A4922 – Des premiers en Diophantie [*** à la main]
Soit un entier p > 0.On considère l’ensemble Ep des entiers égaux à la somme de p carrés parfaits consécutifs.
Q₁ Démontrer qu’on sait trouver un nombre premier p tel qu’il existe un élément de Ep égal à p³.
Q₂ Trouver le plus petit nombre premier p tel qu’il existe un élément de Ep multiple de 2020.
Solution proposée par Daniel Collignon Q1 : p = 2161
p>2020 premier est impair : posons p=2q+1
Nous cherchons alors des entiers r et q tels que p^3 = (r-q)² + ... (r-1)² + r² + (r+1)² + ... + (r+q)² D'où p^3 = pr² + 2(1²+...+q²), ou encore (2q+1)² = r² + (q(q+1))/3
A l'aide d'un programme, nous trouvons q=1080, p=2161 et r=2069 Q2 : p_min = 7
p=2 : r²+(r+1)² = 2r(r+1) + 1 = 1 (mod 4) ne peut être un multiple de 2020 = 0 (mod 4)
Désormais p>2 premier est impair : posons p=2q+1
(r-q)² + ... (r-1)² + r² + (r+1)² + ... + (r+q)² = pr² + 2(1²+...+q²) = pr² + q(q+1)p/3
q=1 : 3r²+2 = 0 (mod 2020) => r² = 1346 (mod 2020) => r² = 2 (mod 4) : impossible q=2 : 5r²+10 = 0 (mod 2020) => r² = -2 (mod 404) => r² = 2 (mod 4) : impossible q=3 : 7r²+28 = 0 (mod 2020) => r² = -4 (mod 2020)
A l'aide d'un programme, nous trouvons r=384 Vérification : 381²+...+387² = 1032220 = 501*2020
