⁻ⁱ

(

Xv

,

L|^Xv

)

.