On suppose que la loi de X est donnée par :P(X = 0

ECE1 Année 2018-2019

Fiche d’exercices : Variables aléatoires

Exercice 1 : (∗)

Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé(Ω,P(Ω), P).

On suppose que la loi de X est donnée par :P(X = 0) = ¹₄, P(X = 1) = ¹₃ etP(X =−1) =a, où a∈R.

1. Déterminer X(Ω)puis le réela.

2. Déterminer pour tout réel x,F_X(x). Tracer la représentation graphique de F_X. 3. Déterminer l’espérance et la variance de X.

4. X est-elle une variable aléatoire centrée ? réduite ? centrée réduite ? Déterminer alors la va- riable centrée réduiteX∗ associée àX.

5. On considère la variable aléatoire Y₁ = 3X+ 2 (a) DéterminerY₁(Ω).

(b) Déterminer la loi de Y₁.

(c) Calculer l’espérance et la variance de Y₁ en utilisant deux manières différentes à chaque fois.

6. Reprendre les questions précédentes avec les variables aléatoires Y2 = X², Y3 = |X|, Y₄ = exp(X)

Exercice 2 : (∗)

Soit aetbdeux entiers naturels non nuls tels que a6b.

Soit X une variable aléatoire réelle finie définie sur un espace probabilisé (Ω,P(Ω), P) et tel que X(Ω) =J1;abK.

On suppose que : ∀k∈J1;abK, P(X =k) = ¹_a−¹_b.

1. Quelles conditions doivent vérifier aetbpour que X soit un v.a.r finie ? 2. Déterminer E(X)

3. Déterminer tous les couples (a, b)∈R² tels queE(X) = ⁷₂. Exercice 3 : (∗)

On considère une urne contenant une boule rouge, deux boules noires et trois boules jaunes. On effectue des tirages successifs d’une boule sans remise dans l’urne et on s’arrête dès qu’il ne reste plus dans l’urne que deux couleurs différentes.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.

Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance.

1

Exercice 4 : (∗)

Dix chevaux (quatre blancs et six noirs) entrent sur la piste d’un cirque un par un au hasard.

On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de chevaux blancs précédant le premier cheval noir.

Précise X(Ω)puis donner la loi deX.

Exercice 5 : (∗∗)

Soit n ∈ N^∗. On pioche tour à tour et avec remise deux jetons dans une urne contenant n jetons numérotés de 1 àn. On note respectivementX etY le plus grand et le plus petit chiffre obtenu (ces deux chiffres étant égaux lorsqu’on obtient deux fois le même chiffre).

1. Donner les lois de probabilité de X et de Y.

2. Calculer leurs espérances, les comparer et commenter le résultat obtenu.

Exercice 6 : (∗)

Une urne contient 5 boules de couleurs distinctes. On tire trois boules une à une et avec remise. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de couleurs obtenues. Déterminez la loi deX.

Exercice 7 :

Une urne contient une boule noire et (n−1) boules blanches, n désignant un entier supérieur ou égal à 2. On vide l’urne en effectuant des tirages d’une boule de la manière suivante : le premier tirage s’effectue sans remise, le deuxième s’effectue avec remise, le troisième s’effectue sans remise, le quatrième s’effectue avec remise... D’une manière générale, les tirages d’ordre impair s’effectuent sans remise et les tirages d’ordre pair s’effectuent avec remise de la boule tirée.

1. (a) Quel est le nombre total N de tirages effectués lors de cette épreuve ?

(b) Pourjélément deJ1;n−1K, combien reste-t-il de boules avant le(2j)-ième tirage ? Combien en reste-t-il avant le (2j+ 1)-ième tirage ?

On désigne par Xk la variable aléatoire qui vaut 1 si la boule noire est obtenue au k-ième tirage (que ce soit la première fois ou non) et 0sinon. On désigne parX la variable aléatoire égale au nombre d’apparitions de la boule noire lors de cette épreuve.

2. (a) Calculer P(X₁ = 1),P(X₂= 1).

(b) Pour tout entier naturelj de J1;n−1K, calculerP(X_2j+1 = 1)etP(X_2j = 1).

(c) En déduire la loi suivie par toutes les variablesX_k.

3. Pour tout j élément de J1;nK, on note U_j l’événement "On obtient la boule noire pour la première fois au(2j−1)-ième tirage".

(a) En considérant l’état de l’urne avant le(2n−2)-ième tirage, montrer queP(U_n) = 0.

Montrer que :∀j∈J1;nK, P(Uj) = n−j n(n−1).

(b) Exprimer l’événement(X = 1)en fonction desU_j, puis en déduire la valeur deP(X= 1).

(c) Montrer queP(X =n) = 1 n!. 4. Montrer que X=

2n−1

X

k=1

Xk, puis en déduire l’espérance deX.

2

Exercice 8 : (∗∗)

Un gardien doit ouvrir une porte dans le noir. Il possède un trousseau de 10 clés dont une seule convient pour la porte en question.

Il imagine deux méthodes :

• Méthode A : il essaie les clés l’une après l’autre.

• Méthode B : il essaie une clé, il agite le trousseau, puis recommence, au plus dix fois de suite.

Si ou bout de 10 fois il n’y est pas arrivé, il retourne se coucher...

Soit X_A le nombre de clés essayées par la méthode A et soit X_B le nombre de clés essayées par la méthode B, en prenant convention que s’il échoue à ouvrir la porte, on prend XB= 11.

1. Déterminer la loi de XA. 2. Déterminer la loi de XB.

3. Calculer l’espérance des variables aléatoires XAetXB, aprés avoir justifié leur existence.

4. CalculerP(XA>8)etP(XB>8).

5. Le gardien suit la méthode A lorsqu’il est sobre et la méthode B lorsqu’il est ivre. Un cam- brioleur caché à l’intérieur sait que le gardien est ivre 1 jour sur 3. Il remarque que 8 essais ont échoué. Quelle est la probabilité que le gardien soit ivre, et donc vulnérable ?

Exercice 9 : (∗∗)

Une boite ronde contient 2 jetons portant le numéro 0, et une boite carrée contient 2 jetons portant le numéro 1. On pioche au hasard un jeton dans chaque boite et on les échange. On recommence n fois cette opération et on note Xn la somme des numéros portés par les jetons de la boite ronde à l’issue du n^ème échange (on convient que X0 = 0).

1. Quelles sont les valeurs de Xn?

2. A l’aide de la formule des probabilités totales, donner les relations liant les probabilités de la loi deX_n+1 à celles de la loi deX_n.

3. En déduire la loi de X_n, son espérance et sa variance.

3