8 Mercredi le

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MPSI 1 2002-2003

CPGE Agadir

Feuille d’exercices N

8

Mercredi le:30-Octobre-2002 Groupes Cycliques

1. Soit G un groupe abélien , (a,b)∈G²d’ordres finis dansG, on poseoa = netob = m a. Montrer que :a⁻¹est d’ordre fini avecoa^−1 = n

b. Montrer queabest d’ordre fini avecoabdivisenm c. Montrer que si de plusn∧m = 1 alorsoab = nm

d. Soitp ∈ IN∗, montrer quea^pest d’ordre fini avecoa^p = _n∧ⁿ_p

2. SoitGun groupe abélien fini de cardinalneta ∈ Gfixe montrer queaest d’ordre fini et queoadiviseCardG(Indication : On pourra multiplier les éléments deGentre eux puis ceux deaGen utilisant l’égalitéaG = G

a. Montrer que tout sous groupeHd’un sous groupe cyclique engendre paraest aussi cyclique(Indication : On pourra s’intéresser a la plus petite puissance deaqui appartient àH)

b. Montrer aussi queCardHdiviseCardG.

c. Montrer que tout sous groupe fini de cardinal premier est cyclique.

3. Montrer que les permutations a supports deux a deux disjoints commutent entre elles 4. Soits = 125324calculers²⁰⁰⁰

a. Montrer que toute permutation s’ecrit produit de transpostions.

b. Decompserσ = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 4 1 8 3 9 6 2 7 en produit de transpostions.

5. Soiti,j,k,l ∈ IN^∗4deux a deux distincts

a. Montrer quei jk leti jj lsont produit de 3-cycles

b. En deduire que toute permutation impaire s’ecrit produit de 3-cycles