(b) Déterminer les dérivées successives f, f, (3) et f(4), puis donnez l’expression de l’erreur commise avec la méthode élémentaire de Simpson et fournissez-en une majoration

Informatique 3A MNBif Automne

Examen de TD du 21 novembre 2018

Durée : 1 heure(s)

Documents autorisés: OUI NON Un formulaire manuscrit d’une feuille A4 recto-verso Calculatrice autorisée: OUI NON Tout type

Exercice 1.

On connaît les valeurs d’une fonctiong aux pointsx₀ = 1,x₁= 2 etx₂= 6 : g(x₀) =−3, g(x₁) = 1, g(x₂) = 2.

(1) Construire le polynôme de degré au plus2(notéΠ₂g), interpolant la fonctiongaux nœudsx₀, x₁ etx₂.

(2) Pourα = 3/2, donner une valeur approchée deg(α). Exercice 2.

On pourra consulter les formules d’erreur données en page 2.

Soitf donnée par

∀x∈[0,1], f(x) =x⁵, (1a) et l’intégraleI

I =

₁

0 f(x)dx. (1b)

(1) (a) DéterminerI^S, l’approximation deI par la méthode élémentaire de Simpson.

(b) Déterminer les dérivées successives f, f, ⁽³⁾ et f⁽⁴⁾, puis donnez l’expression de l’erreur commise avec la méthode élémentaire de Simpson et fournissez-en une majoration.

(c) (i) Calculer la valeur exacte de I.

(ii) En déduire l’erreur commise réelle, c’est-à-dire I^S−I et vérifier qu’elle est inférieure au majorant de l’erreur donné plus haut.

(2) (a) Déterminer I₄^S, l’approximation de I par la méthode composite de Simpson avec N = 4 sous-intervalles.

1/2

2/2

(b) Donnez l’expression de l’erreur commise avec la méthode composite de Simpson puis fournissez- en une majoration.

(c) Déterminer l’erreur réelle erreur commise, c’est-à-dire I₄^S−I et vérifier qu’elle est infé- rieure au majorant de l’erreur donné plus haut.

(3) Déterminer le nombreN de sous-intervalles qu’il faudrait utiliser pour avoir une approximation de I par la méthode composite de Simpson avec une erreur inférieure à

ε= 1.10⁻¹³. (2)

Corrigé

Un corrigé sera disponible surhttp://utbmjb.chez-alice.fr/Polytech/index.html

Erreurs des méthodes d’intégration

Méthodes élementaires sur[a, b]. Dans le tableau qui suit,η appartient à ]a, b[. méthode erreur

rectangle ^(b−a)₂ ²f(η) milieu ^(b−a)₂₄ ³f(η) trapèze −^(b−a)₁₂ ³f(η) Simpson −^(b−a)₂₈₈₀⁵f⁽⁴⁾(η)

Méthodes composites (composées) sur[A, B]avec un pash= (B−A)/N. Dans le tableau qui suit,η appartient à[A, B].

méthode erreur rectangle h^B−A₂ f(η) milieu h^2B−A₂₄ f(η) trapèze −h^2B−A₁₂ f(η) Simpson −h^4B−A₂₈₈₀f⁽⁴⁾(η)

Polytech Automne MNBif : Examen de TD du 21 novembre 2018