E627
Soitn>3et un placement des entiers de 1 à n selon les conditions définies par l’énoncé.
Considérons :
NI (resp.NP) le nombre d’entiers impairs (resp. pairs)
NII (resp.NP P) le nombre de couples impair-impair (resp. pair-pair) NP I (resp.NIP) le nombre de couples pair-impair (resp. impair-pair) Nous avons les relations suivantes :
2NI =NP I+NIP + 2NII
2NP =NP I+NIP + 2NP P
n=NI+NP =NII+NP I+NIP+NP P (découle de la somme des deux relations précédentes).
NI =NP ouNP+ 1 selon la parité den
NII =NP P ouNP P+ 1 selon la parité den(découle de la relation précédente et de la différence entre les deux premières relations)
Deux entiers adjacents de parités opposées seront nécessairement suivi d’un entier impair, leur somme étant impaire.
En particulier, deux entiers adjacents ne peuvent être tous les deux pairs, ou dit autrement nous avonsNP P = 0.
En effet, comme il y a au moins un entier impair (1), en remontant une succession d’entiers pairs dans le sens trigonométrique, nous aurions un entier impair suivi de deux entiers pairs, contredisant la remarque précédente.
Il en découle plus précisément queNII >NP I =NIP.
D’où comme il y a au moins un entier pair (2), la seule possibilité est que NII =NP I =NIP = 1, c’est-à-dire queNI = 2etNP = 1, ou encoren= 3.
Réciproquement les deux placements 1−2 −3 ou 1−3−2 remplissent les conditions de l’énoncé.
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