G273- Triangulations par paquets
On me donne n points dans le plan, trois d’entre eux n’étant jamais sur la même droite.
Je les répartis en 100 sous-ensembles disjoints, en sorte de minimiser le nombre total de triangles que je peux former avec trois points du même sous-ensemble (ces triangles sont comptés comme distincts même quand ils ont un ou deux sommets en commun). Déterminer n, sachant que chaque sous-ensemble contient au moins 3 points et qu'il y a 116.280 triangles.
Solution par Patrick Gordon
Notons xi le nombre de points dans la zone i (i = 1…100).
Si les xi étaient des variables continues, on dirait tout simplement qu'il faut minimiser le nombre total de triangles, soit :
1) ∑1100
xi (xi – 1) (xi – 2) / 6 sous la contrainte :
2) ∑1100
xi = n
En recourant, par exemple, aux multiplicateurs de Lagrange, on aboutirait à ce que les dérivées partielles :
3) 1/6 (3 xi² – 6 xi + 2) soient toutes égales.
Mais, comme la fonction (3) est monotone croissante pour x > 3, cela revient à : 4) xi = Cte = n/100
De l'équation (1) résulterait :
100 x(x – 1) (x – 2) / 6 = 116.280
Soit une équation du 3ème degré dont la seule racine réelle est environ 20,1256.
L'idée est donc de rechercher si une solution en nombres entiers existe avec k zones de 20 points et (100 – k) zones de 21 points.
Les zones de 20 points comportent C203 = 1140 triangles.
Les zones de 21 points comportent C203
= 1330 triangles.
Avec k = 88, on a :
88 × 1140 + 12 × 1330 = 116.280 On a donc :
88 zones de 20 points, soit 1.760 points 12 zones de 21 points, soit 252 points.
La réponse est donc : n = 2012.
