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Prouvez que, si f est d´erivable en a, alors f est continue en a

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Question 1. Soit f :R→Ret aint Dom f . Prouvez que, si f est d´erivable en a, alors f est continue en a. ´Enoncez clairement les d´efinitions que vous utilisez.

La r´eponse `a cette question se trouve textuellement dans le syllabus.

Question 2. Cochez la case ad´equate selon que vous pensez que les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifiez chacune de vos r´eponses par un bref argument ou un contre-exemple.

(a)Vrai : Faux :Si une suite ne converge pas vers+∞, elle est born´ee.

Par exemple, la suite(xn) = (−n)n∈Nne converge pas vers+∞et n’est pas born´ee (ces deux faits d´ecoulent de xn→ −∞).

(b)Vrai :Faux : Soit A⊆R. Si a∈R∪ {+∞} est le supr´emum de A, alors il existe (an)n∈NA telle que ana.

Ceci a ´et´e montr´e au cours. Si a∈R, ceci d´ecoule d’une d´efinition

´equivalente du supr´emum. Si a= +∞, alors A est non born´e sup´e- rieurement et on peut trouver(an)n∈NA qui converge vers+∞.

(c)Vrai : Faux :Soit(xn)n∈N⊆Rtelle que xn0. Alors 1/xn→+∞.

En effet, xn:=−1/n→0 mais 1/xn=−n→ −∞.

(d)Vrai : Faux :Soit A⊆Run ensemble born´e. Toute suite(xn)n∈NA converge vers un x∈R.

Un exemple est A= [−1,1], (xn) = (−1)n

n∈N. En effet, (xn)⊆A puisque, pour tout n,|xn|61 mais(xn)ne converge pas.

(e)Vrai : Faux :Une suite qui n’est pas croissante est d´ecroissante.

La suite (xn)n∈Nd´efinie par∀n∈N, xn= (−1)n n’est pas croissante (puisque x0=1>x1=−1) mais elle n’est pas pour autant d´ecrois- sante (car x1=−1<x2=1).

Question 3.

Enoncez le th´eor`eme de la moyenne et donnez en une interpr´etation g´eom´etrique (en expliquant´ le lien entre l’´enonc´e et le graphique).

Cette partie a ´et´e faite au cours th´eorique et se trouve dans le syllabus.

En utilisant ce th´eor`eme, d´emontrez que, si f ∈C1(R;R)v´erifie∀x∈R, ∂f(x) =0, alors f est une fonction constante surR.

Ceci est fait dans le syllabus (sous des hypoth`eses l´eg`erement plus faibles) et avait ´et´e laiss´e en exercice (le cas«∀x∈R, ∂f(x)>0 implique f croissante»ayant ´et´e fait au cours).

(2)

Question 4. Soit a∈R. Consid´eronsΩ= ]−∞,a[. Dites siest ferm´e et/ou ouvert. Donnez une d´efinition de chacun de ces deux concepts et employez celles-ci pour d´emontrer vos affirmations.

n’est pas ferm´e. En effet, une des d´efinitions de fermeture dit que, Ω⊆R est ferm´e si et seulement si

∀x∈R, ∀(xn)⊆Ω, xnxx∈Ω. (1) Or, la suite(xn)n>1d´efinie par a−1/n est bien dansΩ(puisque, quel que soit n>1, on a xn<a) et v´erifie xna. Par cons´equent, (1) n’est pas v´erifi´ee car, en prenant x=a et cette suite, on obtient que la pr´emisse de l’implication est vraie alors que sa conclusion, x∈Ωne l’est pas (vu que a∈/Ω).

est ouvert. Nous allons montrer que la d´efinition suivante de«Ωest ouvert»est vraie :

∀x∈Ω, ∃ρ>0, B(x,ρ)⊆Ω. (2) Il est bon de se rappeler que, dans R, B(x,ρ) = ]x−ρ,x+ρ[. Soit x∈Ω. On prend ρ :=ax.

On a bien que ρ >0 car x ∈Ω veut dire x<a. Reste `a prouver que ]x−ρ,x+ρ[ ⊆Ω. Soit y∈]x−ρ,x+ρ[. On a y<x+ρ=x+aa=a ce qui ´etablit que y∈Ω.

Question 5.

Soit f :R→Ret aDom f . D´efinissez« f est continue en a», (a) en termes de suites :

∀(xn)⊆Dom f, xnaf(xn)→ f(a) (b) enε-δ :

∀ε>0, ∃δ >0, ∀x∈Dom f, |x−a|6δ ⇒ |f(x)−f(a)|6ε Montrez, grˆace `a la d´efinition (b) que f :R→R: x7→x2+x est continue en 1.

Il faut ´etablir que

∀ε>0, ∃δ >0, ∀x∈R, |x−1|6δ ⇒ |x2+x−2|6ε Soitε >0. Prenonsδ :=minp

ε/2,ε/6}. On a bien queδ >0 vu que c’est le minimum de deux quantit´es>0. Soit x∈Rtel que|x−1|6δ. On a

|x2+x−2|=|(x−1)(x+2)|=|x−1| |x+2|

=|x−1||x−1+3|6|x−1|2+3|x−1|6δ2+3δ 6ε o`u la derni`ere in´egalit´e d´ecoule du fait que δ 6 p

ε/2 et donc δ2 6ε/2 et δ 6ε/6 d’o`u

3δ 6ε/2.

(3)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

FIG. 1 – Graphe de g

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

FIG. 2 – Graphe de h Soient les fonctions g :R→Ret h :]−1,0[∪]0,1[→Rd´efinies par

g(x) =





1 si x<0 0 si x=0

−1 si x>0

h(x) =

(1 si x<0

−1 si x>0 Repr´esentez graphiquement g et h sur les figures 1 et 2.

Pour chacune de ces deux fonctions, pr´ecisez en quel(s) point(s) elle est continue et en quel(s) point(s) elle ne l’est pas. Justifiez `a partir de la d´efinition (a) donn´ee ci-dessus.

g n’est pas continue en 0. En effet, xn:=1/n→0 et pourtant g(xn) =16→g(0) =0.

g est continue en tout point a6=0. En effet, si a>0 et que (xn) converge vers a, il existe un n0 tel que xn>0 pour n>n0 (car, pour le dire bri`evement, ]0+∞[ est ouvert). D`es lors, g(xn) =−1 pour n>n0et on a g(xn)→ −1=g(a)(seule la queue de la suite importe pour la limite).

Si a<0, on a par un raisonnement similaire que g(xn)→1=g(a) pour toute suite(xn) qui converge vers a.

h est continue en tout point de son domaine. Si a ∈]0,1[ et que xna, alors il existe un n0 tel que xn ∈]0,1[ pour n>n0 (car ]0,1[ est ouvert). D`es lors h(xn) =−1 pour n>n0 et h(xn)→h(a) =−1.

Le cas a∈]−1,0[est similaire.

REMARQUE: Il n’y a pas lieu de s’int´eresser `a 0 car 0∈/Dom f .

(4)

Question 6. Quels sont (s’il y en a) tous les sous-ensembles deRqui sont `a la fois ouverts et ferm´es. Prouvez votre affirmation.

Les deux seuls sous-ensembles deRqui sont `a la fois ouverts et ferm´es sont∅etR. Le fait que∅ etR(qui sont le compl´ementaire l’un de l’autre) soient tous deux ouverts et ferm´es a ´et´e montr´e en exercices. Il reste `a voir qu’il n’y en a pas d’autres.

Supposons donc queΩsoit ouvert et ferm´e et diff´erent de∅etR. PuisqueΩ6=∅, on peut prendre un a∈Ω. CommeΩ6=R, il existe au moins un b∈R\Ω={Ω. Sans perte de g´en´eralit´e, on peut supposer a6b (si a>b, on ´echangeΩet{Ωqui sont tous deux ouverts et ferm´es). D´efinissons

c=sup Ω∩[a,b]

PuisqueΩ∩[a,b]n’est pas vide (il contient a) et est born´e sup´erieurement par b, on a c∈R. En fait, vu que le sup´emum appartient `a la fermeture de l’ensemble et queΩ∩[a,b]est ferm´e (comme intersection de deux ferm´es), on a

c∈Ω∩[a,b].

Il n’est pas possible que c=b car b∈{Ω. Donc1c∈Ω∩]−∞,b[. Vu que ce dernier ensemble est ouvert (comme intersection de deux ouverts), il existe unε>0 tel que]c−ε,c+ε[⊆Ω∩]−∞,b[.

Mais alors c+12ε∈Ω∩[a,b]ce qui contredit le fait que c est un majorant de cet ensemble.

Question 7. Soit(Oα)α∈Aune famille de sous-ensembles deRN etΩ⊆RN. D´efinissez«(Oα)α∈Aest un recouvrement deΩ».

[

α∈A

Oα ⊇Ω

Compl´etez la proposition suivante de mani`ere `a ce qu’elle soit vraie.

∀x∈RN, x[

α∈A

Oα ⇔ ∃α ∈A , xOα.

Montrez que la famille

i 1 n+2,1

n h

n∈N\{0}

est un recouvrement de]0,1[. (Une interpr´etation graphique est appr´eci´ee mais ne suffit pas.)

Soit x∈]0,1[. Il faut montrer que x∈Sn∈N\{0} 1

n+2,1n

, c’est-`a-dire, au vu du second point, que

∃n∈N\ {0}, x∈i 1 n+2,1

n h

Prenons n :=d1xe −1. Puisque x>0, 1/x>0 et a un sens. De plus, comme x<1, 1/x>1 d’o`u d1xe>2. Par cons´equent n∈N>1. Il reste `a ´etablir que

1

n+2<x< 1

n c’est-`a-dire que n<1

x <n+2

(5)

C’est bien le cas car, par d´efinition de la partie enti`ere sup´erieure, on a dξe −1<ξ 6dξe.

Appliqu´ees `ad1xe=n+1, ces in´egalit´es deviennent n< 1

x 6n+1 d’o`u il vient que n<1/x<n+2.

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