Mathématiques : Dossier de révisions Juin
C. Dejardin
Mathématiques : Dossier de révisions Juin
Solutions
I) 4UAA6 Géométrie analytique plane 1) Chapitre 1 – Les vecteurs
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
𝑀𝑆⃗ =𝑷𝑅⃗
𝐵𝑅⃗ + 𝑆𝑀⃗ = 𝐵𝑷⃗
Mathématiques : Dossier de révisions Juin Solutions
Mathématiques : Dossier de révisions Juin
4UAA6 Géométrie analytique plane
Les vecteurs
𝐴𝑋⃗ = 𝐷𝐶⃗ 𝑋 = 𝐵 𝑋𝐶⃗ = 2𝐺𝐵⃗ 𝑋 = 𝐹 𝑋𝐸⃗ = 𝐶𝐷⃗ + 𝐺𝐹⃗ 𝑋 = 𝐵 𝐹𝑋⃗ = 𝐹𝐺⃗ + 𝐵𝐶⃗ 𝑋 = 𝐴 𝐴𝑋⃗ = 𝐴𝐵⃗ + 𝐷𝐸⃗ + 𝐺𝐹⃗ 𝑋 = 𝐹
𝐸𝑋⃗ =1
2𝐸𝐵⃗ 𝑋 = 𝐴
𝑅𝑀⃗ + 𝑅𝐵⃗ = 𝑅𝑺⃗ 𝑁𝑆⃗ + 𝐵𝑆⃗ = 𝑁𝑅⃗ + 𝑃𝑀⃗ + 𝑆𝐵⃗ = 𝑀𝑷⃗ 𝐵𝑆⃗ + 𝑀𝑃⃗ =
4ème année
1
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𝐵𝑴⃗
= 𝑁𝑺⃗
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C. Dejardin
Exercice 4
a) 𝑢⃗ = 𝐵𝐴⃗
b) 𝑣⃗ = 2𝐴𝐶⃗
c) 𝑤⃗ = 𝐶𝐵⃗
d) 𝑟⃗ = 𝐴𝐷⃗ + 𝐵𝐶⃗
e) 𝑠⃗ = 𝐴𝐵⃗
Exercice 5
a) 𝑎⃗ = (−3,7) 𝑏⃗ = (0, −3) 𝑐⃗ = (−2, −3) 𝑑⃗ = (5, −4)
𝑒⃗ = (2,1) c) 𝑎⃗ + 𝑏⃗ + 𝑐⃗ + 𝑑⃗
Exercice 6
Construis un vecteur 𝑡⃗ tel que
Mathématiques : Dossier de révisions Juin Solutions
) )
)
⃗ + 𝑒⃗ = (2, −2)
tel que 𝑢⃗ + 𝑣⃗ + 𝑡⃗ = 0⃗.
4ème année
2
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C. Dejardin
Exercice 7
Exercice 8
a) 𝑃 = (10,8)
b)
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Solutions 4ème année
3
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C. Dejardin
Exercice 9
a)
b) Il faut déterminer 𝑘 tel que 𝐴𝐵⃗ = (4, −2)et𝐴𝐶⃗ = ( c) Il faut déterminer 𝑘 tel que
𝐴𝐵⃗ = (4, −2)et𝐴𝐷⃗ = d) 𝐴𝐵⃗ = √20 = 2√5 e) |𝐴𝐶| = √80 = 4√5
Exercice 10
a) 𝑀 = − , 6 b)
Exercice 11
a) 𝐺 = (2,4
Exercice 12
a) C ≡ (𝑥 − 9) + (𝑦 + b) C ≡ (𝑥 − 2) + (𝑦 −
Mathématiques : Dossier de révisions Juin Solutions
tel que 𝐴𝐵⃗ = 𝑘𝐴𝐶⃗
(−8,4) donc 𝑘 = −2 et les points sont bien alignés.
tel que 𝐴𝐵⃗ = 𝑘𝐴𝐷⃗
(100, −50) donc 𝑘 = 25 et les points sont bien alignés.
𝑀 = (4,0) c) 𝑀 = , −
4) b) 𝐺 = (2,1) c) 𝐺 = (4,1
( + 1) = 4 ( − 1) = 193
4ème année
4
et les points sont bien alignés.
et les points sont bien alignés.
d) 𝑀 = 0,
1)
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Solutions 4ème année
C. Dejardin 5
Exercice 13
Coordonnées du cercle Rayon
a) (−1,3) 12
b) (2, −6) 1
c) (0,1) 2
2) Chapitre 2 – Les droites Exercice 1
Équations paramétriques Équation cartésienne 𝑑 ≡ 𝑥 = −14 + 22𝑘
𝑦 = 2 + 10𝑘 𝑑 ≡ −5𝑥 + 11𝑦 − 92 = 0 𝑑 ≡ 𝑥 = −10 + 16𝑘
𝑦 = 12 − 10𝑘 𝑑 ≡ 5𝑥 + 8𝑦 − 46 = 0 𝑑 ≡ 𝑥 = −8 + 4𝑘
𝑦 = −4 + 16𝑘 𝑑 ≡ −4𝑥 + 𝑦 − 28 = 0
Exercice 2
Équations paramétriques Équation cartésienne
a) 𝑥 = 4 + 6𝑘
𝑦 = 12𝑘 −2𝑥 + 𝑦 + 8 = 0 b) 𝑥 = −6 + 20𝑘
𝑦 = 4 − 6𝑘 3𝑥 + 10𝑦 − 22 = 0 c) 𝑥 = −2 + 8𝑘
𝑦 = −6 − 14𝑘 −7𝑥 + 4𝑦 + 10 = 0
Exercice 3
Équations paramétriques Équation cartésienne a) 𝑥 = −2 − 6𝑘
𝑦 = −12 + 20𝑘 −10𝑥 − 3𝑦 − 56 = 0 b) 𝑥 = −10 + 20𝑘
𝑦 = −4 + 4𝑘 −2𝑥 + 3𝑦 − 8 = 0 c) 𝑥 = −4 + 14𝑘
𝑦 = 8 − 18𝑘 9𝑥 + 7𝑦 − 20 = 0
Exercice 4
𝐶 = 4, 9 2
Exercice 5
a) 𝛼 = 32,01°
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Solutions 4ème année
C. Dejardin 6
b) 𝛼 = 336,04°
c) 𝛼 = 7,13°
d) 𝛼 = 21,8°
Exercice 6
a) 𝑑 ≡ 5𝑥 + 16𝑦 − 110 = 0 b) 𝑑 ≡ −3𝑥 − 5𝑦 − 16 = 0 c) 𝑑 ≡ 4𝑥 − 7𝑦 + 24 = 0 d) 𝑑 ≡ 𝑥 − 2𝑦 + 14 = 0 e) 𝑑 ≡ −𝑥 − 𝑦 + 16 = 0
Exercice 7
a) 𝑑 ≡ 9𝑥 + 8𝑦 − 12 = 0 b) 𝑑 ≡ 9𝑥 − 4𝑦 + 14 = 0 c) 𝑑 ≡ 6𝑥 − 7𝑦 − 8 = 0 d) 𝑑 ≡ 4𝑥 − 3𝑦 + 18 = 0 e) 𝑑 ≡ 7𝑥 − 𝑦 + 58 = 0
Exercice 8
a) 𝑑(𝐴; 𝑑) = 12 b) 𝑑(𝐴; 𝑑) = 8 c) 𝑑(𝐴; 𝑑) =
Exercice 9
a) 𝑑 ≡ 𝑥 = 1 − 4𝑘 𝑦 = 10 + 22𝑘 b) 𝑑 ≡ 𝑥 = −3 + 6𝑘
𝑦 = 1 + 22𝑘 c) 𝑑 ≡ 𝑥 = 4 + 4𝑘 𝑦 = −2 + 20𝑘 d) 𝑑 ≡ 𝑥 = 3 + 10𝑘
𝑦 = 3 + 2𝑘 e) 𝑑 ≡ 𝑥 = 7 − 8𝑘
𝑦 = 2 − 6𝑘
Exercice 10
Aire = 8
Exercice 11
𝑑 ≡ −12𝑥 + 5𝑦 − 61 = 0
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Solutions 4ème année
C. Dejardin 7
𝑑 ≡ −12𝑥 + 5𝑦 − 22 = 0 Aire = 9
Exercice 12
a b c d e f
𝑑 𝑐 𝑐 𝑑 𝑐 𝑐
II) 4UAA5 Deuxième degré
1) Chapitre 1 – Équations du 2
nddegré avec conditions d’existence Exercice 1
Conditions d’existence Solution(s)
a) CE : 𝑥 ≠ 1 𝑆 = {1}
b) CE : 𝑥 ≠ 3 𝑆 = {1}
c) CE : 𝑥 ≠ 2 et 𝑥 ≠ −2 𝑆 = {−8}
d) CE : 𝑥 ≠ 5 𝑆 = {−2; 2}
e) CE : 𝑥 ≠ 2 et 𝑥 ≠ −2 𝑆 = {−12; 12}
f) CE : 𝑥 ≠ −3 𝑆 = {5}
g) CE : 𝑥 ≠ −3 et 𝑥 ≠ 8
𝑆 = −21 − √533
2 ;−21 + √533 2
h) CE : 𝑥 ≠ 1 et 𝑥 ≠ −1 𝑆 = {0}
i) CE : 𝑥 ≠ et 𝑥 ≠
𝑆 = −13 − √199
5 ;−13 + √199 5 j) CE : 𝑥 ≠ et 𝑥 ≠
= −3 − 2√3
2 ;−3 + 2√3 2
2) Chapitre 2 – Fonctions du 2
nddegré Exercice 1
a) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2) + 4
b) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)
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C. Dejardin
c) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 4) − 1 = d) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)(𝑥 + 4
Exercice 2
Exercice 3
Fonctions Forme canonique
𝑓 (𝑥 − 2) +
𝑓 (𝒙 + 𝟑)𝟐−
𝑓 𝟐 𝒙 +𝟓
𝟐
𝟐
−
𝑓 (𝑥 − 1) −
𝑓 𝒙 +𝟑
𝟐
𝟐
−𝟏𝟐𝟏
𝑓 𝒙 +𝟏
𝟖
𝟐
−
Exercice 4
Fonction Intersection
avec 𝑶𝒚 𝑓 (𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1) (0,1)
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= (𝑥 + 5)(𝑥 + 3) 4)
Forme canonique Forme développée Forme factorisée ) + 1 𝒙² − 𝟒𝒙 + 𝟓
) − 𝟒 𝑥² + 6𝑥 + 5 (𝒙 +
−𝟏
𝟐 𝟐𝒙² + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟐 2(𝑥 +
) − 3 𝒙² − 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒙 − 𝟏 − √ 𝟏𝟐𝟏
𝟒 𝑥² + 3𝑥 − 28 (𝒙 −
𝟐𝟓
𝟔𝟒 𝒙² +𝒙
𝟒−𝟑
𝟖 𝑥 −
Intersection Équation de l’AS Coordonnées du sommet
Maximum ou minimum 𝐴𝑆 ≡ 𝑥 = −1 𝑆 = (−1,0) minimum
4ème année
8
Forme factorisée
∄ + 𝟓)(𝒙 + 𝟏)
+ 2)(𝑥 + 3)
√𝟑 𝒙 − 𝟏 + √𝟑
− 𝟒)(𝒙 + 𝟕) 1
2 𝑥 +3 4
Maximum ou minimum ?
Intersections avec 𝑶𝒙
minimum (−1,0)
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C. Dejardin
𝑓 (𝑥) = (𝑥 − √3)(𝑥 + √3) (0, −3) 𝑓 (𝑥) = (2 − 𝑥)(𝑥 − 1) (0, −2)
𝑓 (𝑥) = 𝑥 +3
2 (𝑥 − 1) 0, −3 2 𝑓 (𝑥) = (𝑥 − 4)² (0,16) 𝑓 (𝑥) = −𝑥 + 4 (0,4)
𝑓 (𝑥) = 𝑥 −1
2 0,1
4 𝑓 (𝑥) = − 1
2− 𝑥 0, −1
4
Mathématiques : Dossier de révisions Juin Solutions
𝐴𝑆 ≡ 𝑥 = 0 𝑆 = (0, −3) minimum 𝐴𝑆 ≡ 𝑥 =3
2 𝑆 = 3
2,1 4
maximum 𝐴𝑆 ≡ 𝑥 = −1
4 𝑆
= −1 4 ,−25
16
minimum
) 𝐴𝑆 ≡ 𝑥 = 4 (4,0) minimum
𝐴𝑆 ≡ 𝑥 = 0 (0,4) maximum 𝐴𝑆 ≡ 𝑥 =1
2
1
2, 0 minimum
𝐴𝑆 ≡ 𝑥 =1 2
1
2, 0 maximum
4ème année
9
minimum (±√3, 0)
maximum (1,0) et (2,0)
minimum , 0 et (1,0)
minimum (4,0)
maximum (±2,0)
minimum 1
2, 0
maximum 1
2, 0
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Solutions 4ème année
C. Dejardin 10
Exercice 5
𝑓(𝑥) = 2𝑥² + 4𝑥 − 6
𝑔(𝑥) = −𝑥 − 4𝑥 − 4
ℎ(𝑥) = −𝑥 − 𝑥
𝑝(𝑥) = 𝑥² + 3𝑥 + 3
Exercice 6
a) 𝑓(𝑥) = 3(𝑥 − 1) + 3 b) 𝑔(𝑥) = −2(𝑥 − 4)(𝑥 + 2) c) ℎ(𝑥) = 8(𝑥 − 1) − 3
3) Chapitre 3 – Les inéquations Exercice 1
a)
a) 𝑥 = {1; 3}
b) 𝑥 ∈] − ∞; 1[∪]3; +∞[
c) 𝑥 ∈] − ∞; 0[∪]4; +∞[
d) 𝑆 = (2,1) b)
a) 𝑥 = {−7; 3}
b) 𝑥 ∈] − 7; 3[
c) 𝑥 ∈] − 5,87; 1,87[
d) 𝑆 = (−2, −25)
Exercice 2
a)
𝑥 −11 −7
𝑓(𝑥) + 0 − 0 +
b)
𝑥 4 7
𝑓(𝑥) + 0 − 0 +
c)
𝑥 −7 2
𝑓(𝑥) + 0 − 0 +
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Solutions 4ème année
C. Dejardin 11
d)
𝑥 −7 2
𝑓(𝑥) − 0 + 0 −
e)
𝑥 −6 −4
𝑓(𝑥) − 0 + 0 −
f)
𝑥 −3
𝑓(𝑥) + 20 +
g)
𝑥 −1 10
𝑓(𝑥) + 0 − 30 +
h)
𝑥 2
𝑓(𝑥) − 0 −
Exercice 3
a) 𝑆 = ℝ d) 𝑆 = ℝ g) 𝑆 = ℝ
b) 𝑆 = −∞; −3 − √5 ∪ −3 + √5; +∞ e) 𝑆 = [−4; 3] h) 𝑆 =] − 3; 2[
c) 𝑆 = −3 − √5; −3 + √5 f) 𝑆 = {∅}
Exercice 4
a) 𝑆 = ; 2 d) 𝑆 = ]−∞; −8[ ∪ ]−2; 2[ g) 𝑆 = −∞;
b) 𝑆 = ]−8; 1[ e) 𝑆 = ]−∞; −5[ ∪ ]−3; +∞[ h) 𝑆 = √ ; ∪ ; √
c) 𝑆 = ]−2; 0[ f) 𝑆 = i) 𝑆 = ]−∞; −5[ ∪ ]−5; −2[ ∪ ]2; +∞[
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C. Dejardin
I) 4UAA4 Fonctions de référence Exercice 1
b)
𝑥 𝑓 (𝑥) = 𝑥³ 𝑓
1 1
0 0
−1 −1
c) Il s’agit d’un étirement vertical d’un facteur e)
𝑥 𝑓 (𝑥) = 𝑥³
1 1
0 0
−1 −1
f) Il s’agit d’une compression horizontale d’un facteur
Exercice 2
a)
𝑓 (𝑥) = |𝑥| 𝑓 (
b)
a) Translation horizontale de b) Étirement vertical d’un facteur c) Translation verticale de
Mathématiques : Dossier de révisions Juin Solutions 4UAA4 Fonctions de référence
𝑓 (𝑥) = 2𝑥³ 2 0
−2
Il s’agit d’un étirement vertical d’un facteur 2.
𝑓 (𝑥) = (2𝑥)³ 8 0
−8
Il s’agit d’une compression horizontale d’un facteur 2.
(𝑥) = |𝑥 − 1| 𝑓 (𝑥) = 2|𝑥 − 1| 𝑓
Translation horizontale de 1 unité vers la droite.
Étirement vertical d’un facteur 2.
Translation verticale de 5 unitésvers le bas.
4ème année
12
(𝑥) = 2|𝑥 − 1| − 5
Mathématiques : Dossier de révisions Juin
C. Dejardin
Exercice 3
a)
𝑓 (𝑥) = √𝑥 𝑓
b)
a. Symétrie orthogonale d’axe b. Étirement vertical d’un facteur c. Translation verticale de
Exercice 4
Mathématiques : Dossier de révisions Juin Solutions
(𝑥) = √−𝑥 𝑓 (𝑥) = 3√−𝑥 𝑓
Symétrie orthogonale d’axe 𝑂𝑦.
Étirement vertical d’un facteur 3.
Translation verticale de 6 unitésvers le bas.
4ème année
13
𝑓 (𝑥) = 3√−𝑥 − 6
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Solutions 4ème année
C. Dejardin 14
Exercice 5
a) 𝑑𝑜𝑚𝑓 (𝑥) = ℝ\{−3; −2} e) 𝑑𝑜𝑚𝑓 (𝑥) = ; +∞ i)𝑑𝑜𝑚𝑓 (𝑥) =] − ∞; −√2[∪
]0; √2[
b) 𝑑𝑜𝑚𝑓 (𝑥) =] − ∞; −5] ∪ [2; +∞[ f)𝑑𝑜𝑚𝑓 (𝑥) = ℝ\{2; 3} j)𝑑𝑜𝑚𝑓 (𝑥) = ; 2
c) 𝑑𝑜𝑚𝑓 (𝑥) = ℝ\{0} g)𝑑𝑜𝑚𝑓 (𝑥) =] − ∞; −3] ∪ [6; +∞[ k)𝑑𝑜𝑚𝑓 (𝑥) = ; 1 ∪ [2; +∞[
d)𝑑𝑜𝑚𝑓 (𝑥) =] − ∞; −2] ∪ [0; 2] h)𝑑𝑜𝑚𝑓 (𝑥) = ℝ\{0} l)𝑑𝑜𝑚𝑓 (𝑥) = −∞; ∪]1; +∞[
