E318 Une très longue partie de ping-pong [**** à la main ] Solution
A partir des deux entiers 4009 et 4054 écrits par Diophante sur le tableau, Hippolyte qui a choisi X=2005 déduit que les deux valeurs possibles de Y sont 2004 et 2049 tandis que Théophile qui a choisi Y=2004 déduit que les deux valeurs possibles de X sont 2005 et 2050.
Hippolyte à qui s’adresse la première question de Diophante, dit logiquement qu’il ne sait pas répondre car il y a pour lui deux valeurs possibles de Y.Cette réponse d’Hippolyte apprend apparemment peu de choses à Théophile qui est lui aussi dans l’incertitude avec les deux valeurs possibles de X.
Supposons qu’au lieu des deux entiers 4009 et 4054, Diophante ait écrit A et B avec A<B.
Quand Hippolyte dit qu’il ne sait pas répondre, Théophile en déduit que X
<minimum(A,B)=A.En effet X ne peut pas être supérieur ou égal au plus grand des deux termes B et si X était compris entre A et B, alors Hippolyte aurait su répondre en affirmant que Y=B-X. A ce stade, on ne voit pas l’intérêt d’introduire A et B car avec les valeurs A=4009 et B=4054, on déduit seulement que X<4009.
Poursuivons avec Q2. Théophile ne sait pas répondre. Toujours avec A et B, Hippolyte en déduit que Y>B-A=d. En effet si Y était inférieur ou égal à d, sachant que X<A, Théophile serait en mesure de dire que X=A-Y. En effet X=B-Y serait contradictoire avec X<A. Avec les valeurs A=4009 et B=4054, on a donc Y>45, inégalité qui ne nous apprend pas encore grand’chose.
Que donne Q3 ? L’absence de réponse de la part d’Hippolyte permet à Théophile de déduire que X < A-d. En effet si X était compris entre A-d et A, sachant que Y>d, Hippolyte aurait su répondre en affirmant que Y=B-X. En effet Y=A-X serait contradictoire avec X<A-d et Y>d.
Avec les valeurs A=4009 et B=4054, on a donc X<3964, inégalité qui est loin d’être
satisfaisante mais on observe qu’un processus est enclenché et il convient de le poursuivre…
Avec l’absence de réponse à Q4 de la part de Théophile, Hippolyte en déduit que Y>2d. En effet si Y était compris entre d et 2d, sachant que X<A-d, Théophile serait en mesure de dire comme précédemment que X=A-Y.
Avec l’absence de réponse à Q5 et Q6, on vérifie aisément que d’une part X<A-2d et d’autre part Y>3d. Avec les valeurs A=4009 et B=4054, cela donne les inégalités X<3919 et
Y>135…..
Avec un peu de patience et l’aide précieuse du raisonnement par récurrence, on arrive à Q87.
Hippolyte dit qu’il ne sait pas répondre et Théophile en déduit que X<4009-(87-
1)*45/2=4009-43*45=2074. Il est toujours dans l’incertitude car les deux valeurs possibles qu’il avait identifiées dès l’origine 2005 et 2050,sont inférieures à 2074.
On poursuit avec Q88, Théophile dit qu’il ne sait pas répondre et Hippolyte en déduit que Y>(88/2)*45 = 44*45 = 1980. Il est toujours dans l’incertitude car les deux valeurs possibles qu’il avait identifiées dès l’origine 2004 et 2049 sont supérieures à 1980.
Avec Q89, Hippolyte dit encore qu’il ne sait pas répondre et cette fois-ci est la bonne pour Théophile qui déduit que X<4009-44*45=2029. Il affirme donc à Q90 que X=2005.
La partie de ping-pong s’arrête donc à la 90ème question et c’est Théophile qui donne le nombre choisi par Hippolyte.
Généralisation : le 2ème nombre choisi par Diophante est quelconque mais différent de la somme des deux nombres choisis par Hippolyte et Théophile.
a) Diophante interroge d’abord Hippolyte :
Avec le même raisonnement que précédemment, on vérifie que si le deuxième nombre choisi par Diophante est N avec S=4009, on a les deux cas de figure suivants :
1) N>4009. C’est toujours Théophile qui répond le premier à la question Q(2k) avec k premier entier Y/(N-4009)=Y/d,
2) N<4009. C’est toujours Hippolyte qui répond le premier à la question Q(2k-1) avec k premier entier Y/(4009-N)=Y/d .
b) Diophante interroge d’abord Théophile : Il y a toujours deux cas de figures :
1) N>4009. C’est toujours Théophile qui répond le premier à la question Q(2k+1) avec k premier entier Y/(N-4009)=Y/d,
2) N<4009. C’est toujours Hippolyte qui répond le premier à la question Q(2k) avec k premier entier Y/(4009-N)=Y/d .
