ISAE Analyse TD1 J.SAAB
1. Soitf(x) =jxxj; x6= 0:la fonctionf admet - elle une limite en0:
2. Trouver les limites suivantes:
a) lim
x!8 x 8
p3x 2 b) lim
x! 1(1 cosxx) c) lim
x! 1 x2+x
x 3 d) lim
x!0xE(1x) e) lim
x!0
pk+x p k x
x ; k >0 f) lim
x!+1(p
x2+x+ 1 x) g) lim
x!0 cos2x 1
x2
h) lim
x!1(x11+13x3) i) lim
x!0
x3 3x+2
x2 x ii) lim
x!0 x2sin1x
sinx
3. Etudier quandx! 1;la limite def(x) =p1 3x 2
jx+1j
4. Montrer géométriquement que lim
x!0
sinx
x = 1;en déduire que lim
x!0
tanx x = 1 5. Utiliser le no 4 pour calculer:
a) lim
x!0
sin3x
x2tan 3x b) lim
x!0 sinx
x2 (tan 4x tan 2x) c) lim
x!0
sin24x
1 cos 9x; a2IR; b2IR 6. Pour toutx2IR; on dé…nit la partie entière dex:
E(x) = supfn2Z j n xg
Considérons aussi les fonctions:
f(x) =E(x); g(x) =p
x E(x) h(x) = xE(x+ 1) x+E(x)
a) Tracer le graphe de chacune des fonctions suivantes: f; g; f+g;pourx2[0;5]
b) Etudier la continuité def; g; f+g ethau point1:
7. Soient
f(x) =
x jxj
x si x6= 0
2 si x= 0 ; g(x) = x E(x) si x6= 0 1 si x= 0
La fonctionf est - elle continue en0?d’un côté de0?même question pour la fonctiong 8. Examiner si les fonctions suivantes sont prolongeables par continuité au point1
f(x) = x2 1
x 1 ; g(x) =x+ 1
x 1
9. Discuter en fonction de la valeur den2IN, si la fonction f(x) =xnsin1
x
peut être prolongeable par continuité en0 10. Soit
f(x) = 2x 1 si 0 x <1 x3 si 1< x 2 Quelle doit être la valeur def au point1pour qu’elle soit continue sur[0;2]
1
11. a) Soitf : [a; b] ![a; b]une fonction continue. Démontrer qu’il existe un élémentx02[a; b]tel quef(x0) =x0
b) Soitg : [0;2] !IRune fonction continue véri…antg(0) =g(2):Démontrer qu’il existe 2[0;1] tel que g( + 1) =g( )
12. Montrer que : i)jxyj=jxjjyj
ii)jx x0j< ()x0 < x < x0+ ; ( >0) iii)jxj> ()x > oux <
13. Trouver l’ensemble de solutions dans chacun des cas suivants:
i)j2x 3j<1 v)jx2 5x+ 6j= (x2 5x+ 6)
ii)(x 2)2 4 vi)jxj=x+ 1
iii)x2+ 2x 8 0 vii)jxj=x 1
iv)jx2 7x+ 12j> x2 7x+ 12 14. Montrer que :
i)[jx 2j< et0< <3] =) 1
jx 5j < 1 3 ii)[jx 2j< et0< <1] =) jx+ 1j
jx 1j < 3 + 1 iii)jjxj jyjj jx yj
15. Calculer la dérivée à gauche et la dérivée à droite, au point indiqué, de chacune des fonctions suivantes:
a)f(x) =jx 1j+x 1 au pointx= 1 b)g(x) =jx2 1j+ 3x au pointx= 1 16. Soit f une fonction dé…nie sur[ ; ]; >0:
a) Démontrer que si f est paire (resp. impaire) admettant une dérivée au point a2[ ; ], alors elle admet une dérivée au point a. Calculer cette dérivée en fonction de f0(a)
b) Démontrer que sif est paire admettant une dérivée en0alors f0(0) = 0 17. Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes:
a)ln1 + tanx2
1 tanx2 b) xarcsinx+p 1 x2 c) (cosx)sinx d) arg tanhx+ lnp
1 x2
18. Simpli…er les expressions suivantes:
a)exp[
(3 ln 2)
2 ] b)exp[ln(x 1)] c)ln
r1 + tanhx
1 tanhx d) x1[cosh(lnx) + sinh(lnx)]
19. Calculer, pourx= 12ln 3;la valeur de l’expression 2 coshx sinhx 20. a) Les conditions de Rolle sont - elles véri…ées par la fonction
f(x) = (jxj 1)2; x2[ 1;1]
b) Les conditions du T.A.F. sont - elles véri…ées par la fonction f(x) =x23; x2[ 1;1]
2
21. Soient, pour x >0
f(x) = ln(1 +x) lnx 1 x+ 1 g(x) = ln(1 +x) lnx 1
x
Appliquer àlnule T.A.F. sur un intervalle convenable, pour déterminer le signe def et celui deg 22. a) Si a; b2IRtelsque 0< a < b:Montrer que
b a
1 +b2 <arctanb arctana < b a 1 +a2 b) Déduire que
4 + 3
25 <arctan4 3 <
4 +1 6
3
