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Zongbin Chen
To cite this version:
Zongbin Chen. Pureté des fibres de Springer affines pour GL_4. Mathématiques générales [math.GM]. Université Paris Sud - Paris XI, 2011. Français. �NNT : 2011PA112266�. �tel-00656163�
Nod’ordre:
THÈSE
Présentée pour obtenir
LE GRADE DE DOCTEUR EN SCIENCES
DE L’UNIVERSITÉ PARIS-SUD XI
Spécialité: Mathématiques
par
Zongbin Chen
Sur la pureté des fibres de Springer
affines non-ramifiées pour GL
4
Soutenue le 5 Decembre 2011 devant la Commission d’examen:
M. Pierre-Henri Chaudouard
M. Ulrich Görtz (Rapporteur)
M. Guy Henniart
M. Gérard Laumon (Directeur de thèse)
M. Jean-Loup Waldspurger (Président)
Rapporteurs:
Département de Mathématiques d’Orsay Laboratoire de Mathématiques (UMR 8628), Bât. 425 Université Paris-Sud 11
Résumé
La thèse consiste de deux parties. Dans la première partie, on montre la pureté des fibres de Springer affines pourGL4dans le cas non-ramifié. Plus précisément, on construit une famille de
pavages non standard en espaces affines de la grassmannienne affine, qui induisent des pavages en espaces affines de la fibre de Springer affine. Dans la deuxième partie, on introduit une notion de ξ-stabilité sur la grassmannienne affine X pour le groupe GLd, et on calcule la séries de
Poincaré du quotient Xξ/T de la partie ξ-stable Xξ par le tore maximalT par une processus analogue de la réduction de Harder-Narasimhan.
Mots-clefs: grassmannienne affine, fibre de Springer affine, pavage en espaces affines, pureté, ξ-stabilité.
On the purity of unramified affine Springer fibre for GL4
Abstract
This thesis consists of two parts. In the first part, we prove the purity of affine Springer fibers for GL4 in the unramified case. More precisely, we have constructed a family of non
standard affine pavings for the affine grassmannian, which induce an affine paving for the affine Springer fiber. In the second part, we introduce a notion of ξ-stability on the affine grassmannian X for the group G = GLd, and we calculate the Poincaré polynomial of the
quotient Xξ/T of the stable part Xξ by the maximal torus T by a process analogue to the
Harder-Narasimhan reduction.
Remerciements
Je remercie mon directeur de thèse, Gérard Laumon, très chaleureusement pour m’avoir proposé ce sujet de recherche et ses encouragements constants. Je le remercie aussi pour sa grande patience de m’écouter et de nombreuses heures consacrées à la lecture de la thèse.
Je remercie Ulrich Görtz et Thomas Haines d’avoir bien voulu écrire des rapports sur ma thèse et d’avoir signalé quelques imprécisions sur la longueur et l’ordre de Bruhat-Tits sur le groupe de Weyl affine. Je remercie également Pierre-Henri Chaudouard, Ulrich Görtz, Guy Henniart et Jean-Loup Waldspurger, qui m’ont fait l’honneur d’accepter de faire partie du jury.
Un grand merci à mes amis chinois, qui ont créé autour de moi une ambiance amicale, Zhou Guodong, Chen Ke, Zheng Weizhe, Chen Miaofen, Ma Xiaonan, Wu Han, Shan Peng, Liang Xiangyu, Shen Xu, Wang Chunhui, Sun Zhe, Hu Yong, Hu Yongquan, Liang Yongqi, Tang Shun, Shen Shu, Chen Li. Je remercie en particulier Shen Xu, Sun Zhe, Alexis Bouthier et Arno Kret pour les discussions mathématiques que j’ai eues avec eux.
Table des matières
1 Introduction 9
1.1 Présentation des résultats principaux . . . 9
1.2 Notations . . . 12
I
Pavages en espaces affines des fibres de Springer affines
15
2 Pavages non standard de la grassmannienne affine 16 2.1 Filtration de Moy-Prasad . . . 162.2 Pavages non standard de la grassmannienne affine tronquée . . . 17
2.3 Pavages en tranches de la grassmannienne affine tronquée . . . 21
3 Application aux pavages de la fibre de Springer affine 29 3.1 Rappel sur les fibres de Springer affines . . . 29
3.2 Formes minimales des valuations radicielles non-ramifiées . . . 30
3.3 La conjecture de pureté . . . 33
3.4 Une proposition technique . . . 35
3.5 Pavage pour GLd dans un cas particulier . . . 37
3.6 Pavage pour GL3 . . . 37
3.7 Pavage pour GL4 dans le cas nonramifié . . . 40
II
Sur une notion de
ξ-stabilité sur la grassmannienne affine 50
4 La notion de ξ-stabilité 51 4.1 La notion de ξ-stabilité sur la grassmannienne affine . . . 514.2 Rappel sur la théorie géométrique des invariantes de Mumford . . . 52
4.3 Comparaison de deux notions de stabilité . . . 56
5 La réduction d’Arthur-Kottwitz 57 6 Séries de Poincaré de Xξ/T 58 6.1 Séries de Poincaré de la grassmannienne affine . . . 59
6.2 Xξ/T est homologiquement lisse . . . 60
1.1 - Présentation des résultats principaux 9
1
Introduction
1.1
Présentation des résultats principaux
Soit k un corps algébriquement clos. On note F = k((ε)) le corps de séries de Laurent sur k, O = k[[ε]] son anneau d’entier, p = εk[[ε]] son idéal maximal. On fixe une clôture algébrique F de F , et val : F → Q la valuation discrete normalisée par val(ε) = 1.
Soient G = GLd, T le tore maximal des matrices diagonales, B le sous-groupe de
Borel des matrices triangulaires supérieures. On note g, t, b pour leurs algèbres de Lie et Φ(G, T ) pour le système de racines de G par rapport à T . Soit K = G(O), soit I le sous-groupe d’Iwahori standard de G(F ), i.e. il est l’image inverse de B sous la projection naturelle K → G(k).
La grassmannienne affine est le quotient X = G(F )/K vu comme un ind-k-schéma. Elle classifie les réseaux dans Fd.
X = {L ⊂ Fd | L est un sous-O-module libre de Fd de rang d
tel que F · L = Fd}.
Ce ind-k-schéma admet un pavage en espaces affines.
Théorème 1.1 (Bruhat-Tits). On a un pavage en espaces affines
X = G
v∈X∗(T )
IvK/K.
1.1.1 Pavages des fibres de Springer affines
Soit γ ∈ g(F ) un élément semi-simple régulier. La fibre de Springer affine
Xγ = {g ∈ G(F )/G(O) | Ad(g−1)γ ∈ g(O)}
= {L ∈ X | γL ⊂ L}
a été introduite par Kazhdan et Lusztig dans [KL]. C’est un sous-schéma fermé locale-ment de type fini et de dimension finie de X . Elle est utilisée par Goresky, Kottwitz et Macpherson dans [GKM2] pour montrer le lemme fondamental de Langlands-Shelstad, sous l’hypothèse suivante :
Conjecture 1.1 (Goresky-Kottwitz-Macpherson). Soit γ ∈ g(F ) un élément
semi-simple régulier, la cohomologie de la fibre de Springer affine Xγ est pure.
Dans [GKM1], Goresky, Kottwitz et Macpherson ont montré cette conjecture pour γ équivalué. L’élément γ est dit équivalué si val(α(γ)) ne dépend pas de la racine α
de G sur F par rapport à Zγ(G). Pour cela, ils ont construit un pavage en espaces
affines de Xγ. Pour une variété X sur k, un pavage en espaces affines de X est une
filtration croissante exhaustive X0 ⊂ X1 ⊂ · · · de X telle que Xi est fermé et Xi\Xi−1
est isomorphe à un espace affine standard, ∀i. Dans le cas où γ ∈ t(O) est équivalué, un tel pavage est obtenu en intersectant Xγ avec le pavage de Bruhat-Tits.
Mais pour γ ∈ t(O) non-équivalué, les intersections Xγ∩ IvK/K sont en général
Exemple 1.1. Soit G = GL3, γ = ε 2 ε4 −ε4 . Pour v ∈ Z3, on note εv = ε v1 εv2 εv3 et C(v) = IεvK/K. On a C(0, 2, −2) = 1 O/p 2 p/p2 1 O/p4 1 εvK/K. En utilisant la coordonné b11ε 1 Pa03i=0+ ac1iεεi 1 ∈ 1 O/p 2 p/p2 1 O/p4 1 ,
on trouve que l’intersection Xγ∩ IvK/K est la sous-variété de A7 définie par l’équation
a0b1 = 0.
Lucarelli a construit dans [Lu] un pavage en espaces affines de Xγ pour PGL3. Il
part d’un pavage en espaces affines de X qui est différent de celui de Bruhat-Tits. Dans notre exemple pour GL3, Lucarelli rassemble le pavé singulier C(0, 2, −2) ∩ Xγ et le
pavé lisse C(1, 1, −2) ∩ Xγ, et redécoupe la réunion de ces deux pavés en utilisant le
décomposition de Bruhat-Tits pour l’Iwahori
I′ = Ad(diag(1, 1, ε2))I,
ce qui est équivalent à envoyer la branche b1 6= 0, a0 = 0 vers la cellule C(1, 1, −2) ∩ Xγ
et laisser l’autre fixé. Pour b1 6= 0, on a
b11ε 1 P3i=0a1εciεi 1 1 ε2 ε−2 K/K = 1 b−11 ε−1 a 1ε − b−11 c3ε2 1 P2i=0ciεi 1 ε ε ε−2 K/K, et C(1, 1, −2) ∩ Xγ = 1 p/p 3 1 O/p3 1 ε ε ε−2 K/K.
Donc la branche b1 6= 0, a0 = 0 et la cellule C(1, 1, −2) ∩ Xγ se rassemblent en l’espace
affine 1 p −1/O p/p3 1 O/p3 1 ε ε ε−2 K/K ∼= A6.
1.1 - Présentation des résultats principaux 11
Remarquons que dans l’exemple 1.1, on peut aussi déplacer la branche a0 6= 0, b1 = 0
vers le pavé lisse C(−2, 2, 0) ∩ Xγ, ce que ne fait pas Lucarelli. Nous utilisons en fait les
deux possibilités pour obtenir une famille de pavages de GL3 qui sont différents de celui
de Lucarelli, mais qui nous permet de paver la fibre de Springer affine pour GL4.
Pour m ∈ Z, on note
X≥−m= {L ∈ X | L ⊂ ε−mOd}, alors X = limm→+∞X≥−m. Notre résultat principal est
Théorème 1.2. Pour G = GL4 et γ ∈ g(F ) un élément semi-simple régulier
non-ramifié, X≥−m∩ Xγ admet un pavage en espaces affines. Donc Xγ est pur.
L’idée est de couper X≥−m ∩ Xγ en parties localement fermées telles que chaque
partie est une fibration en espaces affines sur une sous-variété localement fermée de XGL3
γ , et donc le pavage est ramené aux pavages pour GL3.
Passons maintenant en revue de cette partie.
Dans §2, nous construisons des pavages non standard en espaces affines de la grass-mannienne affine. Après des rappels sur la filtration de Moy-Prasad et le décomposition de Bruhat-Tits, on commence par le pavage de la grassmannienne affine tronquée X≥−m
et son “dual” X≤m. Puis dans §2.3, pour v ∈ X∗(T ) tel que v1 ≥ v2 = · · · = vd−1≥ vd, on
a coupé la variété de Schubert affine Sch(v) = KvK/K en parties localement fermées, qui sont en effet des fibrations en espaces affines sur les grassmanniennes affines tron-quées pour les sous-groupes de Levi standard de G. Leurs pavages sont ensuite ramenés à ceux de la grassmannienne affine tronquée. Signalons que dans §2.3.1, nous introdui-sons certaines fibrés vectoriels sur la grassmannienne affine et nous donnons de critère pour que l’intersection de deux fibrés vectoriels reste un fibré vectoriel. Ces résultats sont utilisés pour montrer que certaines rétractions sont en fait des fibrations en espaces affines.
Dans §3, nous utilisons ces pavages non standard aux pavages des fibres de Springer affines. D’abord, on fait des rappels sur les fibres de Springer affines. En suivant Go-resky, Kottwitz et Macpherson on introduit les valuations radicielles, et on classifie les valuations radicielles non-ramifiées. Puis, on fait des rappels sur la conjecture de pureté de Goresky, Kottwitz et Macpherson. Nous entrons ensuite aux parties essentielles de la thèse. Après une proposition technique concernant des fibrations en espaces affines entre les sous-variétés des fibres de Springer affines, nous construisons des pavages en espaces affines des fibres de Springer affines dans les cas suivants :
1. G = GLd, γ = (γ1, γ2) ∈ gl1 × gld−1(F ) ⊂ gld(F ) tel que α1,2(γ) = n1 et γ2 ∈
gld−1(F ) est équivalué de valuation n2+ r, r ∈ Q, 0 ≤ r < 1, n1 ≤ n2, n1, n2 ∈ N.
2. G = GL3, γ quelconque.
3. G = GL4, γ non-ramifié.
1.1.2 La ξ-stabilité sur la grassmannienne affine
On introduit une notion de ξ-stabilité sur la grassmannienne affine. C’est un ana-logue local de la notion de ξ-stabilité sur l’espace de Hitchin introduite par Chaudouard
et Laumon dans [CL]. Le sous ind-k-schéma Xξ des points ξ-stables est ouvert dans
X, il est invariant sous l’action du tore T . On s’intéresse au quotient Xξ/T . Par une comparaison avec la notion de stabilité en théorie géométrique des invariantes de Mum-ford, on montre que la quotient Xξ/T est un ind-k-schéma. Le résultat principal de
cette partie est
Théorème 1.3. La séries de Poincaré de Xξ/T est
PXξ/T(t) = 1 (1 − t2)d−1 d−1 Y i=1 (1 − t2i)−1.
De plus, on a H2i+1(Xξ/T ) = 0 et le frobenius agit sur H2i(Xξ/T ) par q−i, ∀i ∈ Z, i ≥
0.
Pour cela, on montre d’abord que la variété Xξ
≥−n/T est homologiquement lisse.
C’est un corolaire d’un résultat de comparaison des singularités de la grassmannienne affine et du cône nilpotent, et du fait que le cône nilpotent est homologiquement lisse. Ensuite, on déduit la séries de Poincaré de Xξ/T de celle de la grassmannienne affine en
utilisant la réduction d’Arthur-Kottwitz, le point clé est une majoration de dimension de la partie non-ξ-stable X≥−n\X≥−nξ .
Passons en revue cette partie.
Dans §4, après une petit rappel sur la fonction HP d’Arthur, nous introduisons la
notion de ξ-stablilité. Puis on rappelle la théorie géométrique des invariants de Mumford et nous montrons que la ξ-stabilité est une sorte de stabilité sur la grassmannienne affine sous l’action d’un tore “tordu”, ce qui implique que Xξ/T est un ind-k-schéma.
Dans §5, nous construisons la réduction d’Arthur-Kottwitz, qui nous permet de ré-duire les parties non-ξ-stables de X aux parties stables des grassmanniennes affines pour les sous-groupes de Levi standard de G.
Dans §6, nous calculons la séries de Poincaré de Xξ/T . Nous commençons par
calculer celui de la grassmannienne affine. Puis nous montrons que Xξ/T est
homolo-giquement lisse en utilisant les résultats de Mirkovic-Vybornov et Borho-Macpherson. Après une majoration de dimension des parties non-ξ-stables, nous déduisons la séries de Poincaré de Xξ/T et l’action de frobenius sur H
∗(Xξ/T ) de ceux de la grassmannienne
affine.
Dans §7, on rappel d’abord le résultat de Bezrukavnikov concernant l’action de Tγ(O)
sur Xγ, où Tγest le centralisateur de γ dans G. Puis on rappelle le théorème de Goresky,
Kottwitz et Macpherson sur les points réguliers de Xγ. On termine ensuite par définir
un domain fondamental de Xγ sous l’action de Tγ(F )/Tγ(O).
1.2
Notations
On fixe un nombre d ∈ N, d ≥ 1. On prend k = C le corps de nombres complexes, ou k = Fp la clôture algébrique d’un corps fini avec p > d. On note F = k((ε)) le corps
de séries de Laurent sur k, O = k[[ε]] son anneau d’entier, p = εO l’idéal maximal de O. On fixe une clôture algébrique F de F , et on note val : F → Z la valuation normalisée par val(ε) = 1.
1.2 - Notations 13
Soit G = GLd le groupe linéaire sur k, T le tore diagonal de G, B le sous-groupe
de Borel des matrices triangulaires supérieures de G. On notera leur algèbre de Lie par la lettre gothique correspondante. Pour tout sous-groupe fermé H de G stable par T sous l’action adjointe, on note Φ(H, T ) l’ensemble des racines de T dans H. Pour i, j = 1, · · · , d, i 6= j, on note αi,j ∈ X∗(T ) le caractère défini par
αi,j(diag(t1, · · · , td)) = tit−1j .
Alors Φ(G, T ) = {αi,j} est le système de racines de G par rapport à T . À toute racine
α ∈ Φ(G, T ), on associe de la manière usuelle une co-racine α∨ ∈ X
∗(T ). On note
gi,j l’espace propre de poids αi,j. Pour i = 1, · · · , d − 1, on note αi = αi,i+1, ce sont
des racines simples de G par rapport à B. On note {̟i}d−1i=1 les poids fondamentaux
correspondants. On note X+
∗ (T ) le semi-groupe des co-caractères dominants. On note
W = Sd le groupe de Weyl de G, on note si,j ∈ W la réflexion associée à la racine
αi,j et on simplifie si = si,i+1. La paire (W, {si}d−1i=1) est un groupe de Coxeter. On note
f
W = W ⋉ X∗(T ) le groupe de Weyl affine.
Pour a = (a1, · · · , ad) ∈ Zd, on l’identifie avec le co-caractère va ∈ X∗(T ) défini
par va(t) = (ta1, · · · , tad). À chaque v ∈ X∗(T ), on associe le sous-groupe parabolique
semi-standard Pv ⊃ T tel que
Lie(Pv) = t ⊕
M
αi,j(v)≥0
gi,j.
L’application v ∈ X∗(T ) → εv ∈ T (F )/T (O) est un isomorphisme de groupes abéliens ;
on identifie ces deux groupes dans la suite. On identifie aussi X∗(T ) ⊗ZR avec t.
On utilise les notations introduites par Arthur dans [A] pour la formule des traces. On note L(T ) l’ensemble des sous-groupes de Levi de G contenant T . Pour L, M ∈
L(T ), L ⊃ M , on note PL(M ) l’ensemble des sous-groupes paraboliques de L dont
le facteur de Levi est M. On note FL(M ) l’ensemble des sous-groupes paraboliques
de L contenant M. Pour simplifier les notations on note encore P(M) = PG(M ) et
F(M ) = FG(M ).
On note X∗(M ) = Hom(M, G
m) et a∗M = X∗(M ) ⊗ R. Le morphisme de restriction
X∗(M ) → X∗(T ) induit une injection a∗
M ֒→ a∗T. On note (aMT )∗ le sous-espace de a∗T
engendré par Φ(M, T ). On a une décomposition en somme directe a∗T = (aMT )∗ ⊕ a∗M.
L’accouplement canonique
X∗(T ) × X∗(T ) → Z
se prolonge linéairement en un accouplement parfait aT×a∗T → R, avec aT = X∗(T )⊗R.
Pour M ∈ L(T ), on note aM l’espace vectoriel sur R dual de a∗M. On identifie alors aM
au sous-espace de aT annulé par (aMT )∗. On note aMT le sous-espace de aT engendré par
Φ∨(M, T ). C’est aussi l’orthogonal de l’espace a∗
M dans aT. On a donc la décomposition
On note πM, πM les projections sur les deux facteurs.
Pour M ∈ L(T ) un sous-groupe de Levi de G, on utilise un exposantM pour désigner
l’objet correspondant pour M. Par exemple, IM = I ∩ M
F.
Pour x ∈ R, on note ⌊x⌋ le plus grand entier qui est inférieure ou égale à x, et ⌈x⌉ le plus petit entier qui est supérieur ou égale à x.
15
Première partie
Pavages en espaces affines des fibres de
Springer affines
Sommaire
2 Pavages non standard de la grassmannienne affine 16
2.1 Filtration de Moy-Prasad . . . 16
2.2 Pavages non standard de la grassmannienne affine tronquée . . . 17
2.2.1 Pavage triangulaire . . . 18
2.2.2 Passage au dual . . . 20
2.3 Pavages en tranches de la grassmannienne affine tronquée . . . 21
2.3.1 Quelques fibrés vectoriels sur la grassmannienne affine . . . . 21
2.3.2 Rétractions aux sous-groupes de Levi . . . 23
2.3.3 Pavage en tranches . . . 27
3 Application aux pavages de la fibre de Springer affine 29 3.1 Rappel sur les fibres de Springer affines . . . 29
3.2 Formes minimales des valuations radicielles non-ramifiées . . . 30
3.2.1 Classes deG(F )-conjugaison des tores maximaux de GF . . . 30
3.2.2 Valuations radicielles pourGLd . . . 31
3.3 La conjecture de pureté . . . 33
3.3.1 Pureté de ind-k-schéma . . . 33
3.3.2 Conjecture de Goresky, Kottwitz et Macpherson . . . 34
3.4 Une proposition technique . . . 35
3.5 Pavage pour GLddans un cas particulier . . . 37
3.6 Pavage pour GL3 . . . 37
3.7 Pavage pour GL4 dans le cas nonramifié . . . 40
3.7.1 Premier type . . . 42
Dans cette partie, on va construire des pavages en espaces affines de la grassman-nienne affine, on les utilisera ensuite pour paver des fibre de Springer affines en espaces affines dans certains cas.
2
Pavages non standard de la grassmannienne affine
2.1
Filtration de Moy-Prasad
On introduit l’action du tore “pivotant” Gm sur le corps F = k((ε)), définie par
t ∗ εn = tnεn, ∀t ∈ k×, n ∈ Z. Elle induit une action de G
m sur GF et gF. On a donc une
action du tore eT = Gm× T sur gF, le premier facteur agissant comme le tore pivotant.
On note ǫ0 ∈ X∗(Gm) le caractère définit par ǫ0(t) = t. On note (αi,j, n) le caractère
(ǫn
0, αi,j) de eT et on note eΦ(G, T ) = Φ(G, T ) × Z.
La décomposition en espaces propres de gF sous l’action de eT est
gF = M m∈Z εmt⊕ M (αi,j,n)∈eΦ(G,T ) gi,jεn+ gεN, N ≫ 0,
où εmt est de poids (0, m) et g
i,jεn est de poids (αi,j, n).
Pour x ∈ t fixé, t ∈ R, on définit une filtration sur gF :
gx,t =
M
αi,j(x)+n≥t
gi,jεn+ gεN, N ≫ 0.
C’est la filtration de Moy-Prasad sur gF introduite dans [MP]. Pour t ≥ 0, on note Gx,t le
sous-groupe de GF contenant T dont l’algèbre de Lie est gx,t. En particulier, Gx = Gx,0
est un sous-groupe parahorique de GF contenant T (O). Pour tout sous-algèbre de Lie
h de g stabilisé par T , on note hx,t = hF ∩ gx,t, c’est aussi une filtration de Moy-Prasad
sur hF.
On note gx,t+ = Lαi,j(x)+n>tgi,jε
n+ gεN, N ≫ 0, on a g
x,t+ = gx,t+δ pour δ > 0
assez petit. On note gx(t) = M αi,j(x)+n=t gi,jεn, et g(x, t) = M αi,j(x)+n=t gi,j, On a les isomorphismes g(x, t) ∼= gx(t) ∼= gx,t/gx,t+. Exemple 2.1. 1. Pour 0 ∈ t, on a G0 = K. 2. Pour x0 = dd,d−1d , · · · ,1d ∈ t, on a Gx0 = I. 3. Pour a ∈ Zd, on note x a = d d − a1, d−1 d − a2, · · · , 1 d− ad ∈ t, on a Gxa = Ia := Ad(ε a )I.
2.2 - Pavages non standard de la grassmannienne affine tronquée 17
2.2
Pavages non standard de la grassmannienne affine tronquée
Pour tout k-algèbre R, on dit que L ⊂ R((ε))d est un réseau, si L est un
sous-R[[ε]]-module de R((ε))d tel qu’il existe un entier N ≫ 0 avec
εNR[[ε]]d⊂ L ⊂ ε−NR[[ε]]d,
et que le quotient L/εNR[[ε]]d est un R-module projectif.
Pour N, N′ ∈ Z, N > N′, on note X
N,N′ la k-variété qui représente le foncteur qui
envoie une k-algèbre R sur l’ensemble
XN,N′(R) = {L ⊂ R((ε))d est un réseau | εNR[[ε]]d ⊂ L ⊂ εN ′
R[[ε]]d}.
Les XN,N′ forment un système inductif de k-schémas et le ind-k-schéma
X = lim
N →+∞, N′→−∞XN,N ′
est appelé la grassmannienne affine. On note L0 = Od, alors K est le stabilisateur de
L0 dans G(F ) et
X(k) = {L ⊂ Fd | L est un réseau dans Fd} = G(F )/K.
La grassmannienne affine n’est pas réduite comme un ind-k-schéma, mais puisque nous nous intéressons qu’à l’aspect géométrique-topologique de la grassmannienne affine, nous allons travailler avec sa structure réduite. Dans ce sens, le ind-k-schéma s’identifie avec leur points rationnels sur k.
On note ind : X → Z l’application ind(gK) = ind(gL0) = val(det(g)), ∀gK ∈ X .
Pour n ∈ Z, on note X(n) = ind−1
(n) ; les X(n) sont les composantes connexes de
X. Puisque le morphisme val(det) : GLd(F ) → Z est surjectif, toutes les composantes
connexes sont isomorphes à la composante neutre X(0). Pour plus de détails sur la
grassmannienne affine, on s’envoie à [BL].
On va définir une ordre ≺Ia sur X∗(T ), on commence par ≺I. Soit µ, ν ∈ X
+ ∗ (T ), alors µ ≺I ν si et seulement si µ1 ≤ ν1; µ1 + µ2 ≤ ν1+ ν2; ... µ1+ · · · + µd = ν1+ · · · + νd.
Puis on pose W µ ≺I W ν. Pour tout w, w′ ∈ W/Wµ, où Wµ est le stabilisateur de µ,
on pose wµ ≺ w′µ si et seulement si w′ ≺
B w, où ≺B est l’ordre sur W/Wµ induite par
celle de Bruhat-Tits sur W par rapport à B. Puis, pour v, v′ ∈ X
∗(T ), on pose
v ≺Ia v
′ ⇐⇒ ε−av ≺
I ε−av′.
Théorème 2.1 (Bruhat-Tits). Pour a = (a1, · · · , ad) ∈ Zd, on a un pavage en espaces
affines
X = G
v∈X∗(T )
où IavK/K est isomorphe à l’espace affine
M
(αi,j,ni,j)∈eΦ(G,T ),
−αi,j(xa)≤ni,j<αi,j(v)
gi,jεni,j,
De plus, Iav′K/K ⊂ IavK/K si et seulement si v′ ≺Ia v.
Démonstration. En utilisant la translation par ε−a sur la grassmannienne affine, il suffit
de montrer le théorème pour a = 0. Pour la démonstration de la première partie, on peut voir [IM] par exemple. Pour la relation d’adhérence, en utilisant les eT -orbites de
dimension 1 sur la grassmannienne affine, on se ramène au cas G = GL2, où on peut
vérifier directement.
On va réécrire le théorème ci-dessus sous la forme d’une décomposition de Bialynicki-Birula. On note ˜λa∈ X∗( eT ) le co-caractère défini par
˜
λa(t) = (td, diag(td−a1d, td−1−a2d, · · · , t1−add)), t ∈ k×
Considérons l’action de Gm sur X induite par le co-caractère ˜λa ∈ X∗( eT ). L’ensemble
des points fixes XGm est discret et égale à {vK, v ∈ X
∗(T )}. De plus, on a
IavK/K = {L ∈ X | lim
t→0
˜
λa(t)L = vK}.
Ici, la limite porte le sens suivant : Soit N ∈ N assez grand tel que L ∈ XN,−N, alors
le morphisme λL: Gm → X défini par λL(t) = ˜λa(t)L, ∀t ∈ k× se factorise par XN,−N
puisque XN,−N est stable sous l’action de eT . Et il se prolonge à un morphisme unique
¯
λL: A1 → XN,−N puisque XN,−N est propre, la limit en question est définie comme
lim
t→0
˜
λa(t)L = ¯λL(0),
qui ne dépend que de L.
2.2.1 Pavage triangulaire
Pour m ∈ Z, on note
X≥m = lim
N →+∞XN,m.
C’est un sous ind-k-schéma fermé eT -invariant de X . On a X≥m(k) = {L ∈ X | L ⊂ εmL0}.
On observe que L ∈ X≥m(k) si et seulement s’il admet une base {bi = Pdj=1ai,jej}di=1
sur O tel que
val(ai,j) ≥ m.
C’est équivalent à l’égalité
X≥m = G
v∈Zd, v i≥m, ∀i
2.2 - Pavages non standard de la grassmannienne affine tronquée 19
Proposition 2.2. Soient a = (a1, · · · , ad) ∈ Zd et w ∈ X∗(T ).
1. Pour w /∈ X≥m, l’intersection X≥m∩ IawK/K est vide.
2. Pour w ∈ X≥m, l’intersection X≥m∩ IawK/K est isomorphe à un espace affine
standard. Plus précisément, X≥m∩ IawK/K = Ja,m,wwK/K ∼= Ja,m,w, où Ja,m,w
est la sous-k-variété de Ia formée des matrices (xi,j) telles que xi,i = 1 et que
mi,j ≤ val(xi,j) < αi,j(w), ∀i 6= j,
où mi,j = max(−αi,j(xa), m − wj) = max(ai − aj+ i−j
d , m − wj).
3. Par conséquent, on a un pavage en espaces affines
X≥m= G
w∈XT ≥m
X≥m∩ IawK/K.
L’inclusion (X≥m∩ IavK/K) ⊂ (X≥m∩ IawK/K) implique que v ≺Ia w.
Démonstration. 1. On raisonne par l’absurde. Supposons qu’il existe w /∈ X≥m, tel
que l’intersection X≥m∩ IawK/K est non-vide et prenons y ∈ X≥m∩ IawK/K.
Puisque X≥m est fermé et invariant sous l’action de eT , on a
w = lim
t→0
˜
λa(t)y ∈ X≥m,
d’où une contradiction. L’intersection X≥m∩ IawK/K est donc vide.
2. Pour w ∈ X≥m, un réseaux L ∈ IawK/K admet une base unique {bi}di=1 sur O
de la forme bi = εwi ei+ d X j=1, j6=i aj,iej ! , aj,i ∈ F tel que −αj,i(xa) = aj− ai+ j − i
d ≤ val(aj,i) < αj,i(w). On a L ∈ X≥m si et seulement si
val(aj,i) + wi ≥ m,
d’où la description précise de l’intersection X≥m∩ IawK/K dans la proposition.
On va passer aux composantes connexes de la grassmannienne affine. Définition 2.1. Pour v ∈ X∗(T ), la variété fermée
Sch(v) := IvK/K = G
w≺Iv
IwK/K est appelée une variété de Schubert affine.
Corollaire 2.3. Soit v ∈ X∗+(T ) tel que v1 ≥ v2 = · · · = vd, soit a = (a1, · · · , ad) ∈ Zd.
Alors on a un pavage en espaces affines
Sch(v) = G
w∈Sch(v)T
Sch(v) ∩ IawK/K.
L’intersection Sch(v) ∩ IawK/K = Ja,v,wwK/K, où Ja,v,w est la sous-k-variété ouverte
et fermée de Ia formée des matrices (xi,j) telles que xi,i ∈ O et que
val(xi,j) ≥ mi,j, ∀i 6= j,
où mi,j = max(ai− aj+ i−jd , vd− wj). De plus, l’inclusion
Sch(v) ∩ IawK/K ⊂ (Sch(v) ∩ Iaw′K/K)
implique que w ≺Ia w
′.
Démonstration. La variété de Schubert affine Sch(v) est l’une des composants connexes de X≥vd. En fait, on a
Sch(v) = X≥vd∩ X
(v1+···+vd).
le corolaire se déroule de la proposition 2.2.
2.2.2 Passage au dual
On définit un accouplement
Tr : Fd× Fd→ F
par Tr((xi), (yi)) =Pdi=1xiyi. Pour L ∈ X , on note
L∨ = {y ∈ Fd | Tr(x, y) ∈ O, ∀x ∈ L}.
Alors L∨ est un réseau et (L∨)∨ = L. Ainsi on définit une involution ∨ sur la
grassman-nienne affine X . Pour m ∈ Z, on a
X∨
≥−m= X≤m := {L ∈ X | L ⊃ εmL0}.
Lemme 2.4. Pour g ∈ G(F ), L ∈ X , on a (gL)∨ = (gt)−1L∨.
Utilisant ce lemme, on trouve une version duale du corolaire 2.3.
Corollaire 2.5. Soit v ∈ X∗+(T ) tel que v1 = · · · = vd−1 ≥ vd, soit a = (a1, · · · , ad) ∈
Zd. Alors on a un pavage en espaces affines
Sch(v) = G
w∈Sch(v)T
2.3 - Pavages en tranches de la grassmannienne affine tronquée 21
L’intersection Sch(v) ∩ IawK/K est égale à ˆJa−1,v,wwK/K, où ˆJa,v,w est la sous-k-variété
ouverte et fermée de Ia formée des matrices (xi,j) telles que xi,i ∈ O et que
val(xi,j) ≥ ˆmi,j, ∀i 6= j,
où ˆmi,j = max(ai− aj+ i−jd , −v1+ wi). De plus, l’inclusion
Sch(v) ∩ IavK/K) ⊂ Sch(v) ∩ IawK/K)
implique que v ≺Ia w.
2.3
Pavages en tranches de la grassmannienne affine tronquée
On fixe v ∈ X+
∗ (T ) tel que v1 ≥ v2 = · · · = vd−1 ≥ vd. Le but de cette section est de
construire une famille de pavages non standard de la variété de Schubert affine Sch(v).
2.3.1 Quelques fibrés vectoriels sur la grassmannienne affine
Définition 2.2. Soit S un schéma de type fini sur k, le S-schéma f : E → S est appelé un fibré en O-modules sur S s’il satisfait aux conditions suivantes :
1. Il existe une action de O sur E et une loi d’addition
+ : E ×SE → E
qui est O-bilinéaire.
2. Il existe un O-module de type fini M et un recouvrement (Ui)i∈J de S tel que on
a des trivialisations qui sont compatibles avec les structures des O-modules : ϕi : E ×SUi → M × Ui, ∀i ∈ J.
Définition 2.3. Soit S un ind-k-schéma, un morphisme entre les ind-k-schémas f :
E → S est appelé un fibré en O-modules s’il satisfait à la condition 1 dans la définition ci-dessus et que pour tout sous-k-schéma fermé de type fini S de S, la restriction fS :
E ×SS → S est un fibré en O-modules sur S.
On rappelle que on a X = limn→+∞Xn,−n, où
Xn,−n= {L ∈ X | εnL0 ⊂ L ⊂ ε−nL0}.
Proposition 2.6. Pour tout n ∈ N, ∀gK ∈ Xn,−n, on a
ε2ng(O) ⊂ Ad(g)g(O) ⊂ ε−2ng(O).
Démonstration. Pour gL0 ∈ Xn,−n, on a g−1L0 ∈ Xn,−n aussi. Par gL0 ⊂ ε−nL0, on
obtient val(gi,j) ≥ −n. Parallèlement, on a val((g−1)i,j) ≥ −n. Donc
Ad(g)g(O) ⊂ ε−2ng(O).
Le même argument pour g−1L
0 ∈ Xn,−n implique que
Ad(g−1)g(O) ⊂ ε−2ng(O), d’où la proposition.
Sur Xn,−n, on note Ln,1et Ln,2les fibrés en O-modules constants ε2ng(O) × Xn,−n et
ε−2ng(O) × X
n,−n respectivement. On note Kn le sous-fibré vectoriel du fibré vectoriel
constant Ln,2/Ln,1 dont la fibre sur gK ∈ Xn,−n est Ad(g)g(O)/ε2ng(O). On note Kn
l’image inverse de Kn sous la projection naturelle Ln,2→ Ln,2/Ln,1. Évidement, Kn est
un fibré en O-modules sur Xn,−n.
Définition 2.4. Le fibré en O-modules K := limn→∞Kn sur X est appelé le fibré
tautologique.
Le fibré tautologique K peut être vu comme le sous fibré en O-module du “fibré vectoriel” constant ˜gF := gF × X dont la fibre sur gK est Ad(g)g(O).
On peut écrire K autrement. Le groupe K agit sur G(F ) × g(O) par la formule : k · (g, a) = (gk, Ad(k−1)a).
On note K := G(F )×Kg(O) le quotient de G(F )×g(O) par K. Alors K ∼= G(F )×Kg(O).
Soit Z un sous-k-schéma de X de type fini. Soit V un sous-O-module de type fini de gF, on note ˜V le fibré en O-modules constant V × X sur la grassmannienne affine
X. Dans la suite de la thèse, on va traiter souvent la restriction à Z du quotient de type
˜ V ˜ V ∩ K.
La question est de déterminer s’il est un fibré vectoriel.
Lemme 2.7. Soit R un anneau local réduit noetherien, soit M un R-module de type fini. Soient s le point spécial de Spec(R), η1, · · · , ηl les points génériques correspondant aux
composantes irréductibles de Spec(R). On suppose que dimk(s)(M ⊗k(s)) = dimk(ηi)(M ⊗
k(ηi)), i = 1, · · · , l, alors M est un R-module libre.
Démonstration. Soit d = dimk(s)(M ⊗ k(s)). Prenons m1, · · · , md ∈ M tel que leur
réduction forment une base de M ⊗ k(s) sur k(s). Alors le lemme de Nakayama im-plique que m1, · · · , md engendre M. Soit N le noyau du morphisme Rd→ M défini par
(ri)di=1 →
Pd
i=1rimi. Puisque dimk(ηi)(M ⊗ k(ηi)) = d, on a N ⊗Rk(ηi) = 0. Ceci
im-plique que N = 0 car l’inclusion naturelle R →Ll
i=1k(ηi) est injective par l’hypothèse
que R est réduit.
Corollaire 2.8. Soit R un anneau local réduit de type fini. Soient s le point spécial de Spec(R), η1, · · · , ηl les points génériques correspondant aux composantes irréductibles de
Spec(R). Soient E un R-module libre de type fini, E1, E2 deux facteurs directes de E.
On suppose que
dimk(s)(E1⊗ k(s) ∩ E2⊗ k(s)) = dimk(ηi)(E1⊗ k(ηi) ∩ E2 ⊗ k(ηi)), i = 1, · · · , l.
Alors E1∩ E2 est un R-module libre.
Démonstration. Considérons le morphisme
2.3 - Pavages en tranches de la grassmannienne affine tronquée 23
défini par (a, b) → a − b, ∀a ∈ E1, b ∈ E2.
L’hypothèse implique que
dimk(s)(Im(φ) ⊗ k(s)) = dimk(ηi)(Im(φ) ⊗ k(ηi)), i = 1, · · · , l.
Donc Im(φ) est un R-module libre d’après le lemme 2.7. Ceci entraine que ker(φ) l’est aussi.
Corollaire-Définition 2.9. Soit Z un sous-k-schéma réduit de X de type fini. Soit
V un sous-O-module de type fini de gF. On suppose que dimk(V /V ∩ Ad(g)g(O)) est
indépendent de g pour gK ∈ Z, alors les V/V ∩ Ad(g)g(O) s’organisent en un fibré vectoriel que on notera ˜V / ˜V ∩ K sur Z.
Démonstration. Choisissons N ∈ N assez grand tel que Z ⊂ XN,−N. D’après la
propo-sition 2.6, on a
LN,1|Z⊂ K |Z⊂ LN,2 |Z .
Alors les quotients
K′ := KN|Z, V′ :=
˜
V + LN,1
LN,1
sont des sous-fibrés vectoriels de dimension finie sur Z de LN,2/LN,1. De plus, pour tout
gK ∈ Z, on a V V ∩ Ad(g)g(O) = V +εNg(O) εNg(O) V +εNg(O) εNg(O) ∩ Ad(g)g(O) εNg(O)
L’hypothèse implique que l’intersection V′ ∩ K′ est équi-dimensionel sur Z, donc il est
un fibré vectoriel d’après le corolaire 2.8. Ainsi le quotient V′
V′∩K′ est le fibré vectoriel que
l’on cherche.
2.3.2 Rétractions aux sous-groupes de Levi
Pour tout P ∈ FG(T ), on définit, suivant Arthur, le cône dans (aG T)∗
aGP = {x ∈ (aGT)∗ | ∀α ∈ Φ(NP, T ), α∨(x) ≥ 0, et ∀α ∈ Φ(MP, T ), α∨(x) = 0.}
Définition 2.5. Le complexe dans (aGT)∗ défini par
∆ = {aGP | P ∈ FG(T )} est appelé le complexe de Weyl.
Le complexe de Weyl est une réalisation géométrique du complexe de Coxeter associé au groupe de Coxeter (W, {si}d−1i=1). On s’envoie dans [Bour] pour plus de détails.
Pour σ ∈ ∆, on note Pσ ∈ FG(T ) le sous-groupe parabolique tel que σ = aGPσ. On
note Pσ = MσNσ la décomposition de Levi telle que T ⊂ Mσ.
On note ∆i l’ensemble des simplexes de ∆ de dimension i. Les sous-groupes
para-boliques maximaux de G contenant T sont indexés par ∆1. Soit σ ∈ ∆1, on note ̟ σ
le générateur de l’intersection de σ et le réseau des poids de G par rapport à T . Les ̟σ sont des permutations des poids fondamentaux (̟i)d−1i=1 sous l’action du groupe de
Weyl. On définit les co-poids ̟∨
σ ∈ aGT par les équations
α(̟σ∨) = ̟σ(α∨), ∀α ∈ Φ(G, T ).
On note χσ ∈ X∗(T ) le générateur du semi-groupe X∗(T ) ∩ N̟σ∨. Plus généralement,
pour σ ∈ ∆i, soit ∂σ ∩ ∆1 = {σ
1, · · · , σi}. On définit χσ = χσ1 + · · · + χσi, alors
Pσ ∈ FG(T ) est le sous-groupe parabolique associé à χσ, i.e. on a
Lie(Pσ) =
M
αi,j(χσ)≥0
gi,j.
Définition 2.6. On définit la rétraction fσ : X → XMσ par
fσ(x) = lim
t→0χσ(t)x.
Dans la suite, en tant que sous-indice, on identifie σ ∈ ∆ et le sous-groupe parabo-lique Pσ. Quand σ ∈ ∆1, on les identifie aussi avec ̟σ.
Pour σ ∈ ∆1, on peut l’identifier avec un sous-ensemble nontrivial J
σ ⊂ {1, · · · , d}
de la manière suivante :
i ∈ Jσ ⇐⇒ ̟σ(α∨i,j) ≥ 0, ∀j 6= i.
Pour J ⊂ {1, · · · , d} nontrivial, on note ¯J le complément de J et GLJ = Autk M i∈J kei .
Fixe c ∈ R\Z. Pour n ∈ Z, on note
Rσc(n) = {v ∈ X∗(T ) | ̟σ(v) = n; vi > c, ∀i ∈ Jσ; vj < c, ∀j /∈ Jσ}. On note Sc σ(n) = G v∈Rc σ(n) IvK/K. Lemme 2.10. La rétraction fσ : Sσc(n) → Sσc(n) ∩ XMσ
est une fibration en espaces affines, en particulier sa restriction à IvK/K l’est aussi pout tout v ∈ Rc
σ(n).
Démonstration. En utilisant la récurrence, il suffit de montrer l’énoncé dans le cas où Pσ est un sous-groupe parabolique maximal.
Par définition, on a
Sσc(n) ∩ XMσ = [
v∈Rc σ(n)
2.3 - Pavages en tranches de la grassmannienne affine tronquée 25
On note Nσ,I = Nσ(F ) ∩ I. Pour mvK ∈ Sσc(n) ∩ XMσ, m ∈ IMσ, on a
nσ,I nσ,I∩ Ad(mv)g(O) ∼ = nσ,I nσ,I∩ Ad(v)g(O) , car IMσ normalise n
σ,I. La dimension de la dernier terme est
X α∈Φ(Nσ,T ) (α(v) + ⌊α(x0)⌋) = d̟σ(v) + X α∈Φ(Nσ,T ) (⌊α(x0)⌋) = dn + X α∈Φ(Nσ,T ) (⌊α(x0)⌋)
qui est constante pour v ∈ Rc
σ(n), où x0 ∈ t est défini dans l’exemple 2.1. Donc les
dimensions de nσ,I/nσ,I∩ Ad(g)g(O) sont constantes pour gK ∈ Sσc(n) ∩ XMσ. D’après
le corolaire 2.9, ils s’organisent en un fibré vectoriel ˜nσ,I/˜nσ,I∩ K.
Par l’isomorphisme canonique
fσ−1(mvK) ∼= nσ,I
nσ,I ∩ Ad(mv)g(O)
, ∀m ∈ IMσ, v ∈ Rc
σ(n),
on obtient que Sc
σ(n) est un ˜nσ,I/˜nσ,I∩ K-torseur sur Sσc(n) ∩ XMσ, d’où la proposition.
Pour w ∈ X∗(T ), P ∈ F(T ), on dit que w est positif par rapport à P si
α(w) > 0, ∀α ∈ Φ(NP, T ),
où NP est le radical unipotent de P . On dit qu’il est négatif par rapport à P si −w est
positif par rapport à P .
Proposition 2.11. Soit σ ∈ ∆1. Soit a ∈ Zd tel que a est négatif par rapport à Pσ.
Alors on a un pavage en espaces affines Sσc(n) = G w∈Rc σ(n) Sσc(n) ∩ IawK/K, l’inclusion Sc σ(n) ∩ IawK/K ⊂ Sσc(n) ∩ Iaw′K/K implique que w ≺Ia w ′. De plus, on a l’intersection Sσc(n) ∩ IawK/K = Nσ(F ) ∩ I Hσ,c;a,wwK/K,
où Hσ,c;a,w = H1× H2−1 avec
1. H1 est la sous-k-variété ouverte et fermée de GLJσ(F ) formée des matrices (xi,j)
telles que xi,i∈ O et que
val(xi,j) ≥ mi,j, ∀i, j ∈ Jσ; i 6= j,
où mi,j = max(ai− aj +i−jd , ⌈c⌉ − wj).
2. H2 est la sous-k-variété ouverte et fermée de GLJ¯σ(F ) formée des matrices (xi,j)
telles que xi,i∈ O et que
val(xi,j) ≥ ˆmi,j, ∀i, j ∈ ¯Jσ; i 6= j,
Démonstration. Soit ˜λa ∈ X∗( eT ) le co-caractère défini par
˜
λa(t) = (td, diag(td−a1d, td−1−a2d, · · · , t1−add)), ∀t ∈ k×.
Pour w ∈ X∗(T ), on a IawK/K = {x ∈ X | lim t→0 ˜ λa(t)x = wK}. Donc Sσc(n) ∩ IawK/K = {x ∈ Sσc(n) | lim t→0 ˜ λa(t)x = wK}. Pour u ∈ Nσ(F ) ∩ I, x ∈ Sσc(n), on a lim t→0 ˜ λa(t)ux = lim
t→0[Ad(˜λa(t))u]˜λa(t)x = limt→0
˜ λa(t)x,
parce que α(a) < 0, ∀α ∈ Φ(Nσ, T ), d’où l’égalité
lim t→0 ˜ λa(t)x = lim t→0 ˜ λa(t)[fσ(x)]. (1)
Cette égalité implique que le pavage non standard se factorise par la fibration fσ :
Sc σ(n) → Sσc(n) ∩ XMσ. Plus précisément, Sσc(n) ∩ IawK/K = (Nσ(F ) ∩ I) · [(Sσc(n) ∩ XMσ) ∩ IaMσwK/K]. (2) Remarquons que Sσc(n) ∩ XMσ = [ v∈Rc σ(n) IMσvKMσ/KMσ = XGLJσ,(n1) ≥⌈c⌉ × X GLJσ¯ ,(n2) ≤⌊c⌋ ,
pour certaines indices n1, n2 ∈ Z.
Donc la proposition se ramène aux corolaires 2.3 et 2.5, pour XGLJσ,(n1)
≥⌈c⌉ et X GLJσ¯ ,(n2) ≤⌊c⌋ respectivement. Corollaire 2.12. La rétraction fσ : Nσ(F ) ∩ IHσ,c;a,wwK/K → Hσ,c;a,wwKMσ/KMσ
est une fibration en espaces affines.
Démonstration. D’après la démonstration ci-dessus, le pavage non standard factorise par la fibration fσ : Sσc(n) → Sσc(n) ∩ XMσ, qui est une fibration en espaces affines par
le lemme 2.10. Donc après le pavage non standard, la restriction de fσ à chaque pavé
2.3 - Pavages en tranches de la grassmannienne affine tronquée 27
2.3.3 Pavage en tranches
On passe au pavage de la variété de Schubert affine Sch(v), v ∈ X+
∗ (T ) tel que v1 ≥ v2 = · · · = vd−1 ≥ vd. On note R(v) = d−1[ i=1 W · {v′ ∈ X∗(T ) | v′ ≺ v; ̟i(v′) = ̟i(v)},
et S(v) =Sv′∈R(v)Iv′K/K, c’est une sous-variété ouverte de Sch(v). Dans la suite, on
va paver S(v) en espaces affines. Le lemme suivant nous permet de paver Sch(v) par récurrence.
Lemme 2.13. Soit v ∈ X∗+(T ) tel que v1 ≥ v2 = · · · = vd−1 ≥ vd. S’il existe ¯v ∈ X∗+(T )
tel que
Sch(v) = Sch(¯v) ∪ S(v), alors on a ¯v1 ≥ ¯v2 = · · · = ¯vd−1≥ ¯vd.
Démonstration. Dans le cas où v1 > v2 = · · · = vd, on a v1 ≥ v2+ d, et ¯v = (v1 − d +
1, v2+ 1, · · · , vd+ 1).
Dans le cas où v1 = · · · = vd−1 > vd, on a v1 ≥ vd+ d, et ¯v = (v1 − 1, · · · , vd−1−
1, vd+ d − 1).
Dans le cas où v1 > v2 = · · · = vd−1> vd, on a ¯v = (v1− 1, v2, · · · , vd−1, vd+ 1).
D’abord, on construit une partition de R(v). On prend c ∈ R\Z tel que (
v2 < c < v2+ 1, si v1 > v2 = · · · = vd−1 ≥ vd,
vd−1− 1 < c < vd−1, si v1 ≥ v2 = · · · = vd−1 > vd.
On écrit Rc
σ(v) = Rcσ(̟i(v)), où ̟i est l’unique poids fondamental dans l’orbite
W ̟σ. On note Sσc(v) =
S
v′∈Rc σ(v)Iv
′K/K. Alors on a la partition disjointe
R(v) = G
σ∈∆1
Rcσ(v).
On va ensuite ordonner les Sc
σ(v). Pour 1 ≤ r ≤ d − 1 fixé, l’union
Sr(v) =
[
g∈W
Rcg̟r(v) = W · Rc̟r(v)
peut être ordonné par l’inverse de l’ordre de Bruhat-Tits de g ∈ W . Donc il reste à ordonner les Sr(v). on distingue entre deux cas.
(1) v1 > v2 = · · · = vd−1≥ vd et v2 < c < v2+ 1.
Pour 1 ≤ r ≤ d − 1 tel que v1− vr ≥ r, on note
v1 = c v2 = c v3 = c 3 1 2 6 5 4 α β
Figure1 – L’ordre de pavage pour GL3–premier cas.
Lemme 2.14. Pour 1 ≤ r ≤ d − 1 tel que v1− vr ≤ r − 1, Rc̟r(v) est vide. Pour r tel
que v1− vr≥ r, on a
R̟cr(v) = {v′ ∈ X∗(T ) | v′ ≺ v(r); ̟r(v′) = ̟r(v(r))}.
Démonstration. Pour r tel que v1 − vr ≤ r − 1, Rc̟r(v) est vide. Sinon, prenons un
élément w dedans, alors wi > c > vi et donc wi ≥ vi+ 1 pour i = 2, · · · , r. Parce que
v1 ≤ vr+ r − 1 < c + r − 1, on a r X i=1 wi > c + r X i=2 (vi+ 1) ≥ c + r − 1 + r X i=2 vi ≥ r X i=1 vi,
contradiction à l’hypothèse que w ≺ v.
Pour r tel que v1 − vr ≥ r. On a l’égalité dans la proposition car v(r) est le plus
longue élément dans Rc ̟r(v). Donc, on a l’égalité Sch(¯v) ∪ d−1[ i=r Si(v) = Sch(v(r)),
ce qui donne l’ordre entre les Si(v) et donc finit ordonner les Sσc(n). Pour l’ordre de
pavage pour GL3 dans ce cas, voir la figure 1.
(2) v1 ≥ v2 = · · · = vd−1 > vd et vd−1− 1 < c < vd−1.
Pour 1 ≤ r ≤ d − 1 tel que vr+1− vd ≥ d − r, on note
v(r) = (v1, · · · , vr, vr+1− 1, · · · , vd−1− 1, vd+ d − r − 1).
Lemme 2.15. Pour 1 ≤ r ≤ d − 1 tel que vr+1− vd< d − r, Rσc(v) est vide. Pour r tel
que vr+1− vd≥ d − r, on a
3.1 - Rappel sur les fibres de Springer affines 29
La démonstration est similaire à celle du lemme précédent. Donc, on a l’égalité Sch(¯v) ∪ r [ i=1 Si(v) = Sch(v(r)),
ce qui donne l’ordre entre les Si(v) et donc finit ordonner les Sσc(n). Pour l’ordre de
pavage pour GL3 dans ce cas, voir la figure 2.
v1 = c v2 = c v3 = c 6 4 5 3 2 1 α β
Figure2 – L’ordre de pavage pour GL3–deuxième cas.
Finalement, étant donné aσ ∈ Zdpour tout σ ∈ ∆1 tel que aσ est négatif par rapport
à Pσ, on peut paver Sσc(v) en espaces affines avec l’Iwahori Iaσ d’après la proposition 2.11.
De cette manière, on construit un pavage non standard de S(v). Comme on a remarqué, cette processus peut être continué sur Sch(¯v) avec autres paramètres c ∈ R\Z adaptés à ¯
v. Par récurrence, on construit un pavage non standard de Sch(v), on l’appelle le pavage en tranches de Sch(v).
3
Application aux pavages de la fibre de Springer
af-fine
3.1
Rappel sur les fibres de Springer affines
Les fibres de Springer affines ont été introduites par Kazhdan et Lusztig dans [KL]. Étant donné un élément γ ∈ g(F ) semi-simple régulier, la fibre de Springer affine Xγ
est par définition le sous-ind-k-schéma fermé de la grassmannienne affine X défini par Xγ = {g ∈ G(F )/K | Ad(g)−1γ ∈ g(O)}.
Il est évident que Xγ ne dépend que la classe de conjugaison de γ et que Xγ =
Xγ+aId, ∀a ∈ O.
On note Tγ = ZGF(γ), Aγ le sous-tore non-ramifié sur F maximal de Tγ. On note Λ
Définition 3.1. Un élément semi-simple régulier γ ∈ g(F ) est dit entier si ses valeurs propres sont entières dans F .
Proposition 3.1 (Kazhdan-Lusztig). Soit γ ∈ g(F ) un élément semi-simple régulier,
le ind-k-schéma Xγ est en fait un schéma localement de type fini et de dimension finie.
Il est non-vide si et seulement si γ est entier.
Le groupe discret Λ agit librement et proprement sur Xγ. Le quotient Xγ/Λ est
représenté par un k-schéma projectif et le k-morphisme quotient Xγ → Xγ/Λ est un
revêtement étale galoisien.
Dorénavant, on suppose que γ ∈ g(F ) est un élément semi-simple régulier entier.
Proposition 3.2 (Bezrukavnikov-Kazhdan-Lusztig). La dimension de Xγ est donnée
par la formule
dim(Xγ) =
1
2(δγ− cγ), où
δγ = val(det(ad(γ); g/tγ)), cγ = dim(Tγ) − dim(Aγ).
On renvoie à [Be] pour la démonstration.
3.2
Formes minimales des valuations radicielles non-ramifiées
Les valuations radicielles ont été introduites par Goresky, Kottwitz et Macpherson dans [GKM4]. Dans la suite, on propose une classification des valuations radicielles non-ramifiées pour GLd.
3.2.1 Classes de G(F )-conjugaison des tores maximaux de GF
Rappelons que k est algébriquement clos de caractéristique p tel que p = 0 ou p > d. On note Fsla clôture séparable de F dans F et on note Ft=S
n∈N, p∤nF (ε1/n) l’extension
modérément ramifiée maximale de F . En fixant un système (ζn) de racines n-ièmes de
l’unité, tel que ζn
mn = ζm, ∀m, n ∈ N, on obtient un isomorphisme
Gal(Ft/F ) =Y
l6=p
Zl.
Le groupe Gal(Fs/F ) admet une filtration
1 → Ip → Gal(Fs/F ) → Y
l6=p
Zl → 1,
où Ip = Gal(Fs/Ft) est le sous-groupe pro-p maximal de Gal(Fs/F ).
Soit G un groupe réductif sur k, T un tore maximal de G, W = NG(T )/T le groupe
de Weyl. On va rappeler la classification des classes de G(F )-conjugaison des F -tores maximaux de GF.
3.2 - Formes minimales des valuations radicielles non-ramifiées 31
Soit S un F -tore maximal de GF, il existe g ∈ G(Fs) tel que S = Ad(g)T . Pour
τ ∈ Gal(Fs/F ), on note x
τ = g−1τ (g). On a xτ ∈ NG(T ), et il est facile de vérifier que
τ ∈ Gal(Fs/F ) → x
τ ∈ NG(T ) est un 1-cocycle, qui définit un élément de H1(F, NG(T ))
indépendant du choix de g. Cette construction nous donne une bijection entre les classes de G(F )-conjugaison des tores maximaux de GF et
ker{H1(F, NG(T )) → H1(F, G)}.
Utilisant la suite exacte 0 → T → NG(T ) → W → 0, et le fait que H1(F, T ) =
H2(F, T ) = 1(essentiellement le théorème 90 de Hilbert et la théorie de corps de classe
locale, voir [Se], page 159 et page 189), on a
H1(F, NG(T )) = H1(F, W ) = Hom(Gal(Fs/F ), W )W,
où W agit sur Hom(Gal(Fs/F ), W ) par conjugaison sur W . On a donc une bijection
entre les classes de G(F )-conjugaison des tores maximaux de GF et
ker{Hom(Gal(Fs/F ), W )W → H1(F, G)}.
Pour G = GLd, on a W = Sdet H1(F, GLd) = 0. Les classes de conjugaison dans Sd
sont en bijection avec les partitions de d. Par une partition de d, on entend un r-uplet (n1, · · · , nr) ∈ Nr, r = 1, · · · , d quelconque, tel que Pri=1ni = d et n1 ≥ · · · ≥ nr≥ 1.
Par hypothèse, on a p = 0 ou p > d et donc (p, d!) = 1. L’ensemble
Hom(Gal(Fs/F ), W )W = Hom Y
l6=p
Zl, Sd
Sd
est en bijection avec l’ensemble des partitions (n1, · · · , nr) de d. Remarquons que
(ni, p) = 1 car ni ≤ d < p.
Étant donnée une partition n = (n1, · · · , nr) de d, on note Fni = F (ε 1 ni) = k((ε 1 ni)) et Fn = Qr
i=1Fni, c’est un algèbre semi-simple de degrée d sur F . La multiplication de
Fn sur lui-même nous permet de le plonger dans End(Fn) ∼= gld(F ). On note Tn l’image
de F×
n ; c’est un tore maximal de GLd,F. Le résultat des paragraphes précédents nous
dit que tous les tores maximaux de GLd,F à GLd(F )-conjuguaison près s’obtiennent de
cette manière.
Définition 3.2. Un tore maximal de GLdest dit elliptique s’il correspond à la partition
(d), il est dit non-ramifié s’il correspond à la partition (1, · · · , 1) de d.
Définition 3.3. Un élément semi-simple régulier γ ∈ g(F ) est dit elliptique si son
centralisateur Tγ est elliptique, et non-ramifié si Tγ l’est.
3.2.2 Valuations radicielles pour GLd
Soit G = GLd, γ ∈ g(F ) un élément semi-simple régulier. On note γ′ ∈ t(Ft) un
élément qui est G(F )-conjugué à γ. On associe à γ′ un couple (w, r) de la manière
suivante : soit σ ∈ Gal(Ft/F ) l’élément tel que σ(ε1/n) = ζ
nε1/n, alors w ∈ W est
val(α(γ′)). En choisissant un autre γ′′ ∈ t(Ft) conjugué à γ, on a γ′′ = w′(γ′) pour
certain w′ ∈ W . Soit (w′′, r′′) le couple associé à γ′′, alors w′′ = w′ww′−1et r′′ = r ◦ w′−1.
Dans ce cas, on dit que (w, r) et (w′′, r′′) sont équivalents et on appelle cette classe
d’équivalence de (w, r), la valuation radicielle associée à γ.
Lemme 3.3. Soit γ ∈ g(F ) un élément semi-simple régulier, (w, r) la valuation
ra-dicielle de γ, alors la classe de G(F )-conjugaison du tore maximal Tγ correspond à la
classe de conjugaison de w ∈ W .
Démonstration. Choisissons γ′ ∈ t(Ft) tel que γ = gγ′g−1, g ∈ G(F ). On a T γ =
Ad(g)TF puisque γ est régulier. On note (w, r) le couple associé à γ′ et x = g−1σ(g).
On a l’égalité
Ad(x)σ(γ′) = g−1σ(g)σ(γ′)σ(g−1)g = g−1σ(Ad(g)γ′)g = g−1σ(γ)g = g−1γg = γ′,
donc w ≡ x dans N(T )/T = W , d’où le lemme.
Définition 3.4. La valuation radicielle est dit équivaluée si pour un de ses représentants (w, r) (et donc pour tous), la fonction r est constante. Elle est dite non-ramifiée si w = 1. Pour γ non-ramifié, sa valuation radicielle l’est aussi. Dans la suite, on va classifier les valuations radicielles non-ramifiées pour GLd; c’est équivalent à mettre γ sous une
forme favorable.
Définition 3.5. L’élément γ ∈ t(F ) est dit en forme minimale s’il satisfait à la condition val(αi,j(γ)) = min
i≤l≤j−1{val(αl(γ))}, ∀i, j = 1, · · · , d, i < j.
Dans ce cas, le (d − 1)-uplet (val(α1(γ)), · · · , val(αd−1(γ))) est aussi appelé la
valua-tion radicielle de γ.
Proposition 3.4. Tout élément γ ∈ t(F ) est conjugué à au moins un élément en forme
minimale.
Démonstration. On va montrer la proposition par récurrence. Pour G = GL2, le résultat
est évident. On suppose que pour G = GLn, n < d, la proposition est démontrée.
Soit γ = diag(γ1, · · · , γd), soit v = max{val(αi,j(γ)), i 6= j}. Soit γ1′ =
diag(γτ (1), · · · , γτ (a)) l’une des sous-matrices équivaluées de valuation v de γ qui est
de taille maximale. On note γ′
2 = diag(γτ (a+1), · · · , γτ (d)), et γ′ = diag(γ1′, γ2′).
Lemme 3.5. Pour a + 1 ≤ i ≤ d fixé et 1 ≤ j ≤ a, les valuations val(αi,j(γ′)) =
val(αj,i(γ′)) sont toutes les mêmes et strictement plus petites que v.
Démonstration. S’il existe a + 1 ≤ i0 ≤ d, 1 ≤ j0 ≤ a tel que val(αi0,j0(γ
′)) = v, alors
pour tout 1 ≤ j ≤ a, les inégalités v ≥ val(αi0,j(γ ′)) ≥ min{val(α i0,j0(γ ′)), val(α j0,j(γ ′))} = v
3.3 - La conjecture de pureté 33
entrainent que val(αi0,j(γ
′)) = v, i.e. que la matrice diag(γ
τ (1), · · · , γτ(a), γ
′
i0,i0) est
équi-valuée de valuation v, contradiction à l’hypothèse que γ′
1 est de taille maximale. Donc
val(αi,j(γ′)) < v, pour tout a + 1 ≤ i ≤ d, 1 ≤ j ≤ a.
Par conséquent, pour tout 1 ≤ k, l ≤ a, on a
val(αi,k(γ′)) = min{val(αi,l(γ′)), val(αl,k(γ′)) = v} = val(αi,l(γ′)).
Donc on peut “contracter” γ′
1 en un élément δ1 ∈ F tel que val(δ1) = v et les
valuations radicielles ne changent pas à l’extérieure de γ′
1. On note δ = (δ1, γ2′). On
observe que la matrice γ′
1 est toujours de taille strictement plus grande que 1, donc δ
est de taille strictement plus petite que d − 1. Par l’hypothèse de récurrence, δ admet une forme minimale τ′(δ). En remplaçant l’élément δ
1 dans τ′(δ) par γ1′, on trouve une
forme minimale de γ.
Remarque 3.1. En général, un élément γ peut être conjugué à plusieurs éléments en forme minimale. Par exemple, pour GL4, m, n ∈ N, m < n, les éléments
diag(εm− εn, −εm− εn, −εm+ εn, 2εm+ 2εn)
et
diag(εm− εn, 2εm+ 2εn, −εm+ εn, −εm− εn) sont en formes minimales et conjugués.
3.3
La conjecture de pureté
3.3.1 Pureté de ind-k-schéma
Soit X une variété algébrique projective sur k, on note H∗ = H∗(X, C) si k = C, et
H∗ = H∗(X, Q
l) pour un nombre premier l 6= p si k = Fp. D’après Deligne dans [D1],
il existe une filtration croissante W• par le poids sur H∗ tel que pour f : X → Y un
morphisme de variétés algébriques projectives sur k, le morphisme induit f∗ : H∗(Y ) →
H∗(X) est strictement compatible à la filtration par le poids. La cohomologie de X est
dit pure si
GrWm(Hi) = Wm(Hi)/Wm−1(Hi) = 0, pour m 6= i.
Exemple 3.1. Soit X une variété algébrique projective sur k, on suppose que X admet
un pavage en espaces affines, i.e. qu’il existe une filtration croissante exhaustive X0 ⊂
X1 ⊂ · · · de X telle que Xi est fermé et Xi\Xi−1 est isomorphe à un espace affine
standard, ∀i. Alors X est pur.
Le théorème suivant joue un rôle central dans la géométrie algébrique, voir [Weil I]. Théorème 3.6(Deligne). Soit X une variété algébrique projective et lisse sur k, alors X est pur.
Passant par dualité à l’homologie H∗(X) := (H∗(X))∗, on obtient une filtration
croissante W• sur H∗,
Wm(Hi) = (Hi/W−m−1Hi)∗.
Pour f : X → Y un morphisme de variétés algébriques projectives sur k, le morphisme f∗ : H∗(X) → H∗(Y ) est strictement compatible à la filtration par le poids.
On suppose maintenant que X est un ind-k-schéma, i.e. qu’il existe des variétés algébriques projectives Xi sur k et des immersions fermées Xi ֒→ Xi+1 telles que X =
limi→+∞Xi. Puisque les immersions sont strictement compatibles avec la filtration par
le poids, l’homologie H∗(X) = limi→+∞H∗(Xi) hérite d’une filtration par le poids W•
induisant celle de H∗(Xi) pour chaque i. Cette filtration ne dépend que de X à cause de
la stricte compatibilité avec les morphimes. On dit que X est pur si GrW
m(Hi(X)) = 0
pour m 6= i. Par définition, si Xn est pur pour tout n, alors X est pur. C’est le cas si
tous les Xn admettent des pavages en espaces affines.
3.3.2 Conjecture de Goresky, Kottwitz et Macpherson
Conjecture 3.1 (Goresky-Kottwitz-Macpherson). Pour tout élément γ ∈ g(F )
semi-simple régulier entier, la fibre de Springer affine Xγ est pure.
Remarque 3.2. Parce que la cohomologie ne dépend que la structure réduite du schéma, dorénavant on travaille avec la structure réduite de la fibre de Springer affine.
Théorème 3.7 (Goresky-Kottwitz-Macpherson). Pour tout élément γ ∈ g(F )
semi-simple régulier entier équivalué, la fibre de Springer affine Xγ est pure.
Pour la démonstration, voir [GKM1]. On rappelle ici rapidement leur pavage pour G = GLd.
Définition 3.6. Soit γ ∈ g(F ) un élément semi-simple régulier équivalué de valuation s ∈ Q. On dit que γ est sous forme normale si γ ∈ gx0,s et son image ¯γ sous l’application
gx0,s → gx0,s/gx0,s+ ∼= g(x0, s) ֒→ g est semi-simple régulière dans g, où x0 ∈ t a été
défini dans l’exemple 2.1
Lemme 3.8. Soit γ ∈ g(F ) un élément semi-simple régulier équivalué entier, alors γ est conjugué à un élément a + γ′, avec a ∈ O et γ′ sous forme normale.
Remarque 3.3. Puisque Xγ ne dépend que de la classe de conjugaison de γ et que
Xγ = Xγ+a, ∀a ∈ O, pour comprendre la géométrie de Xγ on peut toujours supposer
que γ est sous forme normale si γ est équivalué.
Démonstration. Premièrement, considérons un élément γ ∈ g(F ) elliptique équivalué de valuation n +r
d, r ∈ N, 0 ≤ r ≤ d − 1. Par la classification des tores maximaux, on peut
supposer que F (γ) = Fd= k((ε1/d)).
Lemme 3.9. On peut écrire γ = a + uεn+rd, avec a ∈ O, u ∈ O×
Fd et (r, d) = 1.
Démonstration. Parce que γ est elliptique, les valeurs propres de γ ∈ g(F ) sont les conjugués galoisiens de γ dans F . On écrit γ =P+∞i=0aiεi/d, ai ∈ k. Soit i0 le plus petit
3.4 - Une proposition technique 35
entier tel que ai0 6= 0 et d ∤ i0. Puisque val(τ (γ) − τ
′(γ)) = i
0/d, ∀τ, τ′ ∈ Gal(Fd/F ), on
a i0 = nd + r et (r, d) = 1.
On prend γ′ = uεn+r
d. On identifie EndF(Fd) ∼= gF à l’aide de la base
{εd−1d , ε d−2
d , · · · , 1}
de Fdsur F , et on plonge Fddans gF par multiplication sur lui même, alors γ′ a la forme
γ′ ≡ u0 0 εnId d−r εn+1Id r 0 mod gx,n+r+1 d , (3)
où u0 ∈ k×, u0 ≡ u mod ε1/dOFd. On voit que γ
′ est sous forme normale.
En cas général, pour γ équivalué de valuation n+r
d′, n ∈ N, 0 ≤ r ≤ d′−1, (r, d′) = 1,
Tγ est conjugué soit à T(d′,··· ,d′) soit à T(d′,··· ,d′,1). Dans le premier cas, γ est conjugué à
une matrice diagonale par blocs, diag(γ1, · · · , γd/d′), telle que chaque bloc γi ∈ T(d′) est
elliptique dans GLd′. Par le lemme au dessus, on peut supposer que γi = ai+ γ′
i, ai ∈ O
et que γ′
i est sous forme normale. Par l’hypothèse “équivalué”, on a a1 = · · · = ad/d′ = a,
de sorte que γ est conjugué à a + (γ′
1, · · · , γd/d′ ′), qui est sous forme normale. L’argument
est le même pour le deuxième cas.
Théorème 3.10(Goresky-Kottwitz-Macpherson). Pour γ ∈ g(F ) équivalué sous forme
normale, l’intersection IwK/K ∩ Xγ est isomorphe à un espace affine pour tout w ∈
X∗(T ). La décomposition Xγ = Fw∈X∗(T )IwK/K ∩ Xγ donne un pavage de Xγ en
espaces affines.
3.4
Une proposition technique
Prenons un sous-groupe parabolique maximal P = MN. Soit γ ∈ m(F ) ⊂ gld(F ) un élément semi-simple régulier entier. Soit U ⊂ NF un sous-groupe ouvert et fermé.
Lemme 3.11. Considérons la rétraction
fP : U XγM ∩ Xγ → XγM.
Soit gKM ∈ XM
γ , alors fP−1(gKM) est isomorphe canoniquement à
ker ad(γ) : u u∩ Ad(g)g(O) → ad(γ)u ad(γ)u ∩ Ad(g)g(O) , Démonstration. Pour gKM ∈ XM γ , soit u ∈ u, alors
(1 + u)gK ∈ Xγ ⇐⇒ Ad(1 + u)−1γ ∈ Ad(g)g(O)
⇐⇒ γ − [u, γ] ∈ Ad(g)g(O)
⇐⇒ [u, γ] ∈ Ad(g)g(O),
Proposition 3.12. Soient P = MN ∈ F(T ) maximal, U ⊂ NF un sous-groupe ouvert et fermé. Soit X une sous-variété de XM
γ . On suppose que les dimensions
dimk u u∩ Ad(g)g(O) , dim ad(γ)u ad(γ)u ∩ Ad(g)g(O) , sont indépendantes de g pour tout gK ∈ X. Alors la rétraction
fP : U X ∩ Xγ → X
est une fibration en espaces affines.
Démonstration. D’après le corolaire 2.9, les u/u ∩ Ad(g)g(O), gK ∈ X, s’organisent en un fibré vectoriel ˜u/˜u ∩ K. Il en est de même pour u′ := ad(γ)u. Donc le noyau
Ku,γ := ker ad(γ) : ˜u ˜ u∩ K → ˜ u′ ˜ u′∩ K
est un fibré vectoriel sur X car le morphisme est surjectif. D’après le lemme 3.11, la rétraction en question est un Ku,γ-torseur, donc elle est une fibration en espaces affines.
Remarque 3.4. La condition que la dimension de u/u ∩ Ad(g)g(O) est indépendante de g pour tout gK ∈ X est équivalent à la condition que la rétraction
fP : U X → X
est une fibration en espaces affines. Dans la suite, on utilise aussi cette condition alter-native.
Lemme 3.13. Soient P = MN ∈ F(T ) maximal, H ⊂ MF, U ⊂ NF des sous-groupes
ouverts et fermés. On suppose que H normalise U. Soit X une H-orbite dans XM,
alors la dimension u/u ∩ Ad(g)g(O) est indépendante de g pour gK ∈ X.
Démonstration. Fixe gKM ∈ X, pour tout h ∈ H, on a
u
u∩ Ad(hg)g(O) ∼=
u
u∩ Ad(g)g(O), car H normalise U, d’où le lemme.
Corollaire 3.14. Soient P = MN ∈ F(T ) maximal, H ⊂ MF, U ⊂ NF des
sous-groupes ouverts et fermés. On suppose que H normalise les algèbres de Lie u et ad(γ)u. Soit X une H-orbite dans XM. Alors la rétraction
fP : U X ∩ Xγ → X ∩ XγM
est une fibration en espaces affines.
Démonstration. D’après le lemme 3.13, la dimension de u/u ∩ Ad(g)g(O), est indépen-dante de g pour gK ∈ X. Il en est de même pour les ad(γ)u. Donc le corolaire se déroule de la proposition 3.12.
3.6 - Pavage pour GL3 37
3.5
Pavage pour
GL
ddans un cas particulier
On suppose que γ = (γ1, γ2) ∈ (gl1 × gld−1)(F ) ⊂ gld(F ) tel que α1,i(γ) = n1, i =
2, · · · , d et γ2 ∈ gld−1(F ) est équivalué de valuation n2 + r, r ∈ Q, 0 ≤ r < 1, n1 ≤
n2, n1, n2 ∈ N. On peut supposer que γ2 ∈ gld−1(F ) est sous forme normale sans perte
de généralité.
Théorème 3.15. Pour tout m ∈ Z, la variété X≥−m∩ Xγ admet un pavage en espaces
affines, donc Xγ est pur.
Démonstration. On pave X≥−m avec l’Iwahori I′ = Ad(diag(εdm, 1, · · · , 1))I. Pour w ∈
XT
≥−m, on note C(w) = X≥−m ∩ I′wK/K. Par la proposition 2.2, on a un pavage en
espaces affines X≥−m = G w∈XT ≥−m C(w) et C(w) = O pmw O · · · O ... ... ... ... pmw p · · · O wK/K, mw = −m − w1. On note P = Ps1d̟d−1 = ∗ ∗ ∗ · · · ∗ ... ... ... ... ∗ ∗ · · · ∗ .
Soit P = MN sa factorisation de Levi standard. D’après le corolaire 3.14, la rétraction fs1d̟d−1 : C(w) ∩ Xγ → I
MwKM/KM ∩ XM γ
est une fibration en espaces affines. En effet, on prend
U = N (pmw) = 1 pmw 1 ... ... pmw 1 ,
alors C(w) = UIMwK/K. Il est évident que IM normalise u = Lie(U) et ad(γ)u.
De plus, l’intersection IMwKM/KM ∩ XM
γ est isomorphe à un espace affine par le
théorème 3.10 puisque γ ∈ m(F ) = (gl1× gld−1)(F ) est équivalué et sous forme normale, donc C(w) ∩ Xγ est aussi isomorphe à un espace affine.
3.6
Pavage pour
GL
3Soit G = GL3, on fixe un élément γ ∈ g(F ) semi-simple régulier entier. Parce que
char(k) = p > 3, par la classification des tores maximaux, Tγ est conjugué soit à T(1,1,1),
