MMSN Analyse numérique 2

(1)

MMSN

Analyse numérique 2

Chapitre 3 :

Résolution numérique d'EDO Cours 10-11-12-13-14

GM 3 Année 2021 - 2022 Contact : A. Tonnoir

[email protected]

(2)

2

Au programme (Chapitre 3)

Objectif :

Étant donné , déterminer numériquement la solution d'un système d’EDO :

t₀

∈ [

^a

,

^b

]

Exemples d’application :

Mécanique (céleste) mx^′^′(t)

=

^F

y^′(t) = f(t, y(t)), t ∈ [a, b] y(t₀) = y

0

(3)

3

Au programme (Chapitre 3)

Objectif :

t₀

∈ [

^a

,

^b

]

Exemples d’application :

Mécanique

Modèle en épidémiologie S^′

I R^′

= − β

^SI

β

^SI

− γ

^I

γ

^I

y^′(t) = f(t, y(t)), t ∈ [a, b] y(t₀) = y

0

(4)

4

Plan :

II. Les méthodes à 1-pas

I. Le théorème de Cauchy-Lipschtiz

III. Les méthodes multi-pas IV. Quelques extensions

Objectif :

t₀

∈ [

^a

,

^b

]

y^′(t) = f(t, y(t)), t ∈ [a, b] y(t₀) = y

0

Au programme (Chapitre 3)

(5)

5

1.1 Définition (pb. de Cauchy)

I. Le théorème de Cauchy-Lipschtiz

y^′(t) = f(t, y(t)), t ∈ [a, b] y(t₀) = y

0

Étant donné , une fonction

continue, trouver une fonction t.q.

t₀

∈ [

^a

,

^b

]

^f

: ℝ × ℝ

ⁿ

→ ℝ

ⁿ

y

: ℝ → ℝ

ⁿ ^C¹

Illustration dans le cas n=1 :

t y(t)

t₀

y0

(1,f(t))

(6)

6

1.1 Définition (pb. de Cauchy)

I. Le théorème de Cauchy-Lipschtiz

y^′(t) = f(t, y(t)), t ∈ [a, b] y(t₀) = y

0

Étant donné , une fonction

continue, trouver une fonction t.q.

t₀

∈ [

^a

,

^b

]

^f

: ℝ × ℝ

ⁿ

→ ℝ

ⁿ

y

: ℝ → ℝ

ⁿ ^C¹

1.3 Définition (Fonction Lipschtiz)

On dit qu’une fonction est (globalement) Lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable s’il existe L>0 t.q. :

f

: ℝ × ℝ

ⁿ

→ ℝ

ⁿ

∀t ∈ [a, b], ∀(y, z) ∈ ℝⁿ × ℝⁿ, ∥f(t, y) − f(t, z)∥ ≤ L ∥y − z∥

(7)

7

I. Le théorème de Cauchy-Lipschtiz

1.3 Théorème (de Cauchy-Lipschtiz)

Si f est continue et Lipschitzienne par rapport à sa 2ème variable alors le problème de Cauchy admet une unique solution.

(Rappel de la) Preuve (dans le cas n=1) : Point de départ : y sol. ssi y(t) = y(t₀) + ∫

t

t₀ f(s, y(s)) ds

Unicité : Soient et deux solutions du problème de Cauchy, alors on a :

y1 y

2

y1(t) − y

2(t) ≤ ∫ t

t₀ f(s, y

1(s)) − f(s, y

1(s)) ds y1(t) − y

2(t) ≤ L∫ t

t₀ y

1(s) − y

1(s) ds

(8)

8

I. Le théorème de Cauchy-Lipschtiz

Suite de la preuve :

Unicité : Soient et deux solutions du problème de Cauchy, alors on a :

y1 y

2

y1(t) − y

2(t) ≤ L∫ t

t₀ y

1(s) − y

1(s) ds

1.3 Lemme de Grönwall (admis)

Soient et de deux fonctions continues et positives vérifiant :

Φ Ψ [

^t₀

,

^t

] → ℝ

Φ(t) ≤ K + L∫ t

t₀ Ψ(s)Φ(s) ds alors Φ(t) ≤ KeL∫_t^t₀Ψ(s)Φ(s) ds

⇒ y

1(t) − y

2(t) ≤ 0 ⇒ y

1 = y

2

(9)

9

I. Le théorème de Cauchy-Lipschtiz

Existence : y sol. ssi y(t) = y(t₀) + ∫ t

t₀ f(s, y(s)) ds

On voit alors le problème de Cauchy comme une équation de point fixe

où l’opérateur .

ℒ

^y

=

^y

ℒ :

^B

(

^a

,

^b

) = (

^C⁰

[

^a

,

^b

], ∥ ⋅ ∥

_∞

) →

^B

(

^a

,

^b

)

Remarque :

On rappelle que B est un espace de Banach.

Or, on a : ∥ℒy

1 − ℒy

2∥_L^∞_(a,b) ≤ sup

t∈[a,b] ∫ t

t₀ f(s, y

1(s)) − f(s, y

2(s)) ds

≤ sup s∈[a,b]

L∫ t

t₀ y

1(s) − y

2(s) ds

≤ L(b − a) ∥y

1 − y

2∥_L^∞_(a,b)

(10)

10

I. Le théorème de Cauchy-Lipschtiz

t₀ f(s, y(s)) ds

On voit alors le problème de Cauchy comme une équation de point fixe

où l’opérateur .

ℒ

^y

=

^y

ℒ :

^B

(

^a

,

^b

) = (

^C⁰

[

^a

,

^b

], ∥ ⋅ ∥

_∞

) →

^B

(

^a

,

^b

)

Or, on a : ∥ℒy

1 − ℒy

2∥_L^∞_(a,b) ≤ L(b − a) ∥y

1 − y

2∥_L^∞_(a,b)

Si , on a alors une contraction, et on en déduit qu’il existe une unique solution en appliquant le Thm. de point fixe.

L

(

^b

−

^a

) <

¹

(11)

11

I. Le théorème de Cauchy-Lipschtiz

t₀ f(s, y(s)) ds

On voit alors le problème de Cauchy comme une éq u at i o n d e p o i nt f i xe o ù l ’ o pé r at e u r

.

ℒ

^y

=

^y

ℒ :

^B

(

^a

,

^b

) = (

^C⁰

[

^a

,

^b

], ∥ ⋅ ∥

_∞

) →

^B

(

^a

,

^b

)

Si , l’idée est alors d’appliquer la même méthode sur un intervalle avec .

L

(

^b

−

^a

) >

¹

[

^t₀

− ε,

^t₀

+ ε]

²

ε

^L

<

¹

t y(t)

t₀

On applique le même résultat sur avec comme condition de

C a u c h y p o u r

construire .

[

^t₀

,

^t₀

+

²

ε]

y¹

(

^t₀

+ ε

2

) =

^y

(

^t₀

+ ε

2

)

y1

(12)

12

I. Le théorème de Cauchy-Lipschtiz

t₀ f(s, y(s)) ds

On voit alors le problème de Cauchy comme une éq u at i o n d e p o i nt f i xe o ù l ’ o pé r at e u r

.

ℒ

^y

=

^y

ℒ :

^B

(

^a

,

^b

) = (

^C⁰

[

^a

,

^b

], ∥ ⋅ ∥

_∞

) →

^B

(

^a

,

^b

)

Si , l’idée est alors d’appliquer la même méthode sur un intervalle avec .

L

(

^b

−

^a

) >

¹

[

^t₀

− ε,

^t₀

+ ε]

²

ε

^L

<

¹

t y(t)

t₀

Et ainsi de suite : y²(t₀ + 3ε

2 ) = y¹(t₀ + 3ε 2 )

Remarque :

La solution étant u n i q u e s u r [ a , b] , o n d é d u i t aisément que y¹

=

^y²

= ⋯ =

^y.

(13)

13

I. Le théorème de Cauchy-Lipschtiz

1.3 Théorème (de Cauchy-Lipschtiz)

Si f est continue et Lipschitzienne par rapport à sa 2ème variable alors le problème de Cauchy admet une unique solution.

Remarques :

En appliquant la démarche de pro longement précédente, on peut construire une solution sur

ℝ

Si f n’est que localement Lip. (i.e. la constante L dépend de ) alors il existe une unique solution locale (maximale).

y0

(14)

14

Plan :

Objectif :

t₀

∈ [

^a

,

^b

]

y^′(t) = f(t, y(t)), t ∈ [a, b] y(t₀) = y

0

Au programme (Chapitre 3)

a) Définition et analyse

b) Les méthodes de Runge Kutta

(15)

15

II. a) Définition et analyse

Dans la suite de ce chapitre, on considèrera que f est Lipschtizienne, ce qui nous garantit qu’il existe une unique solution globale.

y(t) = y(t₀) + ∫ t

t₀ f(s, y(s)) ds Pour rappel, est solution ssi :y

Idée : Appliquer une formule de quadrature pour calculer un approximation de .

yi y(t_i)

Considérons la discrétisation t_i

=

^t₀

+ iΔ

^t, t.q. ^t_N

=

^T, alors y(t_i+1) = y(t_i) + ∫

t_i+1

t_i f(s, y(s)) ds

Méthode à 1-pas : Calculer y à partir de .

i+1 y

i

Méthode multi-pas : Calculer y avec .

i+1 y

i

,

^y

i−1

, ⋯,

^y

i−r

Remarque :

Avec une méthode numérique, on ne détermine pas (une approximation de) la solution pour tout instant t.

(16)

y2

16

t y(t)

t₀

y0

(Δ^t,^f(t))

y(t_i+1) = y(t_i) + ∫

t_i+1

t_i f(s, y(s)) ds Approcher l’intégrale

par la formule : yi+1 = y

i + Δt f(t_i, y

i)

y1 y

3 …

Les questions naturelles qui se posent alors sont : Si

Δ

^t

→ 0

, a t’on ^y_i

→

^y(t_i⁾ ? (Convergence)

Peut-on concevoir des schémas plus précis ?

Un premier exemple : la méthode d’Euler

II. a) Définition et analyse

(17)

y2

17

Un premier exemple : la méthode d’Euler

t y(t)

t₀

y0

(Δ^t,^f(t))

y(t_i+1) = y(t_i) + ∫

t_i+1

t_i f(s, y(s)) ds Approcher l’intégrale

par la formule : yi+1 = y

i + Δt f(t_i, y

i)

y1 y

3 …

Remarque :

En choisissant la formule de quadrature yi+1 = y

i + Δt f(t_i+1, y

i+1) on déduit le schéma d’Euler implicite.

II. a) Définition et analyse

(18)

18

2.1 Définition (méthode à 1-pas)

Soit un fonction continue. On définit une méthode à 1 pas par la relation suivante :

Φ : ℝ × ℝ

ⁿ

× ℝ → ℝ

ⁿ

yi+1 = y

i + Δt_i Φ(t_i, y

i, Δt_i)

Remarques :

La méthode d’Euler correspond à

Φ(

^t

,

^y

, Δ

^t

) =

^f

(

^t

,

^y

)

.

Le pas de discrétisation peut a priori varier d’une itération à l'autre

Δ

^t_i

Le choix de la fonction est déterminant dans la qualité de la méthode numérique.

Φ

II. a) Définition et analyse

(19)

19

2.1 Définition (méthode à 1-pas)

Soit un fonction continue. On définit une méthode à 1 pas par la relation suivante :

Φ : ℝ × ℝ

ⁿ

× ℝ → ℝ

ⁿ

yi+1 = y

i + Δt_i Φ(t_i, y

i, Δt_i)

2.2 Définition (consistance)

Une méthode à 1-pas est dite consistante ssi l’erreur ε_i = y(t_i+1) − y(t_i) − Δt_i Φ(t_i, y(t_i), Δt_i)

vérifie , où est la solution du pb de Cauchy.

Δt→0lim

N−1

∑

i=0

∥ε

_i

∥ = 0

^y

Remarque :

On rappelle que la solution approchée y .

i

≠

^y

(

^t_i

)

II. a) Définition et analyse

(20)

20

2.3 Définition (stabilité)

Soient une suite de perturbation et la suite définie par :

˜ ε

_i ^z_i

z_i+1 = z_i + Δt_i Φ(t_i, z_i, Δt_i) + ˜ε_i

La méthode à 1-pas est dite stable ssi

∃

^M

> 0

t.q.

max0≤i≤N ∥z_i − y

i∥ ≤ M

(∥z₀ − y

0∥ + ^N−1∑

i=0

∥˜ε_i∥ )

II. a) Définition et analyse

(21)

21

2.4 Définition (convergence)

Une méthode est dite convergente ssi limΔt→0 max

0≤i≤N ∥y(t_i) − y

i∥ = 0 Δt = max

0≤i≤N−1 Δt_i où

2.5 Théorème

Si la méthode à 1-pas est stable et consistante, alors elle est convergente.

Preuve : au (vrai) tableau !

Remarque :

Ce résultat est important car il nous donne la démarche à suivre. Pour montrer la convergence, on montrera que la méthode est consistante et stable.

II. a) Définition et analyse

(22)

22

2.4 Définition (convergence)

Une méthode est dite convergente ssi

2.5 Théorème

Si la méthode à 1-pas est stable et consistante, alors elle est convergente.

Remarque 2 :

Notons également que SANS connaître la solution exacte, on pourra justifier que la solution approchée est proche de la solution exacte grâce à la notion de convergence.

limΔt→0 max

0≤i≤N ∥y(t_i) − y

i∥ = 0 Δt = max

0≤i≤N−1 Δt_i où

II. a) Définition et analyse

(23)

2.7 Proposition

Si la fonction est Lipschitzienne par rapport à sa 2ème variable, alors la méthode est stable.

Φ : ℝ × ℝ

ⁿ

× ℝ → ℝ

23 Voyons maintenant des théorèmes pratiques pour prouver la consistance et la stabilité d’une méthode à 1-pas.

2.6 Proposition

Une méthode est consistante ssi

Φ(

^t

,

^y

(

^t

),

^h

) |

_h₌₀

=

^f

(

^t

,

^y

(

^t

))

II. a) Définition et analyse

(24)

24

2.8 Définition (ordre)

Une méthode à 1-pas est d’ordre p ssi il existe une constante K indépendante de

Δ

^t t.q. :

N−1

∑i=0

∥ε_i∥ ≤ KΔt^p ⇔ ^N−1∑

i=0

∥ε_i∥ = O(Δt^p)

Remarque :

Une méthode d’ordre 1 au moins est consistante.

2.9 Corollaire (direct du Thm. 2.5)

Si une méthode est stable et d’ordre p, alors max0≤i≤N ∥y(t_i) − y

i∥ = O(Δt^p)

II. a) Définition et analyse

(25)

25

2.10 Théorème (ordre)

Si est de classe par rapport à ses 2 variables, et de classe par rapport à sa dernière variable, alors la méthode est d’ordre p ssi :

f C^p

Φ

C^p

1 j+1

d^j

dt^j f(t, y(t)) = ∂^j

∂Δt^j Φ(t, y(t), Δt)|_Δt=0 ∀j ∈ {0,⋯, p − 1}

II. a) Définition et analyse

(26)

26

Retour sur la méthode d’Euler

yi+1 = y

i + Δt f(t_i, y

i) Schéma d’Euler :

La méthode est convergente et d’ordre 1 (détails au (vrai) tableau)

Illustration ordre convergence

1 1

Exemple :

Appliquons ce schéma au pb : y^′(t) = y(t), t ∈ [0,T]

y(0) = 1

pour lequel la sol. exacte est connu : y

(

^t

) =

^et.

II. a) Définition et analyse

(27)

27

Retour sur la méthode d’Euler

yi+1 = y

i + Δt f(t_i, y

i) Schéma d’Euler :

La méthode est convergente et d’ordre 1 (détails au (vrai) tableau)

Exemple :

Appliquons ce schéma au pb : y^′(t) = y(t), t ∈ [0,T]

y(0) = 1

pour lequel la sol. exacte est connu : y

(

^t

) =

^et.

Δ

^t

= {0.2,0.1,⋯,0.0125}

II. a) Définition et analyse

(28)

28

Peut-on proposer des schémas d’ordre plus élevé ?

Idée 1 : Exploiter le Thm. 2.10.

Par exemple, pour une méthode d’ordre 2 on aurait : yi+1 = y

i + Δt f(t_i, y

i) + Δt²

2 (∂_tf(t_i, y

i) + ∂_yf(t_i, y

i)f(t_i, y

i)) (détails au (vrai) tableau)

Euler

Δ

^t

= 0.2

^{Schéma o2}

Δ

^t

= 0.2

II. a) Définition et analyse

(29)

29

Peut-on proposer des schémas d’ordre plus élevé ?

i + Δt f(t_i, y

i) + Δt²

2 (∂_tf(t_i, y

i) + ∂_yf(t_i, y

i)f(t_i, y

i)) Cette approche pose plusieurs problèmes :

l’augmentation de l’ordre devient rapidement très compliqué et nécessite la connaissance et le calcul des dérivées partielles de f.

La stabilité de la méthode nécessite des hypothèses de plus en plus forte sur f pour être prouvée.

II. a) Définition et analyse

(30)

30

Peut-on proposer des schémas d’ordre plus élevé ?

i + Δt f(t_i, y

i) + Δt²

2 (∂_tf(t_i, y

i) + ∂_yf(t_i, y

i)f(t_i, y

i))

Idée 2 : Introduire des pas intermédiaire Méthodes de Runge-Kutta

II. a) Définition et analyse

(31)

31

II. b) Les méthodes de Runge Kutta

y(t_i+1) = y(t_i) + ∫

t_i+1

t_i f(s, y(s)) ds Revenons un instant à la formule

et considérons r points intermédiaires avec . L’idée est alors d’appliquer une formule de quadrature plus précises exploitant ces r points :

t_ij

=

^t_i

+ θ

_j

Δ

^t_i

θ

_j

∈ [0,1]

∫

t_i+1

t_i f(s, y(s)) ds ≃ Δt_i ∑^r

j=1

c_jf(t_ij, y(t_ij)) Intuitivement, cela conduit au schéma :

yi+1 = y

i + Δt_i ∑^r

j=1

c_jf(t_ij, y

ij) Comment évaluer y

ij

?

(32)

32

II. b) Les méthodes de Runge Kutta

Partant du schéma :

on appliquera la même idée que précédemment pour évaluer (l’approximation de y ) :

ij y

(

^t_ij

)

On utilise alors une formule « de quadrature » : yij = y

i + Δt_i ∑^r

k=1

a_jkf(t_ik, y

ik) yi+1 = y

i + Δt_i ∑^r

j=1

c_jf(t_ij, y

ij)

y(t_ij) = y(t_i) + ∫ t_ij

t_i f(s, y(s)) ds

Remarque :

La formule utilisée est a priori différente pour chaque j.

(33)

33

II. b) Les méthodes de Runge Kutta

2.11 Définition (méthode de Runge-Kutta)

Étant donné les coefficients , , une méthode de RK est définie par :

(

^c_j

)

_j=1,⋯,r

(

^a_jk

)

_j,k=1,⋯,r

(θ

_j

)

_j=1,⋯,r

yi+1 = y

i + Δt_i ∑^r

j=1

c_jf(t_ij, y

ij) yij = y

i + Δt_i ∑^r

k=1

a_jkf(t_ik, y

ik) et t_ij

=

^t_i

+ θ

_j

Δ

^t_i.

De manière plus condensée, on peut reformuler ainsi : yi1

y⋮ y ir

i+1

=

yi

y⋮ yi i

+ Δt_i

a₁₁ ⋯ a_1r

⋮ ⋮

a_r1 a_rr c₁ ⋯ c_r

f(t_i1, y

i1)

⋮ f(t_i1, y

ir)

(34)

34

II. b) Les méthodes de Runge Kutta

2.11 Définition (méthode de Runge-Kutta)

(

^c_j

)

_j=1,⋯,r

(

^a_jk

)

_j,k=1,⋯,r

(θ

_j

)

_j=1,⋯,r

yi+1 = y

i + Δt_i ∑^r

j=1

c_jf(t_ij, y

ij) yij = y

i + Δt_i ∑^r

k=1

a_jkf(t_ik, y

ik) et t_ij

=

^t_i

+ θ

_j

Δ

^t_i.

Remarque :

On résume généralement une méthode de RK à l’aide du tableau de Butcher :

θ

₁

θ ⋮

_r

a₁₁ a_1r

⋮ ⋮

a_rr a_r1

⋯

c₁

⋯

c_r

(35)

35

II. b) Les méthodes de Runge Kutta

2.11 Définition (méthode de Runge-Kutta)

(

^c_j

)

_j=1,⋯,r

(

^a_jk

)

_j,k=1,⋯,r

(θ

_j

)

_j=1,⋯,r

yi+1 = y

i + Δt_i ∑^r

j=1

c_jf(t_ij, y

ij) yij = y

i + Δt_i ∑^r

k=1

a_jkf(t_ik, y

ik) et t_ij

=

^t_i

+ θ

_j

Δ

^t_i.

Remarque 2 :

Il s’agit bien d’une méthode à 1-pas car on calcule à l’aide uniquement de .

yi+1

yi

(36)

36

II. b) Les méthodes de Runge Kutta

Quelques exemples :

Méthode de Euler :

0 0

y

1

i+1 = y

i + Δt_i f(t_i, y

i)

Méthode de Euler Implicite

1 1

y

1

i+1 = y

i + Δt_i f(t_i+1, y

i+1)

Remarque :

On a ici une équation non linéaire à résoudre à chaque pas de temps. A priori, rien ne nous garantit l’existence et l’unicité de la solution. On peut en fait le prouver pour un

Δ

^t_i suffisamment petit avec l’hypothèse de f Lip.

(37)

37

II. b) Les méthodes de Runge Kutta

Quelques exemples :

Méthode de Euler :

0 0

y

1

i+1 = y

i + Δt_i f(t_i, y

i)

Méthode de Euler Implicite

1 1

y

1

i+1 = y

i + Δt_i f(t_i+1, y

i+1)

Méthode de Heun

0 0

1 2

1 0

1 0 1 2

yi+1 = y

i + Δt_i

2 (f(t_i1, y

i1) + f(t_i2, y

i2)) yi1 = y

y i

i2 = y

i + Δt_i f(t_i1, y

i1)

(38)

38

II. b) Les méthodes de Runge Kutta

2.12 Théorème

Une méthode de RK est consistante ssi .

r

∑

j=1

c_j

= 1

2.13 Théorème

En notant A la matrice de coefficients , une méthode de RK est stable si pour tout i avec

où L est la constante de Lipschitz de f.

a_ij

Δ

^t_i

≤

^h^* ^h^*^L

ρ(

^A

) < 1

Idée de la preuve : au (vrai) tableau !

Remarque :

Pour une méthode de RK explicite, on a et donc la méthode est toujours stable.

ρ(

^A

) = 0

(39)

39

II. b) Les méthodes de Runge Kutta

2.12 Corollaire (du Thm. 2.10)

Une méthode de RK est d’ordre p ssi elle vérifie les conditions j

= 1,⋯,

^p du tableau ci-dessous :

où est la matrice diagonale formée des et le vecteur de composantes 1 de .

Θ θ

_i

1 ℝ

^r

j = 1 c ⋅ 1 = 1

j = 2 c^tΘ1 = c^tA1 1 2 j = 3

c^tAΘ1 = c^tA²1 = 1 et 6

c^tΘ²1 = c^tΘA1 = c^t (A1)² = 1 3

Idée de la preuve : au (vrai) tableau !

(40)

40

II. b) Les méthodes de Runge Kutta

Conditions pour une méthode d’ordre élevé :

j = 1 c ⋅ 1 = 1

j = 2 c^tΘ1 = 1 2 j = 3 c^tΘ²1 = 1

3 c^tAΘ1 = 1 et 6

Les conditions précédentes ont le défaut de devenir rapidement inextricables ! On a souvent recourt à des conditions simplificatrices.

Typiquement, en imposant A

1 = Θ1

, le tableau devient :

(41)

41

Plan :

III. Les méthodes multi-pas

IV. Quelques extensions

Objectif :

t₀

∈ [

^a

,

^b

]

y^′(t) = f(t, y(t)), t ∈ [a, b] y(t₀) = y

0

Au programme (Chapitre 3)

a) Définition et analyse

b) Les méthodes prédiction-correction

(42)

42

III. a) Définition et analyse

L’idée de départ pour construire une méthode multi-pas est la remarque suivante :

y(t_i+k) = y(t_i) + ∫

t_i+k

t_i f(s, y(s)) ds

On utilisera alors une formule de quadrature pour évaluer l’intégrale exploitant les points y

(

^t_i+j

)

:

∫

t_i+k

t_i f(s, y(s)) ds ≃ Δt∑^k

j=0

β_jf(t_i+j, y(t_i+j)) ce qui conduit au schéma suivant :

yi+k = y

i + Δt∑^k

j=0

β_jf(t_i+j, y

i+j)

Remarque :

Pour les méthodes multi-pas, on se limitera au cas

Δ

^t constant.

(43)

43

III. a) Définition et analyse

3.1 Définition (méthode multi-pas)

Étant donné et , avec , on définit la méthode multi-pas comme suit :

α

_j

β

_j

α

_k

≠ 0

k

∑j=0

α_jy

i+j = Δt∑^k

j=0

β_jf(t_i+j, y

i+j)

Remarques :

Pour initialiser la méthode, i.e. calculer , il faut utiliser une méthode à 1 pas.

y1

, ⋯,

^y

k−1

Le calcul de ne nécessite qu’une évaluation de ce qui permet un gain en cout de calculs.

yi+k+1 f

(44)

44

III. a) Définition et analyse

3.1 Définition (méthode multi-pas)

Étant donné et , avec , on définit la méthode multi-pas comme suit :

α

_j

β

_j

α

_k

≠ 0

k

∑j=0

α_jy

i+j = Δt∑^k

j=0

β_jf(t_i+j, y

i+j)

Pour l’analyse de ces méthodes, il sera utile d’introduire deux polynômes :

α(t) = ∑^k

j=0

α_jt^j β(t) = ∑^k

j=0

β_jt^j

(45)

45

III. a) Définition et analyse

3.2 Définition (consistance)

Une méthode multi-pas est dite consistante ssi l’erreur de consistance :

ε_i = 1 Δt

k

∑j=0

α_jy(t_i+j) − ∑^k

j=0

β_jf(t_i+j, y(t_i+j)) vérifie lim

Δt→0 max

i∈{0,⋯,N−k} ∥ε_i∥ = 0

3.3 Théorème (admis, cf démo. Thm. )

Une méthode multi-pas est consistante ssi et .

α(1) = 0

α′ (1) = β(1)

(46)

46

III. a) Définition et analyse

3.4 Définition (stabilité)

Soit une suite et définie par

˜ ε

_i ^z_i

alors la méthode est dite stable ssi il existe M

> 0

t.q.

max0≤i≤N ∥y

i − z_i∥ ≤ M ( max

0≤i≤k−1 ∥y

i − z_i∥ + max

0≤i≤N−k ∥˜ε_i∥)

k

∑j=0

α_jz_i+j = Δt ˜ε_i + ∑^k

j=0

β_jf(t_i+j, z_i+j)

3.5 Théorème (admis)

Une méthode multi-pas est stable ssi les racines de

sont de module inférieure à 1, et celle de module 1 de multiplicité simple.

α(

^t

)

(47)

47

III. a) Définition et analyse

3.6 Définition (convergence)

Une méthode multi-pas est dite convergente ssi limΔt→0 max

0≤i≤N ∥y(t_i) − y

i∥ = 0

3.7 Théorème

Si une méthode multi-pas est stable et consistante et vérifie

limΔt→0 max

0≤i≤k−1 ∥y(t_i) − y

i∥ = 0

alors elle est convergente.

(48)

48

III. a) Définition et analyse

3.8 Définition (ordre)

Une méthode multi-pas est d’ordre p ssi

0≤i≤N−kmax ∥ε_i∥ = O(Δt^p)

3.9 Corollaire

Si une méthode est convergente et d’ordre p alors max0≤i≤N ∥y(t_i) − y

i∥ = O(Δt^p)

Remarque :

Ce résultat n’est vrai que si on initialise la méthode multi-pas avec un méthode d’ordre p au moins !

(49)

49

III. a) Définition et analyse

3.10 Théorème

U n e m é t h o d e m u lt i - p a s e s t d ’ o r d r e p s s i où :

C_l

= 0, ∀ l ∈ {0,⋯, p}

C₀ = ∑^k

i=0

α_i C_l = ∑^k

j=0

α_j j^l

l! − β_j j^l−1 (l − 1)!

et

Remarque :

Ce résultat n’est vrai que si on initialise la méthode multi-pas avec un méthode d’ordre p au moins !

(50)

50

III. b) Méthode de prédiction correction

Méthode implicite

Dans le cas où

β

_k

≠ 0

, la méthode multi-pas est implicite :

ce qui conduit à résoudre une équation non linéaire.

Deux difficultés apparaissent alors :

Comment initialiser la méthode de Newton pour résoudre le problème non linéaire ?

Quel critère choisir pour stopper les itérations ?

α_ky

i+k+∑^k−1

j=0

α_jy

i+j = Δtβ_k f(t_i+k, y

i+k) + Δt∑^k−1

j=0

β_jf(t_i+j, y

i+j)

(51)

51

III. b) Méthode de prédiction correction

Méthode implicite

Dans le cas où

β

_k

≠ 0

, la méthode multi-pas est implicite : α_ky

i+k+∑^k−1

j=0

α_jy

i+j = Δtβ_k f(t_i+k, y

i+k) + Δt∑^k−1

j=0

β_jf(t_i+j, y

i+j)

ce qui conduit à résoudre une équation non linéaire.

Pour palier ces deux difficultés, l’idée est d’utiliser une méthode de prédiction- correction :

k

∑j=0

α_jy

i+j = Δtβ_k f(t_i+k, y^′

i+k) + Δt∑^k−1

j=0

β_jf(t_i+j, y

i+j) α′_k y^′

i+k+∑^k−1

j=0

α′_jy^′

i+j = Δt∑^k−1

j=0

β′_jf(t_i+j, y^′

i+j)

(Correcteur)

(Prédicteur)

(52)

52

III. b) Méthode de prédiction correction

Méthode prédiction-correction :

On considère la méthode de prédiction-correction :

k

∑j=0

α_jy

i+j = Δtβ_k f(t_i+k, y^′

i+k) + Δt∑^k−1

j=0

β_jf(t_i+j, y

i+j) α′_k y^′

i+k+∑^k−1

j=0

α′_jy^′

i+j = Δt∑^k−1

j=0

β′_jf(t_i+j, y^′

i+j)

(Correcteur)

(Prédicteur)

3.11 Théorème

Si la méthode du prédicteur est d’ordre où p est l’ordre du correcteur, alors la méthode de prédiction correction est d’ordre p.

q

≥

^p

− 1

(53)

53

Plan :

Objectif :

t₀

∈ [

^a

,

^b

]

y^′(t) = f(t, y(t)), t ∈ [a, b] y(t₀) = y

0

Au programme (Chapitre 3)

a) Adaptation du pas b) Méthode pararéel

(54)

54

IV. a) Adaptation du pas

Revenons sur les méthodes à 1-pas : yi+1 = y

i + Δt_i Φ(t_i, y

i, Δt_i)

Si on connaissait l’erreur de consistance , on pourrait adapter le pas à chaque itération.

ε

_i

Δ

^t_i

Idée :

Utiliser une seconde méthode pour approcher l’erreur de consistance :

y^′

i+1 = y^′

i + Δt_i Φ^′(t_i, y^′

i, Δt_i)

On supposera que la première méthode est d’ordre p

et la deuxième d’ordre p’ > p.

(55)

55

IV. a) Adaptation du pas

On rappelle que l’on a :

ε_i = y(t_i+1) − y(t_i) − Δt_i Φ(t_i, y(t_i), Δt_i) et ε^′_i = y(t_i+1) − y(t_i) − Δt_i Φ^′(t_i, y(t_i), Δt_i)

4.1 Proposition (cf TD)

L’erreur de consistance vérifie :

ε

_i

ε_i = y

i + Δt_i Φ^′(t_i, y

i, Δt_i) − y

i+1 + O(Δt^p+2_i )

Idée : Choisir le « plus grand » pas t.q. l’estimation de soit inférieur à une tolérance fixée !

Δ ^t

_i

∥ε

_i

∥

(56)

56

IV. a) Adaptation du pas

Tant que

∥

^e_i

∥ >

^tol et

∥

^ep_i

∥ <

^tol :

Algorithme d’adaptation du pas à chaque pas de tps :

<latexit sha1_base64="HbIeaJVGhQ5CdUtcI/AIhWEwTUw=">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</latexit>

y_i+1 y_i + t_i (t_i, y_i, t_i)

<latexit sha1_base64="tsRO/SqMPTCysDkLDgAFUI2Nn7o=">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</latexit>

ye_i+1 y_i + t_i ⁰(t_i, y_i, t_i)

<latexit sha1_base64="qPrSOZoRmgJPS4RUPi88tVspOq8=">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</latexit>

e_i y_i+1 ye_i+1

<latexit sha1_base64="iZEnuRptcTrQmg9ECGFfbb3XfV0=">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</latexit>

ep_i e_i

Si

∥

^e_i

∥ <

^tol alors

<latexit sha1_base64="V3eQwLXvOB8fxar9TTqfLdyXvB4=">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</latexit>

t_i t_i ⇥ 0.8

Si

∥

^e_i

∥ >

^tol alors

<latexit sha1_base64="lKOCwIN6gvjAHkUomkVpOF+t9SM=">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</latexit>

t_i t_i ⇥ 1.2

A priori couteux !

(57)

57

IV. a) Adaptation du pas

4.1 Définition (Runge-Kutta emboitée)

Un couple de méthode de RK respectivement d’ordre p et et impliquant r et pas intermédiaire est

dite emboitée ssi les tableaux de Butcher vérifient : p^′

>

^p ^r^′

=

^r

+ 1

θ

₁

θ ⋮

_r

a₁₁ a_1r

⋮ ⋮

a_rr a_r1

⋯

c₁

⋯

c_r

1 0 0 ⋮

0

c^′₁

⋯

^c^′r ^c^′^r+1

yi+1 = y

i + Δt_i ∑^r

j=1

c_jf(t_ij, y

ij) yij = y

i + Δt_i ∑^r

k=1

a_jkf(t_jk, y

jk)

˜

yi+1 = y

i + Δt_i ∑^r+1

j=1

c^′_jf(t_ij, y

ij)

(58)

58

IV. a) Adaptation du pas

Illustration méthode de Runge-Kutta emboitée

Méthode de RK 24

(Tps 0.1s)

∼

Méthode de RK 4 (Tps 1s)

∼

Simulation du mouvement de trois planètes.

(59)

59

IV. b) Méthode pararéel

Considérons une série d’instant et notons l’approximation de la solution à ces instants.

T₀

=

^t₀

< ⋯ <

^T_N

<

^T

yn

T₀ T₁ ⋯ T_n

Idée / Objectif : Calculer en parallèle la solution dans chaque intervalle [ ^t

_n

, ^t

_n+1

] .

Remarque :

^{On aura t}_n+1

−

^t_n

> Δ

^t

Problème : Connaître l’approximation . y

n

(60)

60

IV. b) Méthode pararéel

T₀

=

^t₀

< ⋯ <

^T_N

<

^T

yn

Introduisons également deux méthodes de résolution : Une précise et couteuse . On notera

l’approximation obtenue avec en partant de

ℱ ℱ(

^y

n

,

^t_n

,

^t_n+1

)

t_n+1

(

^t_n

,

^y

n

)

Une grossière et peu couteuse . On notera

l’approximation obtenue avec en partant de

𝒢 𝒢(

^y

n

,

^t_n

,

^t_n+1

)

t_n+1

(

^t_n

,

^y

n

)

T₀ T₁ ⋯ T_n

(61)

61

IV. b) Méthode pararéel

T₀

=

^t₀

< ⋯ <

^T_N

<

^T

yn

T₀ T₁ ⋯ T_n

Idée : Calculer itérativement les approximations : y

n

y^k+1

n+1 = ℱ(y^k

n, t_n, t_n+1) + 𝒢(y^k+1

n , t_n, t_n+1) − 𝒢(y^k

n, t_n, t_n+1)

Séquentiel Parallèle !

yn+1 = ℱ(y

n, t_n, t_n+1) + 𝒢(y

n, t_n, t_n+1) − 𝒢(y

n, t_n, t_n+1)

Parallèle !

(62)

62

IV. b) Méthode pararéel

T₀

=

^t₀

< ⋯ <

^T_N

<

^T

yn

T₀ T₁ ⋯ T_n

Idée : Calculer itérativement les approximations : y

n

y^k+1

n+1 = ℱ(y^k

n, t_n, t_n+1) + 𝒢(y^k+1

n , t_n, t_n+1) − 𝒢(y^k

n, t_n, t_n+1)

Remarque :

Une méthode pararéel sera efficace seulement si on converge rapidement en k.

(63)

63

IV. b) Méthode pararéel

Illustration méthode pararéel :

Résolution du système de Lotka-Volterra x^′(t) = αx(t) − βx(t)y(t)

y^′(t) = δx(t)y(t) − γy(t)

Δt = 0.1

Paramètres :

Euler / RK4

8 sous domaines