A118 - Une factorielle à décrypter
Solution
1) On vérifie d’abord le nombre de zéros. Ceux-ci sont générés par 10,20 et 30 soit trois zéros mais aussi par 5,15 et 25. Les deux premiers termes 5 et 15 multipliés par un nombre pair quelconque donnent chacun au plus un zéro tandis que 25 multiplié par 4 ou l’un de ses multiples en donne deux. Au total il y a sept zéros dans 34! Six
seulement sont mentionnés. Il en résulte que b = 0.
2) On recherche ensuite la valeur de a qui précède le premier zéro de la séquence finale des zéros. Au lieu de raisonner sur le seul dernier chiffre dans les multiplications successives de la factorielle, on retient les trois derniers chiffres pour tenir compte des effets des multiplications par 5, 15 et 25. Les trois derniers chiffres (3DC) du produit des nombres de 1 à 10 qui précèdent les zéros finaux sont égaux à 3DC(10 !)=288. En poursuivant ce calcul, on obtient très rapidement 3DC(20!)=664, puis 3CD(30 !)=848 et 3DC(34 !)=352. a=2
3) On applique ensuite le critère de la divisibilité par 9. Comme 34! est évidemment divisible par 9, la somme de tous les chiffres doit être 0 modulo 9 c + d 3 modulo 9
4) On utilise enfin le critère de la divisibilité par 11. La différence de la somme des chiffres de rang impair avec celle des chiffres de rang pair est 0 modulo 11. On obtient
d – c 3 modulo 11.
D’où la solution c=0 et d=3 qui est unique et 34! s’écrit alors : 295232799039604140847618609643520000000
PS On aurait pu utiliser l’un des critères de la divisibilité par 7 au lieu et place de la recherche un peu laborieuse des 3DC de 34! sans l’usage d’une calculette. En écrivant 34!
sous la
forme xn...x4x3x2x1 zéros exclus, on calcule R=
3x 2x x 3x 2x ) (x 3x 2x x 3x 2x )
(x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ….
R doit être divisible par 7 au même titre que 34!
