Révisions de mathématiques

(1)

Révisions de mathématiques

Thomas Rey Classe de première L

Table des matières

1 Les pourcentages 1

2 Lectures graphiques 3

3 Espace et courbes de niveau 4

3.1 Repère de l’espace . . . 4

3.2 Courbe de niveau . . . 5

4 Statistiques 5 4.1 Paramètres de tendance centrale . . . 5

4.2 Quartiles . . . 6

4.3 Boîtes à moustaches . . . 6

4.4 Écart-type et normalité . . . 7

5 Suites numériques 9 5.1 Généralités . . . 9

5.2 Suites arithmétiques . . . 9

5.3 Suites géométriques . . . 10

6 Tableaux et arbres 10

1 Les pourcentages

Un pourcentage est un nombre. Il est utilisé dans plusieurs situations :

– pour représenter une proportion : la part que représente une quantité dans une autre (résultats d’élections, part des filles parmi les élèves, . . .) ;

– pour représenter une évolution : augmentation ou réduction d’effectif, de prix, . . .).

À retenir

Règle 1(Pourcentage de . . . dans . . .)

La proportion d’une quantitéAdans une quantitéBest égal au quotient_B^A.

En le multipliant par 100, on obtient cette proportion en pourcentage.

À retenir

Exemple 1

Dans une classe de 32 élèves, on compte 20 filles. La proportion de filles est :²⁰₃₂= 0,625 = 62,5%.

En multipliant par 100 on écrit :²⁰₃₂×100 = 62,5(Sans le « % » ! ! !) Donc les filles représentent

62,5% des élèves de la classe.

T.Rey- Révisions de maths-info 21 mai 2008

(2)

Siu neq uanti tépass ed’u nev aleurd edépar t V

àun D

ev aleu rd’ar rivée V

,s A

av ariation en

pourcen tagev

aut:

Va ria tion

V =

− A

V

D

V

D

Val =

eu rd’ar rivée

Valeur −

de dé part

Val eur de dé part

Àrete nir

Exemple2 Unp rixpasse e de32

e.Sa à38 variati one st:

t

38 =

−32

=1 32

875=

18,75%.Il augmen tede 18,75%.

Règle3 (Coeffi cient mu ltiplicate ur)

Siu neq uanti tév aried e t%(

t pe ut êtrenégatif oup

ositif ),alors cette quantité est multi plié ep arle

coe fficien tm ultipli cateur CM égalà :

CM

=1

t +

100

Àrete nir

Exemple3 Pou rau gmen terun nom bre de15%, ilsuffit dele mul tiplie rpar

15 1+

=1 100

,15.Ainsi, si l’effectif du

lycéeé tait de 1100 élèv es et qu’il augment de15%, len ouvel effe ctifse ra 1100

× 1,15=

1265 .

Pou rdimin ue ru nnom brede 30%,(ic i, il s’agitd

’untau xde variati on t

− = 30

<

0 ),il su ffitd ele

mu ltiplier par

−30 1+

=0 100

,70.Ain si, unarticle coû tant e 37 est soldé à-30%, sonn

ouveau prix est

× 37 0,70=

25,90e.

Règle4 Sil ec oe fficie nt multi plicateurd

’une variation est k,alors letau xd ev ariation est égal à:

t

=(

k

− 1)

× 100

Àrete nir

Exemple4 Leco efficien tm ultipl icat eu rd’u nev ariation est égal à0,87.

Cett ev ariationa un tauxd e:

t

=(

0 ,83

− 1)

× 100=

−13

C’est donc une bais sed e13%

.

Règle5 (Pou rcen tagede pour cen tage)

Pre ndr e t%d e p

% d’un nom bre N c’est effe ctuerle calcul

t

× 100 p

× 100 N

Àrete nir

T.Re

-Révisions y

demath s-inf o 21mai

2008

(3)

5.3 Suites géométriques 10

5.3 Suites géométriques

Définition 8

On dit d’une suite qu’elle estgéométriquesi chaque terme est le produit du précédent par un même

nombre.

C’est-à-dire que la suiteuest une suite géométrique s’il existe un réelqtel que pour toutn,un+1=

q×un.

Le réelqest appeléraisonde la suite.

Lorsqu’une suite est géométrique, on dit que ses termes suivent uneprogression exponentielle ou

géométrique.

Propriété 3

Siuest une suite géométrique de premier termeu0et de raisonqalors :

pour toutn∈N,un=u0×qⁿ.

On a même plus généralement, pour toutnet toutp:

un=up×q^n−p.

À retenir

6 Tableaux et arbres

Lorsqu’on étudie sur une population deux caractères, on peut regrouper les résultats sous la forme d’un tableau à deux entrées ou de plusieurs arbres.

Exemple 18

On donne la répartition des élèves de première d’un lycée suivant le sexe et la série de bac (d’abord sous forme d’un tableau, puis des deux arbres possibles) :

Série ES Série L Série S Total

Filles 60 19 65 144

Garçons 45 10 75 130

Total 105 29 140 274

274

130

75

S 10

L 45 ES Gar

çons

144

65

S 19

L 60 ES

Filles

274

140

75 Garçons

Filles 65

S 29

10 Garçons

Filles 19

L 105

45 Garçons

Filles 60

ES

Il faut savoir construire les arbres à partir du tableau et réciproquement.

À retenir

2 Lectures graphiques 3

Exemple 5

Aux dernières élections, dans un bureau où 4 000 électeurs sont inscrits, le taux de participation était de 80% et parmi les votants, le candidat A a obtenu 32% des suffrages.

Le candidat A a obtenu₁₀₀³² ×₁₀₀⁸⁰ ×4 000 = 1 024voix.

Règle 6(Variations successives)

Si un nombre subit une variation det% puis une variation dep%, il est multiplié par :

1 + t

100

×

1 + p

100

À retenir

Exemple 6

Un prix augmente de 20% puis baisse de 20%, au total, il a été multiplié par :

1 + 20

100 1− 20

100

= 1,20×0,80 = 0,96

Ce prix a donc baissé de 4%.

Règle 7

On ne peut additionner des pourcentages que s’ils portent sur le même ensemble de référence et qu’ils représentent des ensembles sans élément commun.

À retenir

2 Lectures graphiques

Dans cette partie,f est une fonction numérique définie sur un ensembleD et Cf est sa courbe

représentative dans un repère(O;~i,~j).

L’imagef(a)d’un nombrea∈Dpar la fonctionfest l’ordonnée du point de la courbeCfqui a

pour abscissea.

À retenir

~i

~j

A

a f(a)

Cf

Résoudre graphiquement l’équationf(x) =mc’est trouver les abscisses des points deCfqui ont

pour ordonnéem. Cela revient à rechercher lesantécédentsdempar la fonctionf.

Pour déterminer graphiquement les solutions d’une telle équation on cherche les abscisses des points

communs entreCf et la droite d’équationy=m.

À retenir

(4)

5.1 Généralit

és

Définition 6

Une suite numérique est une listeor donnée den omb res.

Onl an ote (u

) n

ou u.

Exemple15 Soit u las uite de se nti ers naturels pairs.

On a:

u

=0 0

, u

=2 1

, u

=4 2

, u

=6 3

,.

..

Ici le deuxiè meterme est u

=2 1

.

Exemple16 Soit v las uite dé fini es ur

∗ N par u

= n

1

.On n

a:

u

=1 1

, u

= 2

1

, 2

u

= 3

1

, 3

u

= 4

1

,. 4

..

Ici le deuxiè meterme est v

carla 2

suite

«c ommen ce

»p our n

=1 .

Mode degénérati ond’une

sui te:

Unes uite pe ut êtr edéfin ied edeux manières:

– enf onctiond e n : u

= n

f (n)

;ic ion pe ut calculer u

direc n

temen tp our n’im porte quellev

aleurde

n

; – parréc urrence :on donn ele pre mierterme etu nem éthode pou rcalculer ch aque termeq uandon

connait le pré céd en t:

u

= n+1

g(

u

). n

Àrete nir

Exemple17 (suitedéfini epar ré curre nc e)

Lap opulation d’un evill ecroî tde 5%p aran.

En 2000,la pop ulation étaitde 25000 habi tants.

On

note P

len n

omb red

’habitan ts àl

’anné e 2000+

n.On a:

P

=25 0

000 P

=1 n+1

,05P

n

Grâc eà P

età 0

larelation de récu rre nc e,on peut calcu ler P

,pu 1

is P

,pu 2

is.

..

5.2 Suites arit hmétiques

Définition 7

Ond itd

’une suitequ’

ell ees t arithméti que sila différen ce en tred eu xterme sc onséc utifs est con stan te.

C’est-à-dir u eque

est arithmé tique s’ilexiste unré

r el

telque pou rtout n

∈ N, u

− n+1

u

= n

r.

Cerée l r est alorsapp elé rai son dela su iteet ona pour tout

∈ n N, u

= n+1

u

+ n

r.

Lorsqu’un es uite est arithmé tique ond itque ses termes su iven tu ne progr essionar ithmétiqueou

li-

néair e.

Propriété 2 Soit u une suitearith métiqu ed epr emier term e u

etd 0

erai son r.Alors :

pour tout

∈ n N, u

= n

u

+ 0

× n r.

Def açon plu sgé né rale ,on amê mep ourtou t n ettou t p :

u

= n

u

+( p

− n p

× ) r.

Àrete nir

T.Re

-Révisions y

2008

Dans le re père ci-d ess ous, ona tracéla courbe C

repré f

sen tan tu nefon cti on f définie su rl’in te rvall e

−4; [ 7].

~ i

~ j

C

f

– L’équation f (x)=

2 ,5 aun eun ique sol utions ur

−4; [ 7]

carun seu lp oin C tde

ap f

our ordonn ée

2,5:

ils

’agit dup oint qui ap ourab sciss een viron

− 3,3 .On écrit S

= {−3 ,3}.

– L’équation f (x)=

1 atr oiss olution sc aril ya trois poin C tsde

qui f

ont pou rordon née1 :les

poin tsd

’abscis ses- 2;

1,5et 5.On écri S t

= {−2;

1,5;

5 }.

– L’équation f (

−3 x)=

n’a pas desoluti onc arla cou C rbe

n’a f

pas dep oint ay

−3 ant pour ordonn ée.

– Lesé quation s f (x )=

2 et f (x)=

−1;5 ont ch acu ned eu xs olution s.

Résoud regr aphiqu eme nt l’é quation f (x)=

g (x) c’est trouv erles abscisse sdes poin tsd

’interse ction

C de

et f

C

. g

Àrete nir

Exemple8 Dans le re père ci-d ess ous, ona tracél es repré sen tationsgr aphiques dedeux fonc tions f et g définies

surl’i nterv alle [−4;

5]

.

~ i

~ j

C

f ^g C

Les solu tions de l’équation f (x)

= g(x ) sont le s abscisse s de s poin ts d’inte rsec tion C de

et f

C

: g

S {−2; = } 2

3 Espaceet

courb esde niv eau

3.1 Repè re del

’espace

Pou rre pérer le sp oints del’

espace ,on ab esoi nd’u nrep èref orméde troisd roitesgrad uées quine son t

pasdan sun même plan etqui ont lamê meori gine.

Chaque poin tes talors rep érép artrois nomb res:

ses coord onné es.

T.Re

-Révisions y

2008

(5)

4.4 Écart-type et normalité 8

Dans la plupart des examens médicaux, les résultats sont donnés en indiquant une

plage denormalitépermettant de savoir si

les résultats du patient sont « normaux » ou pas. Ces plages ont été établies à partir d’un grand nombre d’obervations sur des patients sains ou non.

L’étude de ces observations conduit à la production d’un d’histogramme d’effectifs ayant la forme ci-contre. La courbe dé- crite par les sommets des rectangles est une

courbe diteen clocheou courbegaussienne,

du nom du mathématicien allemandCarl-

Friedrich Gauss(1777 - 1855).

Cette courbe a un axe de symétrie qui est la moyenneµ= x(aussi égale à la médiane). Plus on

s’éloigne de la moyenne, moins il y a d’individus. On parle alors d’une distribution gaussienne ou suivant une loi de Gauss ou encore une loi normale.

Propriété 1(Plage de normalité)

Dans une distribution gaussienne de moyenneµet d’écart-typeσ, on démontre que :

68 %de la population est dans l’intervalle[µ−σ;µ+σ];

95 %de la population est dans l’intervalle[µ−2σ;µ+ 2σ];

99 %de la population est dans l’intervalle[µ−3σ;µ+ 3σ].

[µ−2σ;µ+ 2σ]est la plage de normalité à 95 % (représentée en bleu ci-dessous).

À retenir

µ+ 2σ µ−2σ µ−σ µ µ+σ Exemple 14

Lors d’un examen sanguin, pour un homme, la plage de normalité à 95 % de la densité d’hémoglo-

bine en grammes pour 100 ml est[13; 17](source : l’encyclopédie libreWikipédiA¹). Cette densité

d’hémoglobine suit une loi gaussienne.

Cela signifie 95 % de la population a entre 13 et 17 grammes d’hémoglobine pour 100 ml de sang.

La moyenneµdu taux d’hémoglobine est donc le centre de l’intervalle[13; 17].

On a donc :µ=¹³⁺¹⁷₂ = 15.

De plus cette plage de normalité està 95 %donc entre la moyenneµet les bornes de l’intervalle, il y

a2σ.

Donc2σ= 17−15. Doncσ=²₂= 1.

1WikipédiA: http ://fr.wikipedia.org

3.2 Courbe de niveau 5

Exemple 9

Sur la figure ci-contre, le repère de l’espace utilisé

est le repère(O;−→

OI,−→

OJ ,−−→

OK). Il estorthonormal

car les axes sont orthogonaux deux à deux et

OI=OJ=OK= 1.

OBCDEF GHest le pavé droit construit sur les

axes tel queOB= 3,OD= 6etOE= 4.

Dans ce repère on a par exemple :

C(3; 6; 0),E(0; 0; 4),F(3; 0; 4), . . .

Le pointMde coordonnées(³₂,3,4)est le centre

de la face supérieure du pavé.

O

B C

D E

F G

H

3.2 Courbe de niveau

Dans l’espace, l’ensemble des points dont les coordonnées vérifient une relation algébrique (par exemple

z=x²+y²ouz=xyou encorez=x²−y², . . .) est unesurface.

Lacourbe de niveaukd’une surface est l’ensemble des points de la surface situés à une altitude (ou

côte)k.

Un plan en relief de la Savoie peut être considéré comme une surface. La ligne de niveau 1 400m serait constituée de tous les points de la Savoie situés à 1 400m d’altitude. Les lignes de niveau sont représentés par exemple sur les cartes de l’Institut Géographique National.

4 Statistiques

Définition 1

On considère une série statistique qui regroupe les résultats obtenus lors d’une étude (sondage, résultats sportifs, médicaux, . . .)

– lapopulationest l’ensemble des individus étudiés ; il peut s’agir de personnes d’animaux, d’objets,

. . . ;

– uncaractèreest une des caractéristiques étudiées chez les individus de la population : taille, couleur

des cheveux, note à un devoir, . . . ;

– uneclasseoucatégorieest un groupe de la population ayant un même caractère ;

– l’effectif d’une classe (ou « catégorie ») est le nombre d’éléments de la classe.

– lafréquenced’une classe est le quotient de l’effectif de la classe par l’effectif total :

fi=fréquence dexi=effectif dexi

effectif total =ni

N Définition 2

Lemodeouvaleur modaleest la valeur de la variable statistique qui est le plus souvent observée. C’est

à dire la valeur du caractère ou la classe qui a le plus grand effectif.

4.1 Paramètres de tendance centrale

Définition 3

Lamédianed’une série statistique est la valeur de la variable qui partage la population en deux groupes

de même effectif :

– ceux qui ont une valeur du caractère inférieure à la médiane, – ceux qui ont une valeur du caractère supérieure à la médiane,

(6)

– onconstrui ten faced’

unaxe gradu é, permettan tde repé re rles vale urs extrêmes de las érieétud iée,

unrectangle don

tla longue ur esté gale àl’éc art inte rquarti lee tdan sl equ el onre prés ente lam édiane

paru ntrai t;

– deuxtr aitsr ep ère nt lesv aleurse xtrê mesde lasé rie.

Exemple13 Voi ci deuxsé rie sde note sà un même contrôle pou rdeux classe s:

Group e1

note :

x 3 5 6 7 8 9 10 13 14 18 20

effec tif 1 1 2 2 4 2 1 2 3 1 1

Group e2

note :

y 1 2 3 4 13 14 18 19 20

effec tif 3 2 2 4 1 2 4 2 2

Pou rle group e1, l’effec tif totale st N

=20 1

1 et

× 4

20=

5,don c Q

est 1

lac inqu ième valeur de las érie:

Q

=7 1

;de mêm

3 e,

× 4

20=

15 donc Q

est 3

laqui nzième valeur de las érie:

Q

=13 3

.

Pou rle group e2, l’effectif totale st N

=22 2

1 et

× 4

22=

5 ,5,d onc Q

est 1

lasixi ème valeur dela séri e:

Q

=3 1

;de mêm

3 e,

× 4

22=

16,5 donc Q

est 3

ladix -se ptièm ev ale urd ela séri e:

Q

=18 3

.

Voi ci lesdeux boîtes àm oustac hes:

01 5 10 15 20

Q

Q 1

3 M

01 5 10 15 20

Q

Q 1

3 M

4.4 Écart-t ype et normal ité

Définition 5

Onconsid ère une série stati stiq uer egrou pé ed ansu ntab leau d’eff ectif comme ci-d essous :

valeur x x i

x 1

.. 2

..

x

x p−1

p

effec tif n n i

n 1

.. 2

..

n

n p−1

p

Sion note x lamo yen nede cette sériee t N l’effectif total,alor son appe lle varia nce dela série le ré el

pos itif V défini par:

V

n =

(x 1

− 1

x

2 ) + n

(x 2

− 2 2 x) +

··

· + n

(x p−1

− p−1

x

2 ) + n

(x p

− p 2 x)

N

Lav ariance est donc lamo yenn ed es carrésd es écartsà lam oy enne .

L’écart-ty pe d’un es éries tatistiq uees tla racine car réede sav ariance .O nnote : σ

√ = V .

Ilfau tsa voir utilise rla calcu latric ep our déterm ine rl es paramè tre sd’u nesérie statistique

(moy en ne,

quartil es, écart-t ype).

Voir la fich e«

Statistique se tcalc ulatri ce

»d éjà dis trib uée.

..

Àrete nir

T.Re

-Révisions y

2008

Deuxc ass ont pos sible s:

– s’ily au nnom bre impaird

’observ ations : N

=2 k +1 ,où

∈ k N,alors lamédian ees tla k

e +1

vale ur duc aractère(les valeurs étan tr angées par ordre croissan t).

– s’ily aun nom bre pair d’observ ations : N

=2 k,où

∈ k N,alors oncon vient dep rendre comme

méd iane la mo yenn e de s

e k et k

e +1 valeurs du caractère (le s valeurs étant

rangée s par ordre

croissan t).

Exemple10 (nom bre impair d’observ ations)

Ond onne las éries tatistiq uesui van te :

valeur 3 4 6 7

effec tif 1 3 2 1

Ona ic iu neff ecti ftotal de 7.La médiane

est

donc la

e 4 vale ur lorsqu’e lle s sont rangée s par

ordre croissant

:

3;

4;

6;

7.La médiane

vaut 4.

Exemple11 (nom bre pair d’observ ations)

Ond onne las éries tatistiq uesui van te :

valeur 3 4 6 7

effec tif 2 3 1 4

Ona ic iu ne ffecti ftotal de10.

Lamédian ees t

donc lamo yenn edes

e 5

e et6 valeurs lorsqu

’elles

sont rangées parord recroissan t:

3;

4;

6;

7;

7.

Lam édiane

4+6 vaut

=5 2

.

4.2 Quart ile s

Définition 4

Le premi erquar tile d’un es ériestatistiqu e,

noté Q

,e 1

stla plus petite valeur de la séri ete lle qu’au

moinsun quart desv aleurss oient inférieures ouégales

à Q

. 1

Demê me,l e trois ièmequartil e d’un es ériestatistiqu e,

noté Q

,e 3

stl ap lusp etitev aleurd ela série

telleq u’aumoin stroi squar tsdes valeurs soien tin férieure sou égalesà Q

. 3

La différe nc e Q

− 3

Q

est 1

appe lé e écart int erquartil e et l’in tervalle [Q

; 1

Q

] 3

est appe lé intervalle

interqu artile :il contien tau moi ns50%

desv aleu rsd ela séri e.

Exemple12 Ond onne las éries uiv ante : Val eu r x

3 i

5 6 7 10 12 15 20

Effecti f n

2 i

2 4 3 3 7 5 3

Cett es ériec omporte 29v aleu rs.

1 Ona

× 4

29=

7,25.Le pre mierquar tile Q

est 1

donc

e la8 valeur dela série lors que celle s-ci sont

rangé espar ordr ec rois sant : Q

=6 1

.

3 Ona

× 4

29=

21,75.Le trois iè mequ artile Q

est 3

donc

e la22 valeur dela sériel orsq uece lle s-ci sont

rangé esp arordr ec rois sant : Q

=15 3

.

Àrete nir

4.3 Boî tesà moust aches

La représen tation graphiqu e de la disp ers ion d’une série statistique

se fait à l’aide de graphi ques

appelé s diagra mmes enb oites, boites àm oustaches,ou

box plot,v oire diagra mme de Tu ckey.On les

tracecom mece ci:

T.Re

-Révisions y

2008