LES OBSERVABLES

LES OBSERVABLES

2.1 Préalables

Rappelons, en préalable les principales définitions concernant les opérateurs li- néaires.

Commençons par un exemple : le laplacien ∆:= ∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂y².

Le laplacien est un"opérateur"qui agit sur les fonctions, c’est-à-dire qu’il trans- forme une fonction des variablesx, y, zen une autre fonction de ces mêmes variables.

Par exemple∆£

x²y³+ 7xy²¤

= 2y³+ 6yx²+ 14x: le laplacien a transformé la fonctionx²y³+ 7xy² en la fonction2y³+ 6yx²+ 14x

Le laplacien est un "opérateur linéaire", i.e. ∆[f₁+af₂] = ∆[f₁] +a∆[f₂] oùf₁etf₂ sont deux fonctions etaun nombre complexe constant, arbitraire. On vérifie cette propriété sur l’exemple choisi avecf₁=x²y³,f₂=xy² eta= 7.

De façon générale nous considérons l’espace des états,E, et les opérateurs linéaires agissant sur cet espace. Nous utilisons la notation vectorielle où|ψireprésente la fonction d’onde ψ(r).

SoitAunopérateur linéaireagissant surE. Par définition,Asatisfait les rela- tions

|ψi∈E ⇒A|ψi∈E avec A

(

)

Lorsqu’il existe, l’opérateur inversedeAest notéA⁻¹. Ces opérateurs satisfont la relation AA⁻¹= 1 =A⁻¹A.

L’opérateurAétant donné, on appelle"vecteur propre"tout vecteur|ψisatis- faisant la relation

A|ψi=a|ψi oùaest un nombre complexe appelé"valeur propre".

Exemples

1- Considérons l’opérateurpˆ_x:=−i~ ∂

∂x et la fonctionψ=f(y, z) e^ikx.On vérifie la relation−i~ ∂

∂xψ=~k ψ.Sous forme vectorielle, cette relation s’écrit pˆx|ψi=

~k|ψioù|ψireprésente l’état physique décrit par la fonction d’ondeψ=f(y, z) e^ikx.Le vecteur |ψiest un vecteur propre de l’opérateurpˆx,associé à la valeur propre~k.On dit aussi quef(y, z) e^ikx est une "fonction propre" de l’opérateurpˆx:=−i~ ∂

∂x. 2-Remarquons la validité, pour toute fonction d’ondeψ, des relations R+∞

−∞ xδ(x−a)ψ_(x,y,z)dx=aψ_(a,y,z)=R+∞

−∞ aδ(x−a)ψ_(x,y,z)dx.On en déduit xδ(x−a) =aδ(x−a).

Nous définissons l’opérateur xˆau moyen de la relationxψˆ _(r):=xψ_(r).L’égalité précédente s’écrit encore sous la forme xδˆ (x−a) = aδ(x−a). La fonction δ(x−a) apparaît comme une fonction propre de l’opérateurxˆpour la valeur proprea.Sous forme vectorielle on représente par|δail’état décrit par la ”fonction d’onde ”δ(x−a).L’égalité précédente s’écrit sous la formexˆ|δai=a|δai.L’état|δaiest un état propre de l’opérateur ˆ

x,associé à la valeur proprea.

L’espace des états est un espace de Hilbert, munis d’un produit scalaire hϕ|ψi. Dans ces conditions on définit l’opérateur adjointdeA,que l’on noteA^†:

hϕ|A ψi=­

A^†ϕ|ψi On peut démontrer les relations

¡A^†¢†

=A , (A+λB)^†=A^†+λB^† et (AB)^†=B^†A^† oùAet B sont des opérateurs tandis queλest un nombre complexe arbitraire.

Un opérateurU satisfaisant les relationsU U^†=U^†U = 1est dit "unitaire".

Exemple

Considérons l’opérateurpˆ_x=−i~ ∂

∂x,introduit précédemment.

Il vient hϕ|pˆx ψi =

ZZ ÃZ +∞

−∞

ϕ_(ˆr) µ

−i~∂ψ

∂x

¶

(ˆr)

dx

!

dydz. En intégrant par partie, on trouve

ÃZ +∞

−∞

ϕ_(ˆr) µ

−i~∂ψ

∂x

¶

(ˆr)

dx

!

=h

−i~ϕ_(ˆr)ψix=+∞ x=−∞+i~

Z +∞

−∞

µ ∂

∂xϕ_(ˆr)

¶ ψdx

La fonction ψ étant de carré sommable elle décroît lorsque x→ ±∞ de telle sorte que [−i~ϕψ]^x=+_x=−∞^∞= 0.On obtient donc

hϕ|pˆ_xψi=

ZZ ÃZ +∞

−∞

µ

−i~∂ϕ

∂x

¶ ψdx

!

dydz:=­ ˆ p^†_xϕ|ψi

avec pˆ^†_x = −i~ ∂

∂x. Dans le cas considéré il vient pˆ^†_x = ˆpx. Un tel opérateur, pour lequel A=A^†,est dit ”hermitique”ou ”auto-adjoint”.

On démontre les propriétés suivantes :

• Les opérateurs,∆ etxˆ définis ci-dessus sont des opérateurs hermitiques. Ces propriétés peuvent être vérifiées directement en suivant la même méthode que pour pˆx

ci-dessus.

• Les valeurs propres d’un opérateur hermitique sont réelles. En effet, soit un opérateur hermitique A=A^†. Formonshu|A ui où|uiest un vecteur propre deA pour la valeur propre a; Il vienthu|A ui:=­

A^†u|ui(c’est la définition deA^†).OrA=A^†, d’où hu|A ui=hAu|ui. CependantA|ui=a|ui. On en déduithu|a ui=ha u|ui.Les propriétés du produit scalaire fournissent les relations ahu|ui = hu|a ui etahu|ui = ha u|ui.On en déduit donca=a.

2.2 Opérateurs observables

2.2.1 Définitions et propriétés mathématiques

On appelle”opérateur observable”un opérateurO, hermitique tel que l’espace des états admette pour base un ensemble de vecteurs propres de O. Cependant, pour montrer queOest un opérateur observable il n’est généralement pas nécessaire de trouver explicitement une telle base. Il suffit de montrer que toute fonction d’onde se décompose en une somme de fonctions propres deO.

Nous avons démontré ci-dessus que pˆx est un opérateur hermitique qui admet pour fonctions propres les fonctions f(y, z)e^ipx/~. D’autre part nous avons vu au cha- pitre précédent que l’espace des états admet pour base les états|upide fonction d’onde u_p(r) =

µ 1 2π~

¶3/2

e^ip·r/~ avec p = (p_x, p_y, p_z). De telles fonctions sont de la forme f(y, z)e^ipx/~;ce sont donc des fonctions propres de pˆ_x.Par conséquentl’opérateur pˆ_x est un opérateur observable.

De même on démontre queles opérateurs pˆy :=−i~ ∂

∂y et pˆz :=−i~ ∂

∂z sont des opérateurs observables.L’opérateur xˆ et les opérateurs yˆetzˆsont égale- ment des opérateurs observables.

On appelle"spectre de l’observable"O, l’ensemble des valeurs propres deO. C’est l’ensemble des valeurs propres associées à la base deE, formée de vecteurs propres de l’observable O. L’opérateur Oétant hermitique son spectre est constitué de valeurs propres réelles.

Le spectre deOpeut être discret ; les valeurs propres peuvent alors être repérées au moyen de l’indice entiern.Le spectre est de la forme{a₁, a₂, ..., a_n, ..}.

Le spectre de O peut aussi être continu ; les valeurs propres a(λ), sont alors repérées au moyen d’un indice continuλ.

Exemple

Considérons l’opérateur

−

→pˆ² 2m := 1

2m

¡pˆ_x²+ ˆp_y²+ ˆp_z²¢

=−~²

2m∆.Un tel opérateur, agissant sur les fonctions d’onde des particules de massem,est appelé "opérateur d’énergie cinétique".

On vérifie que les fonctionsup(r) = µ 1

2π~

¶3/2

e^ip·r/~ sont des fonctions propres de Eˆcin:=

−

→pˆ²

2m pour les valeurs propres p²

2m dépendant de l’indice continu, positif, arbi- traire p². Ainsi, Eˆ_cin étant considéré comme un opérateur agissant dans E, son spectre est continu.

Considérons le puits infini à une dimension. A une dimension, l’opérateur énergie cinétique Eˆcin devient Eˆcin = −~²

2m∆ = −~² 2m

d²

dx². Les vecteurs de base de l’espace des états accessibles Ep sont les vecteurs |u_ni de fonction d’onde u_n(x) données par la relation 1.7 où n ∈ N. On vérifie que ces fonctions satisfont les relations Eˆ_cinu_n(x) =

~² 2m

³nπ L

´2

un(x).Le spectre de l’opérateurEˆcin,considéré comme agissant dans l’espace des étatsE^p, est constitué des valeurs propres ~²

2m

³nπ L

´2

dépendant de l’entiern:c’est un spectre discret.

Il peut arriver que le spectre soit mixte, formé par la réunion d’un ensemble de

valeurs discrètes et d’un ensemble de valeurs continues. Nous en verrons un exemple lors de l’étude du puitsfini de potentiel.

Considérons une observable, O, et l’une de ses valeurs propres λ. Soit E^λ l’en- semble des vecteurs propres de O pour la valeur propre λ. On démontre que E^λ forme un espace vectoriel, sous-espace de l’espace des états. C’est le "sous-espace propre"

associé à la valeur propre λ.

La dimension deEλ est"l’ordre de dégénérescence"de la valeur propreλ.Si le sous-espace est de dimension 1, on dit que la valeur propre n’est pas dégénérée.

On démontre quedeux sous espaces propres associés à des valeurs propres différentes sont orthogonaux. En effet, soient|ψ_aiet|ψ_biles vecteurs propres de l’ob- servable O, associés aux valeurs propres a et b.Il vient O |ψ_ai=a|ψ_ai et O |ψ_bi = b|ψ_bi. Nous formonshψ_b|aψ_ai=hψ_b|Oψ_ai; nous utilisons la définition de l’adjoint de O:hψ_b |Oψ_ai=­

O^†ψ_b |ψ_ai. OrO=O^†; par conséquent¯¯O^†ψ_b®

=|Oψ_bi=b|ψ_bi;On en déduithψ_b|aψ_ai=hbψ_b|ψ_ai.En utilisant les propriétés du produit scalaire on trouve ahψ_b|ψ_ai=bhψ_b|ψ_ai. Cependantb est réel car c’est une valeur propre d’un opérateur hermitique; il vientahψ_b|ψ_ai =bhψ_b |ψ_ai. Lorsque les valeurs propres a et b sont dif- férentes on en déduit hψ_b|ψ_ai= 0.Par conséquent, tout vecteur de E^a est orthogonal à tout vecteur deE^b oùE^aetE^b sont les sous-espaces propres associés respectivement aux valeurs propres différentes aetb.

Remarques :

1-Le produit d’opérateurs est associatif,i.e.A

(

)

(

)

Par conséquent (A+B)² = A²+B²+AB+BA 6= A²+ 2AB+B² (le plus souvent).

2-On définit le ”commutateur”des deux opérateursAetB : [A, B] :=AB−BA

On démontre les relations suivantes, souvent utilisées :

[A, BC] =B[A, C] + [A, B]C et[AB, C] =A[B, C] + [A, C]B

3-Etant donnée une fonctionV (r),on définit l’opérateurVˆ par la relation

³V ψˆ ´

(r):=V(r)×ψ(r).Dans ces conditions on démontre la relation [ˆpx, V] =−i~∂V

∂x . Etant donné une observableA,il lui est associée une base de vecteurs propres de l’espace des états. Supposons que cette base soit discrète, formée des vecteurs|u_ni.Tout vecteur |ψiadmet la décomposition|ψi=P

n

C_n|u_ni.En regroupant, dans la décomposi- tion précédente, les vecteurs d’un même sous espace propre, il vient

|ψi=X

|ϕi avec A|ϕ i=a |ϕi et a 6=a0 pour 6= ⁰ (2.1) Remarquons quea 6=a0 implique hϕ |ϕ0i= 0pour 6= ⁰.Le vecteur |ϕi peut donc être considéré comme la projection orthogonale de|ψi sur le sous-espace propreEa. Cette décomposition sera utilisée par la suite, dans l’exposé de la théorie de la mesure.

Réciproquement, supposons que tout vecteur,|ψi,de l’espace des états se décom- pose sous la forme 2.1, en une somme de vecteurs propres d’un opérateur hermitique A.

On démontre que dans ce casAest une observable.

2.2.2 Le principe de correspondance

Les propriétés précédentes sont des propriétés mathématiques. Maintenant vient un postulat physique très important connu sous le nom de principe de correspondance^†. Ce principe s’énonce en deux propositions

• A toute grandeur physique mesurable correspond un opérateur observable.

•L’observable quantique s’obtient à partir de la grandeur classique corres- pondante en utilisant la correspondance

⎧⎪

⎨

⎪⎩

r= (x, y, z) → −→rˆ = (ˆx,y,ˆ z)ˆ

V (r) → Vˆ

p= (px, py, pz) → −→pˆ = (ˆpx,pˆy,pˆz) =−i~∇

où les divers opérateurs−→r ,ˆ Vˆ et−→pˆ ont été définis ci-dessus dans un repère direct, ortho- normé et galiléen.

Exemples

A l’énergie cinétique d’une particule de massemcorrespond l’opérateur Eˆcin=

−

→pˆ²

2m =−~² 2m∆.

A l’énergie potentielleV(r)correspond l’opérateurVˆ défini par la relation

³V ψˆ ´

(r)=V(r) ψ(r). Au moment cinétique −→L =r∧pcorrespond −→

Lˆ =−→rˆ ∧−→pˆ dont les composantes sont les opérateurs Lˆx= ˆypˆz−zpˆy,Lˆy=zˆpx−xˆpzetLˆz= ˆxˆpy−yˆpˆx.

Une difficulté surgit dans certains cas. Si nous cherchons l’opérateur quantique qui correspond à la quantité classique Q =xp_x nous trouvons plusieurs possibilités car Q =xp_x=p_xx= 1

2(xp_x+p_xx) : a) Q=xp_x →xˆˆp_x = ˆQ₁, b)Q =p_xx→ pˆ_xxˆ= ˆQ₂, c)Q=1

2(xpx+pxx)→ 1

2(ˆxˆpx+ ˆpxx) = ˆˆ Q3.

Les opérateursQˆ1,Qˆ2 etQˆ3 ne sont pas égaux ; il faut donc choisir.

Vérifions par exemple la relationQˆ₁6= ˆQ₂.Dans ce but, formons³

Qˆ₁−Qˆ₂´ ψ(r). Il vient

Qˆ₁ψ(r) = ˆxˆp_xψ= ˆx(ˆp_xψ) = ˆx µ

−i~ ∂

∂xψ

¶

=x µ

−i~ ∂

∂xψ

¶

=−i~x∂

∂xψ Qˆ2ψ(r) = ˆpxxψˆ (r) = ˆpx(ˆxψ(r)) =−i~ ∂

∂x(xψ(r)) =−i~ψ(r)−i~x ∂

∂xψ(r) On en déduit ³

Qˆ1−Qˆ2

´

ψ(r) = ˆQ1ψ(r)−Qˆ2ψ(r) = i~ψ(r). Cette relation étant vérifiée quelle que soit la fonction d’ondeψil vientQˆ₁−Qˆ₂:= ˆxˆp_x−pˆ_xxˆ=i~.

La quantitéxˆˆp_x−pˆ_xxˆ:= [ˆx,pˆ_x]est le commutateur dexˆetpˆ_x. Nous avons donc démontré la relation [ˆx,pˆx] =i~.

De façon générale la difficulté que nous signalons ici surgit lorsqu’on cherche l’opérateur quantique associé à la quantité classique ab alors que les opérateurs A et B associés à a et b ne commutent pas. Lorsque [A, B] := AB−BA 6= 0, on admet

†Le passage de la théorie classique à la théorie quantique peut également être assuré par d’autres méthodes que celle exposée ici.

généralement qu’il convient d’exprimer ab en fonction des variables de position et des composantes de l’impulsion et de retenir la quantité complètement symétrisée relativement aux variables qui ne commutent pas. Ainsi l’opérateur quantique associé à xpx sera pris sous la forme 1

2(ˆxˆpx+ ˆpxx) = ˆˆ Q3 complètement symétrique. En fin de compte, c’est l’expérience qui permet d’affirmer que la théorie ainsi construite est acceptable.

Parmi les observables, l’hamiltonien joue un rôle important car c’est lui qui régit l’évolution, au cours du temps, des systèmes physique considérés (voir le chapitre sui- vant). L’hamiltonien est l’opérateur associé à l’énergie^†. En l’absence de champ magnétique l’impulsion classique, −→p , d’une particule de masse m et de vitesse −→v , est égale à sa quantité de mouvementm−→v .L’énergie cinétique est donc −→p²

2m;il lui correspond l’opérateur Eˆ_cin =−~²

2m∆ que nous avons déjà introduit. L’hamiltonien, H, s’exprime sous la forme

H =

−

→pˆ²

2m+ ˆV =−~²

2m∆+V_(r) ouV_(r) est l’énergie potentiel de la particule considérée.

En présence d’un champ magnétique,−→B ,dérivant du potentiel vecteur−→A (c^’est- à-dire tel que −→B = −→roth

Ai

), il vient Ecin = 1

2m−→v² = −→π²

2m où −→π = m−→v = −→p −q−→A , la charge de la particule étant notée q. La correspondance p → −i~∇ est maintenue, l’opérateur hamiltonien s’en trouve modifié :H =

µ−→pˆ −q−→Aˆ

¶2

2m + ˆV . 2.3 Les mesures en mécanique quantique.

2.3.1 La théorie de la mesure dans le cas discret

Nous allons énoncer les postulats de la mesure. La justification de ces postulats doit être trouvée dans les multiples mesures effectuées depuis trois quarts de siècle et qui, jamais, n’ont infirmé la théorie présentée ici.

Nous avons vu qu’à toute grandeur physique mesurable correspond un opérateur observable.

Lorsqu’on effectue une mesure, le résultat est certainement l’une des valeurs propres du spectre de l’observable correspondante (postulat 1). C’est un nombre réel. La liste des résultats possibles est donc déterminée par la nature de la grandeur que l’on mesure.

Le résultat présente, quant à lui, une indétermination. La mesure est une inter- action entre le système physique étudié et l’appareil de mesure. C’est cette interaction qui détermine le résultat. Dans le domaine quantique, seule, la probabilité de chacun des résultats possibles peut être connue a priori. Elle dépend de l’état du système sur lequel on effectue la mesure (c’est-à-dire de sa fonction d’onde). Ces probabilités sont accessibles expérimentalement. En effet, en répétant la même mesure sur une population nombreuse de systèmes dans le même état, |ψi, on détermine la proportion d’occurrences de cha- cune des valeurs propres. Selon la loi des grands nombres, cette proportion est presque certainement voisine de la probabilitéa priori de cette valeur propre.

†Plus précisément, l’hamiltonien est l’opérateur quantique qui correspond à la fonction de Hamilton de la mécanique analytique.

Soit A l’observable associée à la mesure et |ψi l’état du système sur lequel on effectue la mesure. On décompose|ψisous la forme donnée par la relation 2.1 :

|ψi=X

|ϕi avec A|ϕ i=a |ϕi et a 6=a⁰ pour 6= ⁰ (2.2) A étant une observable, une telle décomposition est toujours possible.

La dernière égalité tient aux propriétés du produit scalaire et au fait quehϕ |ϕ0i= 0pour ⁰ 6= .

On postule (postulat 2), et l’expérience confirme la validité d’un tel postulat, que la probabilité, P(a ), pour que le résultat de la mesure soita est

P(a ) =hϕ |ψi

hψ|ψi = hϕ |ϕi

hψ|ψi (2.3)

Remarquons que si le système est initialement dans l’état|ψi=|ϕ_mi,le résultat de la mesure est certainementa=a_m.

L’interaction du système étudié et de l’appareil de mesure provoque une modifica- tion de l’état du système. On peut décider de ne pas pousser la mesure jusqu’au point où la valeur,a,du résultat est connu mais de laisser sortir de l’appareil la seule composante

|ϕi, choisiea priori. Avant d’effectuer la mesure nous ne savons pas si le système phy- sique sortira de l’appareil mais nous savons que s’il sort, il sera dans l’état|ϕi.La mesure considérée agit ici comme un filtre. Cette opération permet de préparer des systèmes quantiques dans un état choisia priori. La probabilité pour qu’immédiatement après la mesure le système soit dans l’état|ϕiest notéeπ .

Nous pouvons pousser la mesure jusqu’à en obtenir le résultata. Cette opération peut se traduire par un impact sur un écran (voir l’expérience de Stern et Gerlach - fascicule I, chapitre 6). A ce stade le système physique étudié a disparu dans sa collision avec l’écran, mais nous pouvons effectivement lire la valeur dea.Cette dernière opération constitue la mesure associée àA,effectuée sur l’état|ϕ i.Le résultat en est certainement a selon le postulat 2, ci-dessus.

L’opération décrite (filtrage + impact sur l’écran) conduit à observera avec la probabilitéπ ou à ne rien observer. Une telle opération ne constitue pas réellement une mesure deAcar le résultat possible (a=a)a été choisia priori.

La mesure associée àAconsiste, par exemple, à proposer lefiltrage précédent de l’état initial|ψi,sur toutes les composantes|ϕ iet à pousser la mesure jusqu’à l’obtention de a.Dans cette opération, le système sortira par un canal caractérisé par l’un des états

|ϕi. Le canal de sortie est inconnu a priori mais sa probabilité estπ . Ce canal est le seul qui conduise au résultata=a .La probabilité dea=a est doncP(a) =π .

On interprète donc P(a ) =π comme la probabilité pour le système soit dans l’état |ϕi immédiatement après la mesure (postulat 3).

On remarquera que les "mesures", celle régie par le postulat 2, qui conduit à la valeur a =a , et celle régie par le postulat 3, qui consiste à filtrer |ψi pour obtenir

|ϕi, sont toutes deux des "mesures" associées à l’observableA, mais qu’elles ne sont pas nécessairement identiques, ni même arrêtées au même stade d’achèvement.

La valeur de P(a )ne dépend pas de la norme de |ψi. En effet, supposons que l’état soit décrit par la fonction d’onde ψ⁰(r) =ξ×ψ(r)où ξ est un nombre complexe arbitraire. Il vient ¯¯ψ⁰®

= P

|ϕ⁰i avec |ϕ⁰i = ξ× |ϕi et par conséquent hϕ⁰ ¯¯ψ⁰®

­ψ⁰ ¯¯ψ⁰® =

hξϕ |ξψi

hξψ|ξψi = ξξhϕ |ψi

ξξhψ|ψi = hϕ |ψi

hψ|ψi =P(a). Quelle que soit la mesure, deux états décrits par deux fonctions d’ondes proportionnelles donnent les mêmes résultats avec les mêmes probabilités. On en déduit que deux fonctions d’onde proportionnelles décrivent le même état physique.

On utilise souvent une base orthonormalisée,{|u_ni}de fonctions propres deA : hu_m|u_ni=δ_nm. Le vecteur|ψiadmet la décomposition|ψi=P

n

C_n|u_ni.Le carré de sa norme esthψ|ψi=P

n

C_nC_n =P

n |C_n|².

Considérons un état |ψinormalisé :hψ|ψi=P

C_nC_n= 1.

• Admettons que ak n’est pas dégénéré. Il vient |ϕ_ki = Ck|uki et hϕ_k |ϕ_ki =

|C_k|².On en déduitP(a_k) =|C_k|².Si la valeur a_k a été sélectionnée, l’état du système immédiatement après la mesure est|u_ki.

• Admettons quea_k soit dégénéré. Pour fixer les idées nous supposons une dé- générescence d’ordre 2 où |u₅i et|u₆i sont les deux vecteurs propres de A associés à la même valeur proprea=a5=a6. Toutes les autres valeurs propres sont différentes dea.

La projection de|ψisur le sous-espace propreE^aest le vecteur|ϕi=C5|u5i+C6|u6i.Il vient hϕ|ϕi=|C₅|²+|C₆|².On en déduitP(a) =|C₅|²+|C₆|².

Considérons maintenant un vraifiltre : un polariseur optique qui ne laissefiltrer que la lumière polarisée verticalement, par exemple. L’état du système après filtrage est connu. Nous le notons |ui. L’état |ui est une caractéristique de l’appareil et résulte de sa construction. Lorsqu’un système physique dans l’état|ψipénètre dans l’appareil, nous ne savons pas a priori s’il va en ressortir, mais nous savons que s’il en ressort il sera dans l’état |ui.L’interaction entre l’appareil et le système physique est une mesure. Les postulats précédents impliquent alors que la probabilité pour que le système physique ressorte est

P_|ψi→|ui= hψ|ui hu|ψi

hu|ui hψ|ψi = |hu|ψi|²

hu|ui hψ|ψi (2.4) En effet, nous associons à la mesure l’observableAconstruite ainsi :

le spectre deAest constitué de deux valeurs propres,1et0;

la valeur propre 1est non dégénérée ; le vecteur propre associé est|ui; le sous espace propre de valeur propre0est formé de l’ensemble des vecteurs orthogonaux à |ui.

On peut vérifier queA, ainsi défini, est une observable. Nous l’admettons.

Nous décomposons|ψisous la forme|ψi=|σi+|φiavecA|σi=|σietA|φi= 0.

La valeur propre 1n’étant pas dégénérée, il vient |σi=C|ui, ce qui impliquehu|ψi = Chu|uiet par conséquentC= hu|ψi

hu|ui. Selon les postulats de la mesure, il vient P_|ψi→|ui= hσ|σi

hψ|ψi = ¯CC× hu|ui

hψ|ψi =hψ|ui hu|ui

hu|ψi

hu|ui × hu|ui hψ|ψi. On en déduit les expressions 2.4 ci-dessus.

2.3.2 L’expérience de Stern et Gerlach

Considérons l’expérience de Stern et Gerlach étudiée au chapitre 6 du fascicule I (paragraphes 6-2 et 6-3). Lors d’une mesure, la projection sur l’axe Oz du spin, S_z, d’un atome d’argent peut prendre l’une des deux valeurs : ±~/2; ce sont les valeurs propres de l’observableS_z.A chacune de ces valeurs propres est associé un vecteur propre

normalisé^† :

½ ~/2 ↔ |+i

−~/2 ↔ |−i . Au sortir du four, l’atome d’argent est dans l’état

|ψi = C+|+i+C₋|−i, c’est la forme la plus générale possible de |ψi. On en déduit hψ|ψi=|C₊|²+|C₋|².L’interaction avec le dispositif (écran inclus) constitue une mesure deSz.Les résultats possibles sont donnés dans le tableau ci-dessous

Mesure n^◦1 : 1^`eremesure deS_z état initial :|ψi=C₊|+i+C₋|−i résultat probabilité vecteur propre

~ 2

|C₊|²

|C+|²+|C₋|² |+i

−~ 2

|C₋|²

|C+|²+|C₋|² |−i

A chacun des résultat possibles correspond un point d’impact sur l’écran.

Après la mesure deS_z,nous sélectionnons les atomes dans l’état |+i.Nous me- surons alors la projection de leur spin suivant Oy. Les résultats possibles sont encore

±~/2 car l’isotropie de l’espace nous assure que rien ne distingue la direction Oz de la direction Oy. A chacune de ce valeurs propres correspond un vecteur propre norma- lisé :

½ ~/2 ↔ |αi

−~/2 ↔ |βi . Il faut clairement distinguer les vecteurs{|+i,|−i}et les vec- teurs{|αi,|βi};chacun de ces ensembles forme une base de l’espace des états du spin de l’atome d’argent, mais le premier ensemble est formé de vecteurs propres de Sz, tandis que le second ensemble est formé de vecteurs propres deSy.

Le vecteur|+i, état du système à l’issue de la première mesure, se décompose sur la base{|αi,|βi}sous la forme|+i=a|αi+b|βiavec|a|²+|b|²= 1(car|+i,|αiet|βi sont normalisés avechα|βi= 0).La mesure deSy donne les résultats suivants :

Mesure n^◦ 2 : mesure deS_y état initial :|+i=a|αi+b|βi résultat probabilité vecteur propre

~

2 |a|² |αi

−~

2 |b|² |βi Nous sélectionnons les mesures dont le résultat est −~

2. A l’issue de la seconde mesure l’état du système est donc |βi. Nous effectuons alors une mesure deS_z. Pour en prédire les résultats, nous décomposons l’état du système, |βi, sur la base des vecteurs propres deS_z (c’est-à-dire|±i) :|βi=c₊|+i+c₋|−i.Les vecteurs|βi,|+iet|−isont normalisés, les vecteurs|+iet|−isont, en outre, orthogonaux. Les résultats de la mesure sont donc les suivants

Mesure n^◦3 : 2^`ememesure deS_z état initial :|βi=c₊|+i+c₋|−i résultat probabilité vecteur propre

~

2 |c+|² |+i

−~

2 |c₋|² |−i

†Par soucis de simplification, nous admettons sans discussion que le spectre deSz n’est pas dégénéré.

Si nous ne préjugeons pas de la valeur des coefficients^† a, b, c+ et c₋, il est légitime de supposer que le résultat de la seconde mesure de Sz, fournit soit l’une soit l’autre des deux valeurs ±~/2 bien que la valeur ~/2 ait déjà été sélectionnée à l’issue d’une première mesure de Sz. Sur un jet contenant de nombreux atomes d’argent, selon toute vraisemblance, les deux valeurs doivent être observée. C’est bien le cas.

2.3.3 La théorie de la mesure dans le cas continu

Considérons le cas d’une observable A dont le spectre est continu. L’observable ˆ

x,associée à la mesure de l’abscisse d’une particule ponctuelle et l’observablepˆ_xassociée à la mesure de la composante de son impulsion suivant l’axe Ox,en sont deux exemples.

Soit{|u_pi}une base de l’espace des états formée de vecteurs propres deA.L’indice pest un indice continu que nous supposons, pourfixer les idées, susceptible de prendre une valeur arbitraire dansR. Nous admettons que la base a été orthonormalisée :hu_q|u_pi= δ(p−q).La valeur propre associée au vecteur|u_piest notéeλ_p :A|u_pi=λ_p|u_pi.

L’état du système est décrit par le vecteur|ψiqui admet un développement sur la base{|u_pi},de la forme

|ψi= Z +∞

−∞

C(p) |upi dp

En utilisant les propriétés du produit scalaire ainsi que l’orthonormalisation de la base {|u_pi},on démontre que le carré de la norme de|ψiest hψ|ψi=R+∞

−∞ |C(p)|² dp.Nous supposons que|ψiest normalisé :hψ|ψi= 1.

Sur lafigure 2-1 nous avons représenté le graphe de la fonctionp7→λp.

Nous effectuons une mesure. Le résultat observé ne conduit pas à une valeur précise deλ,mais à un intervalle de valeurs deλ.

Figure 2-1.

Nous considérons le cas de l’intervalle infinitésimal [λ0, λ0+dλ]. Pour que le résultat de la mesure appartienne à cet intervalle il faut que pappartienne à l’intervalle [p0, p0+dp] oùp0 etdp sont définis sur la figure 2-1a). La probabilité de cet intervalle est alors |C(p₀)|² dp.

Pour obtenir la probabilité de l’éventualité λ∈[λ₁, λ₂], il faut alors intégrer la probabilité élémentaire précédente sur les valeurs dep∈I_[λ1,λ2] où l’intervalleI_[λ1,λ2] est défini sur lafigure 2-1b).

†La théorie du spin1/2conduit aux expressions|+i= 1

√2(|αi − i|βi)et|βi= 1

√2(i|+i + |−i). Les deux résultats possibles de la dernière mesure sont donc équiprobables.

Considérons un problème à une dimension où la fonction d’onde est ψ(x).Nous normalisons la fonction ψen posantψ⁰=ξψoùξest un nombre complexe choisi de telle sorte que ­

ψ⁰ ¯¯ψ⁰®

= 1.Il vient par exempleξ= 1 phψ|ψi.

Nous posonsψ⁰(x) = Z +∞

−∞

ψ⁰(λ)δ(x−λ)dλ,ce que l’on écrit sous forme vecto- rielle¯¯ψ⁰®

= Z +∞

−∞

ψ⁰(λ)|δλidλ.Nous avons vu que {|δλi} s’interprète comme une base orthonormalisée de vecteurs propre dexˆ pour les valeurs propresλ∈R.Effectuons une mesure de position, la probabilité P(λ∈[x,x+dx]) pour que le résultat appartienne à l’in- tervalle élémentaire[x, x+dx]est, d’après ce qui précède, P_{(λ∈[x,x+dx])}=¯¯ψ⁰(x)¯¯²dx =

|ψ(x)|²

hψ|ψidx.C’est l’expression 1.3 dans le cas des problèmes à une dimension.

La fonction d’onde s’écrit aussi sous la forme d’une intégrale de Fourier:ψ(x) = Z +∞

−∞

Λ(p) 1

√2π~e^ipx/~dp(voir l’expression 1.15). Rappelons que l’état|u_pi,décrit par la fonction d’onde 1

√2π~e^ipx/~,est un état propre de l’opérateur impulsionpˆ_xpour la valeur proprep.En outre, les vecteurs{|upi}forment une base continue, orthonormée, de l’espace des états : hu_p|u_qi=δ(p−q).D’après ce qui précède, |Λ(p)|²

hψ|ψidpest la probabilité pour que l’impulsion de la particule décrite parψ,appartienne à l’intervalle[p, p+dp]. 2.3.4 Valeurs moyenne, écart quadratique moyen

Lors d’une mesure, il est souvent suffisant de connaître la moyenne des résultats possibles et l’écart quadratique moyen de leur distribution.

Considérons une observable A et un état physique |ψi. Suivant la relation 2.2, nous décomposons |ψisous la forme|ψi=P

|ϕ_niavecA|ϕ_ni=an|ϕ_ni.Chaque valeur an peut être observée avec la probabilité P(an). La valeur moyenne^† des observations, notée hAi est, par définition hAi := P

P(an) an. On démontre les résultats suivants (annexe 1 page 33) :

hAi:=P

n

a_n P(a_n) = hψ|Aψi

hψ|ψi avecP(a_n) = hϕ_n |ϕ_ni

hψ|ψi (2.5)

Rappelons les propriétés de la moyenne.

L’état|ψiétant donné, les moyennes considérées ci-dessous sont toutes des moyennes prises sur l’état|ψi.On démontre aisément les relations

hA+Bi=hAi+hBiethξ Ai=ξ hAi

oùAet B sont deux observables tandis queξest un nombre complexe arbitraire.

†Avant toute mesure, à chaque résultat possible,an,est associée une probabilitéa priori,P(an). La quantitéSP(an)anest appelé "espérance mathématique". Lorsqu’on répète l’expérience de nombreuses fois, la proportion de résultatsa=an estpnLa quantitéS

pnanest la moyenne des observations. Or, selon la loi des grands nombres,pnest presque certainement très proche deP(an).Nous ne distinguerons donc pas l’espérance mathématique qui se rapporte à des probabilités et la moyenne qui se rapporte à des observations.

Le carré de l’écart quadratique moyen^‡, noté(∆A)²est la moyenne de(a−hAi)² oùaest le résultat de la mesure. Soit{|uni}une base de vecteurs propres deAtelle que A|u_ni=a_n|u_ni.On vérifie la relation(A−hAi)|u_ni= (a_n−hAi)|u_niet(A−hAi)²|u_ni= (an−hAi)²|uni.Ainsi{|uni}est une base de vecteurs propres de(A−hAi)².En utilisant le résultat précédent il vient(∆A)²=P

(a_n−hAi)²×P(a_n) =hψ¯¯¯(A−hAi)²ψE

/

(∆A)²=D

(A−hAi)²E

=­ A²®

−hAi²

L’écart quadratique moyen,∆A, est une quantité non négative qui croît avec la dispersion des résultats de la mesure. On aurait pu construire beaucoup d’autres indica- teurs de dispersion. L’écart quadratique moyen présente certaines propriétés qui le font préférer aux autres, parmi celles-ci, les dimensions physiques et les unités de∆Aqui sont les mêmes que celles dean et dehAi.

Lorsque ∆Aest nul, |ψiest un état propre de A pour la valeur proprehAi. En effet, la quantitéP

(an−hAi)²P(an)est nulle ; comme c’est une somme de termes non négatifs, cela signifie que chaque terme,(a_n−hAi)²P(a_n),est nul. Les seuls cas que l’on observe sont ceux pour lesquels P(a_n) 6= 0 (les éventualités de probabilité nulle ne se réalisent pas !). Ce sont donc des cas pour lesquelsa_n−hAi= 0.Toutes les observations, i.e.tous lesa_n,sont les mêmes. Or lesa_nsont tous différents, cela signifie donc qu’il n’y a qu’une seule observation, a_k par exemple. Par conséquentP(a_k) = 1etP(a_n) = 0pour n6=k. L’état quantique s’écrit donc|ψi=|ϕ_ki.C’est un état propre deA.

2.4 Les relations d’indétermination.

La discussion de l’expérience de Stern et Gerlach ci-dessus montre que certaines grandeurs, Sz et Sy en l’occurrence, ne peuvent pas être définies simultanément. C’est cette question que nous voulons étudier ici.

Considérons deux observablesAetBdont les spectres sont{a_n}et{b_m}.L’espace des états admet une base de vecteurs propres deAet une base de vecteurs propres deB.

1-Considérons le cas où ces bases sont identiques. Chaque vecteur de cette base est vecteur propre deAet vecteur propre deB.On peut donc le désigner sous la notation

|a_n, b_mi,ce qui signifieA|a_n, b_mi=a_n|a_n, b_mietB|a_n, b_mi=b_m|a_n, b_mi.Cependant il peut arriver que plusieurs vecteurs de la base considérée soient vecteurs propres deAetB pour les valeurs propresa_n etb_m.Nous devons donc disposer d’un indice supplémentaire, r,pour désigner tous ces vecteurs. Pour cette raison, nous supposons que la base est de la forme{|a_n, b_m, ri}.

Quel que soit le vecteur de base considéré, on vérifie la relationAB|a_n, b_m, ri= a_nb_m|a_n, b_m, ri=b_ma_n|a_n, b_m, ri=BA|a_n, b_m, ri.On en déduit la valeur du commuta- teurAB−BA:= [A, B] = 0.

Réciproquement on peut démontrer que la commutation des observables A et B, i.e. [A, B] = 0, implique que l’on peut trouver une base de l’espace des états, for- mée de vecteurs propres communs à A etB. Par conséquent cette base peut être notée

‡Dans le langage des probabilités on utilise le terme "écart-type". Le carré de l’écart-type est la

"variance" de la loi de probabilité considérée. Si on se réfère à des observations, on utilise l’expression

"écart quadratique moyen". Dans le présent cours il n’est pas nécessaire de distinguer ces deux notions car nous nous réfèrons à des observations assez nombreuses pour que la loi des grands nombres nous assure, presque certainement, que l’écart quadratique moyen est pratiquement égal à l’écart type.

{|an, bm, ri}. Il en est de même si un ensemble de vecteurs propres deB constitue une base sans queB ne soit nécessairement une observable.

Considérons un état|ψi,vecteur propre deAet vecteur propre deB :par exemple

|ψi = P

r

Cr|an, bm, ri. Un tel vecteur satisfait les relations A|ψi = an|ψi et B|ψi = bm|ψi.

En utilisant la théorie de la mesure, il apparaît qu’une mesure de A donne le résultat certaina=a_n et laisse l’état inchangé. Si on effectue alors une mesure deB,on trouve certainement b_m.Après cette seconde mesure l’état est encore|ψi. L’état|ψiest donc un état dans lequel les valeurs deAetB sont toutes deux très bien définies.

Exemple : Considérons les observablesyˆetpˆ_x. On vérifie la relation[ˆy,pˆ_x] = 0.

Il existe donc des fonctions d’onde^† qui sont fonctions propres de yˆet pˆ_x, la fonction ψ=δ(y−a) e^ipx/~ par exemple.

Une telle fonction d’onde représente une particule dont l’ordonnée,y,et l’impul- sionp_xsuivantOx,sont parfaitement bien définies :y=aetp_x=p.Cependant, l’abscisse de la particule est complètement indéterminée.

2- Considérons maintenant le cas où les observables A etB ne commutent pas.

Nous posons

[A, B] =iC On vérifie que l’opérateurC,ainsi défini, est hermitique.

On démontre la relation

∆A∆B≥ 1 2|hCi|

Cette relation est satisfaite quel que soit l’état|ψisur lequel ont été calculées les diverses quantités. Nous donnons en annexe, page 34 , la démonstration de cette propriété.

Exemple : Considérons les observables xˆ et pˆ_x. On vérifie la relation [ˆx,pˆ_x] = i~ (cf. démonstration page 23). Dans ces conditions il vient ∆x∆px≥~/2. Aucune particule ne peut donc avoir sa position et son impulsion, toutes deux, parfaitement bien définies, relativement à un même axe arbitraire donné.

La relation∆x∆p_x≥~/2et les relations de même nature concernant les axesOy etOzsont connues sous le terme de"relations d’indétermination de Heisenberg".

Dans le cas général, lorsque C est un opérateur, il n’est pas exclu que pour un état |ψiparticulier on ait simultanément∆A= 0et∆B = 0.Dans ce cas,A etB sont simultanément bien définis. Ceci se produit nécessairement pourhCi= 0.

Les relations d’indétermination,∆x∆px≥~/2,jouent un rôle important à l’échelle atomique, mais sont sans grand effet à l’échelle macroscopique.

Considérons un petit objet macroscopique, une poussière de dimension de l’ordre de 1μm, de masse m ∼ 10⁻¹⁵g. L’indétermination sur sa position est donnée : ∆x = 10⁻³μm. L’indétermination sur son impulsion est donc∆p= ~

2∆x = m∆v. L’indéter- mination sur sa vitesse est donc ∆v= ~

2m∆x ∼5 10⁻¹¹m s⁻¹,ce qui est complètement négligeable à l’échelle macroscopique. Avec des objets plus massifs l’indétermination de la vitesse est encore plus petite. Pour cette raison on a pu considérer pendant longtemps que la position et l’impulsion d’un objet matériel pouvaient être définis simultanément.

†On peut même choisir de telles fonctions pour former une base de l’espace des états.

Dans le domaine microscopique, les relations d’indétermination jouent un rôle essentiel. Le plus souvent l’inégalité y est remplacée par une égalité entre ordres de grandeurs: ∆x∆px∼~.

Exemple 1 : L’atome d’hydrogène a pour dimension un rayon de l’ordre dea = 0,5Å. C’est l’ordre de grandeur de l’indétermination sur la position de l’électron. Il s’en suit une indétermination sur l’impulsion ∆p∼ ~

a. Les systèmes stables sont ceux dont l’énergie est minimale ; on peut donc admettre que l’impulsion,p,de l’électron satisfait la relation0<|p|.∆pet que l’énergie cinétique est de l’ordre de(∆p)²

2m .L’énergie cinétique est égale à l’opposé de l’énergie totale d’un système de particules soumises à des forces d’interaction inversement proportionnelles à r² oùr est la distance entre les particules : c’est le théorème du viriel qui s’applique aux forces de Coulomb. L’énergie est donc de l’ordre de E =−p²

2m ∼ (∆p)²

2m ∼ − ~²

2ma² ∼ −14 eV pour m=m_e '9 10⁻³¹kg. Cette expression doit être comparée à l’énergie du niveau fondamental −13,6 eV. On ne peut espérer un meilleur accord qualitatif compte tenu de la grossièreté des approximations effectuées.

Exemple 2 : une onde plane de longueur d’ondeλ,onde lumineuse ou onde de de Broglie suivant le cas, tombe normalement à un écranE(figure 2-2a)).Celui-ci est percé d’un trou de diamètre d. On obtient ainsi unefigure de diffraction. Sur la figure 2-2a), nous avons représenté l’intensité de l’onde,I,en fonction de la direction d’observation.

L’onde plane s’interprète statistiquement comme un flux de particules. Celles qui passent par le trou sont déviées. La plupart d’entre elles se dirigent dans toutes les directions à l’intérieur du cône de demi angle au sommetα.

Figure 2-2.

Les particules incidentes ont une impulsionp.Au niveau du diaphragme, dans la direction zz⁰ de la figure 2-2, l’impulsion des particules présentent une indétermination

∆p_z ∼ αp. Sur l’axe zz⁰, l’indétermination sur la position des particules au niveau du diaphragme est ∆z 'd/2. La relation ∆z ∆p_z ∼~ devient dαp∼2~ avecp= 2π~/λ.

On en déduit l’ordre de grandeur πdα/λ∼ 1soit 3α∼ λ

d. L’expression exacte, donnée par la théorie de la diffraction des ondes par un trou circulaire estα= 1,22λ

d.Ici encore, un raisonnement grossier, conduit à une estimation convenable de l’ordre de grandeur de l’angle de diffraction.

Ainsi, si on cherche a préciser la position de la particule au niveau du diaphragme, il faut en réduire le diamètre. Ce qui accroit l’angle de diffraction,α, et par conséquent l’indétermination sur la composante de l’impulsion parallèle à l’écran.

2.5 Conclusion

Pour conclure, évoquons le cas de mesures simultanées. Supposons que nous dis- posions de deux appareils de mesure, destinés à mesurer sur le même système, deux grandeurs dont les observables associées,A etB,ne commutent pas.

Effectuons la mesure de A suivi immédiatement de la mesure de B. Le résultat possible de cette double mesure est un couple de valeurs(a, b),oùa(resp.b) est une valeur propre de A (resp. B) résultat éventuel de la première mesure (resp. seconde mesure).

Répétons cette opération de nombreuses fois et notons les résultats des mesures avec leur probabilité,P(a, b).

Intervertissons l’ordre des mesures. Le résultat possible de la double mesure, celle deB suivie de celle deAest encore notée(a, b)oùaest le résultat de la seconde mesure (celle deA)etble résultat de la première mesure (celle deB).La probabilité de ce résultat est notéP⁰(a, b).

On vérifie aisément la relation P(a, b) 6=P⁰(a, b), sauf dans des cas exception- nels. L’ordre dans lequel s’effectue les mesures A et B influe donc sur le résultat (plus précisément sur la statistique des résultats possibles). Dans ce cas, il n’est pas possible d’effectuer les deux mesures simultanément. Cependant rien n’empêche de brancher les deux appareils en même temps. Il se produit alors une interaction complexe entre le sys- tème étudié et les deux appareils de mesure mais cette interaction ne constitue pas une mesure et ne peut pas être décrite au moyens des postulats précédents.

La situation est différente lorsque les mesures correspondent à des observables qui commutent. Dans ce cas on a P(a, b) =P⁰(a, b) ;l’ordre dans lequel on effectue les mesures n’influe pas sur le résultat. Les mesures peuvent être effectuées simultanément.

Lorsque les observables commutent, les mesures "compatibles".

Annexe 1 : Démonstrations 1- hAi:=P

k

P(ak) ak= hψ|Aψi hψ|ψi .

Pour démontrer cette propriété, nous considérons le développement de |ψi sous la forme |ψi = P

k |ϕ_ki avec A|ϕ_ki = a_k|ϕ_ki et a_k 6= a pour k 6= . Par définition hAi :=P

k

P(ak) ak, en utilisant la théorie de la mesure, il vient hAi=P

k

hϕ_k |ϕ_ki hψ|ψi ak. D’autre part hψ|Aψi=P

k hψ|akϕ_ki=P

k,n

akhϕ_n|ϕ_ki.Cependant,|ϕ_kiet|ϕ_nisont des vecteurs propres de l’observable A pour des valeurs propres différentes lorsque n 6= k, ces deux vecteurs sont donc orthogonaux. On en déduit hψ|Aψi=P

k

a_khϕ_k |ϕ_ki et par conséquent hψ|Aψi

hψ|ψi =P

k

hϕ_k |ϕ_ki

hψ|ψi a_k:=hAi. 2- ∆A²:=D

(A−hAi)²E

=­ A²®

−hAi²

On développe(A−hAi)²=A²−2hAiA+hAi².CependantA est un opérateur tandis quehAiest un scalaire (c’est même un nombre réel siAest hermitique). On utilise les propriétés des valeurs moyennes :hλi=λethA+λBi=hAi+λhBiquels que soient

les opérateurs AetB et le scalaireλ.Il vient DA²−2hAiA+hAi²E

=­ A²®

−2hAi hAi+hAi²=­ A²®

−hAi².

Par conséquentD

(A−hAi)²E

=­ A²®

−hAi². 3- C:=−i[A, B]⇒∆A ∆B≥ 1

2|hCi|

SoitA et B deux observables et|ψiun état physique normalisé, donné une fois pour toutes. Je pose δA:=A−hAiet δB=B−hBioùhAiest la moyenne deAethBi la moyenne de B.

3-a.Les opérateursAetBétant hermitiques, leur valeur moyenne est réelle.

En effet hAi =hψ|Aψi =­

A^†ψ|ψi or A = A^† d’où hAi= hAψ|ψi. Les propriétés du produit scalaire donnent : hAi=hAψ|ψi=hψ|Aψi. Dans cette dernière expression on reconnaîthAi.D’où la relationhAi=hAi.

Aest hermitique ethAiest réel.

On en déduit que A−hAi:=δAest un opérateur hermitique. Remarquons en passant que tout vecteur propre de A pour la valeur proprea, est vecteur propre deδA pour la valeur proprea−hAi.

On vérifie aisément la relationAB−BA:= [A, B] = [δA, δB] :=δA δB−δB δA.

3-b. Nous définissons l’opérateur C := −i[A, B]. On en déduit [A, B] = iC = [δA, δB]. On vérifie en outre, que C est un opérateur hermitique. En effetC =−i(AB−BA)⇒C^†=i¡

B^†A^†−A^†B^†¢

.OrAetB sont hermitiques. On en déduitC^†=i(BA−AB) :=−i[A, B] =C.La valeur moyenne deC est donc réelle.

3-c.Nous définissons|θi=|(A+λB)ψioùλest un nombre complexe. Nous formonshθ|θi:

hθ|θi=hAψ+λBψ|Aψ+λBψi=hAψ|Aψi+hAψ|λBψi+hλBψ|Aψi+hλBψ|λBψi. En utilisant les propriétés du produit scalaire et l’hermiticité de A et B, on trouve : hθ|θi=hψ¯¯A²ψ®

+λhψ|ABψi+λhψ|BAψi+λλhψ¯¯B²ψ® Considérons le casλ=iXoùX est réel. Il vient hθ|θi=hψ¯¯A²ψ®

+iXhψ|(AB−BA)ψi+X²hψ¯¯B²ψ®

.Avec[A, B] =iC on obtient hθ|θi=hψ¯¯A²ψ®

−Xhψ|Cψi+X²hψ¯¯B²ψ®

=­ A²®

−hCiX+­ B²®

X²:=f(X). Les coefficients du polynômef(X)sont réels. En outre, le coefficient deX² est positif ou nul car ­

B²®

= hψ¯¯B²ψ®

= hBψ|Bψi = k |Bψi k². La relation hθ|θi ≥ 0 implique que le polynôme f(X)est positif ou nul pour tout X. Par conséquent il vient hCi²−4­

A²®­ B²®

≤ 0. Une relation similaire est valide en effectuant la substitution A→δA, B→δB, C=−i[A, B]→ −i[δA, δB] =C.On obtienthCi²−4­

δA²®­ δB²®

≤0 avec­

δA²®

=D

(A−hAi)²E

=∆A²où∆Aest l’écart quadratique moyen sur les mesures deAet de même­

δB²®

=∆B².On trouve donc hCi²−4∆A²∆B²≤0,soit encore

∆A∆B≥ 1 2|hCi|

Annexe 2 : Exemple de mesure

Nous considérons le puits infini du paragraphe 1.8, page 15. A l’extérieure du puits, la fonction d’onde est nulle. Nous nous intéressons donc seulement aux fonctions d’onde dans le puits (X ∈[0, L])

Dans le puits l’énergie potentielle est nulle ; l’énergie totale est donc l’énergie cinétique pˆ²

2m où pˆ= −i~ d

dX est l’opérateur impulsion. L’hamiltonien s’écrit sous la formeHˆ =−~²

2m d² dX².

Les états propres de l’énergie satisfont la relation pˆ²

2mϕ(X) =Eϕ(X)oùm est la masse de la particule etEl’énergie de l’état décrit par la fonction d’ondeϕ(X).Cette relation est une équation différentielle du second ordre,−~²

2m d²ϕ

dX² =Eϕ.Nous distinguons 3 cas

1-E <0 :ϕ(X) =Ae^{√2mE X/~}+Be^{−√2mE X/~}.

La continuité de ϕ(X) en X = 0 implique A + B = 0, soit ϕ(X) = 2Asinh

∙1

~

√2mE X

¸

. La continuité de ϕ(X)en X = L implique alors l’une des deux conditions A= 0ouE = 0.Dans les deux casϕ(X)≡0. Il n’y a donc pas de particule possédant une énergie négative. Ce résultat est identique à celui de la mécanique classique où l’énergie cinétique n’est jamais négative.

2- E >0 : ϕ(X) = Ae^{i√2mE X/~} +Be^{−i√2mE X/~}. La continuité de ϕ(X) en X = 0impliqueA+B = 0, soitϕ(X) = 2iAsin

∙1

~

√2mE X

¸

.La continuité enX =L implique l’une des deux conditionsA= 0ousin

∙1

~

√2mE L

¸

= 0.On ne peut accepter la conditionA= 0pour décrire une particule car, dans ce cas ϕ(X)≡0(la particule n’est nulle part !). La condition sin

∙1

~

√2mE L

¸

= 0 est, par contre, acceptable. L’énergie, E, est alors telle que 1

~

√2mE L = kπ où k est un entier arbitraire. L’énergie dépend donc d’un indice entier : E_k = k² π²~²

2m L². La fonction propre correspondante est alors ϕ_k(X) = 2iAsin

∙1

~

√2mEk X

¸

= 2iAsin

∙ kπX

L

¸ .

Nous n’imposons pas la continuité de la dérivée de ϕ_k(X)enX = 0ouX =L, cela conduirait àϕ_k(X)≡0.

On choisit le coefficient A de telle sorte que l’ensemble des fonctions propres forme une base orthonormée de l’espace des états : ϕ_k(X)→vk(X) =

r2 Lsin

∙ kπX

L

¸ . Ces fonctions forment une base parce que l’hamiltonien est une observable.

Nous introduisons la variable sans dimensionx=X/Let nous effectuons le chan- gement de fonction ϕ(X)→ψ(x) =

√L

2 ϕ(X). Le puits est caractérisé par l’intervalle x∈[0,4]. Les fonctionsv (X)deviennent les fonctionsu(x)définies par les relations A2, page 16. Celles-ci constituent une base de l’espace des fonctions d’onde (l’hamiltonien est une observable).

Les fonctions d’onde les plus générales se décomposent sous la forme ψ(x) =X

c_nu_n(x)

La fonctionψ,définie par les relations A1 page 16 admet les coefficients de développement apair = 0et pour les premiers termes aimpair il vient :

k= 1 3 5 7 9 ...

ak= 1,3581 −0,97009 0,45271 −8,8190×10⁻² −3,4824×10⁻² Cette fonction satisfait la relationhψ|ψi=R3

1 (1 + cos (πx))²dx= 3.

Mesurons l’énergie de la particule. Il vient, par exemple, P roba(E=E₁) = ha₁u₁|a₁u₁i

hψ|ψi = |a₁|²

3 .On trouveP roba(E =E₁) = |1,3581|²

3 '0,61.

Immédiatement après la mesure, le système est dans l’état|u1iavec la probabilité0,61.

Considérons maintenant un appareil qui ne mesure pas l’énergie mais qui sélec- tionne suivant un premier canal les particules d’énergieE1,suivant un second canal celles telles que E3 ≤ E ≤E7 et suivant un troisième canal les particules telles que E7 < E.

Cette mesure n’est pas une mesure de l’énergie. L’appareil se contente defiltrer et d’orien- ter les particules selon qu’elles appartiennent à l’une ou l’autre des trois catégories. Nous décomposons |ψisous la forme

|ψi=

(

)

(

)

(

k=9

ak|uki

)

Nous posons|θ1i=a1|u1i,|θ2i=a3|u3i+a5|u5i+a7|u7iet|θ3i= P^∞

k=9

ak|uki. Immédiatement après la mesure le système est dans l’un des trois états pos- sibles |θ₁i, |θ₂i ou |θ₃i. La probabilité pour que le système se trouve dans l’état |θ₂i est hθ2|θ2i

hψ|ψi = 1 3

³

0,97009²+ 0,45271²+¡

8,8190×10⁻²¢2´

= 0,38. Si nous mesurions l’énergie nous trouverions une valeur comprise enteE3 etE7,bornes incluses. Cependant le système n’est pas dans l’état|u3i, |u5iou|u7imais dans l’état|θ2ioù l’énergie présente une certaine indétermination :|θ2i=a3|u3i+a5|u5i+a7|u7i.

3- E = 0 : ϕ(X) =AX+B oùA etB sont deux constantes d’intégration. La continuité de ϕ(X) en X = 0 et X = L implique ϕ(X) ≡ 0. Il n’existe donc pas de particule d’énergie cinétique nulle. On comprend ce résultat à la lumière des relations d’indétermination. La particule étant localisée dans le puits (∆X ≤L/2), elle présente un spectre d’impulsion qui ne peut se réduire à une seule valeur car∆p≥ ~

L.L’impulsion n’est donc pas nulle et l’énergie cinétique non plus : il est impossible d’immobiliser une particule dans un puits d’énergie potentielle. Ce résultat est spécifique de la théorie quantique, il ne se retrouve pas dans le cadre de la théorie classique.