Algèbre
Matrices – Algèbre des matrices carrées
Denis Vekemans∗
Solution 18
5 4 3 7 6 5 5 4 3
λ1 λ2 λ3
λ4 λ5 λ6
λ7 λ8 λ9
1 2 3 2 3 4 1 2 3
⇐⇒
λ1+ 2λ4+ 3λ7= 5 λ2+ 2λ5+ 3λ8 = 4 λ3+ 2λ6+ 3λ9 = 3 2λ1+ 3λ4+ 4λ7= 7 2λ2+ 3λ5+ 4λ8 = 6 2λ3+ 3λ6+ 4λ9= 5 λ1+ 2λ4+ 3λ7= 5 λ2+ 2λ5+ 3λ8 = 4 λ3+ 2λ6+ 3λ9 = 3
⇐⇒
( λ1+ 2λ4+ 3λ7 = 5 λ2+ 2λ5+ 3λ8= 4 λ3+ 2λ6+ 3λ9 = 3 2λ1+ 3λ4+ 4λ7 = 7 2λ2+ 3λ5+ 4λ8 = 6 2λ3+ 3λ6+ 4λ9 = 5
⇐⇒
( λ1+ 2λ4+ 3λ7 = 5 λ2+ 2λ5+ 3λ8= 4 λ3+ 2λ6+ 3λ9= 3 λ4+ 2λ7 = 3 λ5+ 2λ8= 2 λ6+ 2λ9 = 1
⇐⇒ (λ7, λ8, λ9)∈R3,
( λ1 =−1 +λ7 λ2 =λ8 λ3 = 1 +λ9
λ4 = 3−2λ7 λ5 = 2−2λ8 λ6 = 1−2λ9
Solution 20 1. =−1
2 +ı√23;=−1
2 −ı√23; et 1 ++= 0.
2. a+ıb=a+ ((+ 12)2√33)b=a+ √33b+2
√3 3 b.
Et, zB2 = a+√33b
2√ 3 3 b
!
∈ M2,1(R) etzB2 = 1 √33 0 2√33
!
| {z }
:=A
zB1.
3. µ+ν =µ+ (−1
2 +ı√23)ν=µ−1
2ν+ı√23ν.
Et, zB1 = 1 −1
2
0 √23
!
| {z }
:=B
zB2.
Autre méthode ...
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
1
L1 Maths - Info Algèbre 2008
B est la matrice de passage de la base B1 vers la base B2 :
B= 1 −1
2
0 √23
! 1
ı 1
A est l’inverse deB. Recherche par opérations élémentaires sur les lignes ...
1 −1
2 1 0
0 √23 0 1
!
L1←L1+
√3 3 L2
⇐⇒ 1 0 1 √33 0 √23 0 1
!
L2←2√33L2
⇐⇒ 1 0 1 √33 0 1 0 2√33
!
Et,
B−1= 1 √33 0 2√33
! .
CB1 = 1 0 0 −1
! 1
ı c(1) = 1c(ı) =−ı 4.
CB2 = 1 −1 0 −1
! 1
c(1) = 1c() =−1−
5. B est la matrice de passage de la base B1 vers la base B2 donc B−1 =A etCB2 =B−1CB1B.
–2/2– Mathématiques
