Universit´e Paris-Dauphine Ann´ee 2012-2013 DEGEAD 1er cycle
UE 13
Examen de janvier 2013
Les documents et calculatrices sont interdits. La qualit´e de r´edaction et de la pr´esentation entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
Exercice 1 Une entreprise produit 2 biens X et Y et les vend respectivement 5 et 10 euros.
Le coˆut de production est donn´e par :
C(x, y) = 2x2+ 2y2 −xy−4x+ 2000
o`u les variablesx ety repr´esentent respectivement les quantit´es produites en bien X et Y. On suppose que la demande est plus forte que l’offre, c’est-`a-dire que l’entreprise vend en totalit´e tous les biens qu’elle produit.
1. Pour tout (x, y)∈(R∗+)2, exprimer le profit P de l’entreprise en fonction des volumes de vente x et y.(0.5pt).
Profit : P(x, y) = 5x+ 10y−C(x, y)
2. La fonction P est-elle convexe, ou concave ?(1pt).
P est concave : utiliser le crit`ere 4ac−b2 >0 et a >0
3. L’entreprise peut produire au plus 40 produits par jour. Quelles sont les quantit´es de production de biens X etY par jour optimales afin de maximiser le profit de l’entreprise dans le cas d’une production `a plein r´egime ? Calculer dans ce cas le profit r´ealis´e.(1pt).
Dans ce cas on ax+y= 40. En injectant y= 40−x dans P, on obtient
P(x) = 5x+ 10(40−x)−2x2−2(40−x)2+x(40−x) + 4(40−x)−2000
=−5x2+ 119x−4800.
Max en −b/2a ' 11.9. Profit ' −4091,05. Ne pas ˆetre trop exigeant sur la pr´ecision num´eriques des r´esultats.
4. Pensez-vous que ce soit pertinent de tourner `a plein r´egime ? Justifier votre r´eponse par des calculs.(1,5pt=0.5 pour poser le probl`eme+0.5 pt critique+0.5pt justification du max).
Poser le probl`eme : optimisation de P sans contrainte.
∇P(x, y) =
9−4x+y
10−4y+x
Le point critique est (4615,4915). Le max de P est atteint en ce point et vaut −1970 environ.
Exercice 2 Soient f et g les fonctions d´efinies sur R2 par
f(x, y) = (x2+y2−2)2, g(x, y) = (x−1)2+ 4y2−4.
1. Justifier que f etg sont de classe C2 surR2. (0.5pt).
standard
1
2. En tout point de R2, donner le gradient de f et sa matrice hessienne. (2.5pt=0.5pt pour chaque d´eriv´ee partielle, il y en a 5).
∂xf = 4x(x2+y2−2), ∂yf = 4y(x2+y2−2).
∂xx2 f = 12x2 + 4y2−8, ∂yy2 f = 4x2+ 12y2−8, ∂yx2 f = 8xy.
3. Donner l’´equation du plan tangent au graphe de f au point (2,1).(1pt).
∂xf(2,1) = 24, ∂yf(2,1) = 12, tangente :z−9 = 24(x−2) + 12(y−1).
4. Donner une approximation `a l’ordre 1 de f(2.1,0.9) ?(1pt).
f(2.1,0.9)'10.2.
5. Donner le d´eveloppement limit´e de f `a l’ordre 2 au point (2,1). (1pt).
f(2 +h,1 +k) = 9 + 24h+ 12k+1
2(44h2+ 32hk+ 20k2) + (h2+k2)ε(h, k).
6. Quelle est la position du plan tangent par rapport au graphe de f au point (2,1) ?(1pt).
On a rt−s2 = 624>0 et r >0 donc graphe au-dessus de tangente.
7. D´eterminer et tracer sur un dessin la courbe de niveau 1 de f, puis celle de niveau 4.(1.5pt=0.5 pour chaque ´equation de ligne de niveau+0.5pt pour le dessin).
C1 ={(x, y)∈R2;x2+y2 = 1 oux2+y2 = 3}
C4 ={(x, y)∈R2;x2+y2 = 4 oux2+y2 = 0}
8. Dans cette question, on cherche les extrema de f sur R2.
(a) D´eterminer les points critiques def surR2 (attention, il y en a une infinit´e).(1pt).
Crit={(x, y)∈R2;x2+y2 = 2} ∪ {(0,0)}
(b) Montrer que f admet une infinit´e de minima globaux. (1pt).
Si x2+y2 = 2 alors f(x, y) = 0. Or f > 0 donc tout les points du cercle sont des points o`u f atteint son minimal global.
9. On cherche les extrema de f sur la contrainteE ={(x, y)∈R2;g(x, y) = 0}.
(a) On admet que E est ferm´e. Montrer qu’il est compact.(1pt).
4 = 4y2+ (x−1)2 >y2 + (x−1)2
Ne mettre que la moiti´e des points si l’´el`eve dit seulement que c’est une ellipse donc compact : ici, on demandait une preuve.
(b) Montrer qu’il n’y a pas de points critiques de seconde esp`ece.(0.5pt).
Standard.
(c) Trouver les 6 points critiques de premi`ere esp`ece sous contrainte.(3pt=6*0.5pt).
(A, λ) = (−1,0,−1), (B, λ) = (3,0,21), (C, λ) = (−1/3,√
5/3,−2/3) (D, λ) = (−1/3,−√
5/3,−2/3), (E, λ) = (1,1,0), (F, λ) = (1,−1,0)
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(d) D´eterminer la nature de chaque point critique.(2pt=0.5 pour traiter les 3 extrema globaux+0.5 pour chaque extremum local).
f(A) = 1, f(B) = 49, f(C) = 16/9, f(D) = 16/9, f(E) = 0, f(F) = 0
Donc E et F min globaux, B max global, A min local, C et D max locaux. Les justifications du type ”entre 2 max il y a forc´ement un min” sont accept´ees.
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