P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE L YON
D ENISE B ECCHIO
Sur l’axiome d’Ivo Thomas
Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1978, tome 15, fascicule 1 , p. 45-49
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V' la thé -natiques
^von 1978 t. 15-1 SUR L'AXIOME D'IVO THOMAS
par Denise BECCHIO
I . INTRODUCTION. La n o t i o n d ' a l g è b r e de L u k a s i e v i c z dfo r d r e n f u t i n t r o d u i - t e par Mois i l ( 5 ) en 19^1 e t c e l l e d ' a l g è b r e de P o s t d ' o r d r e n par Rosenbloom
17) en 1 9 ^ 2 . Dans fl) nous nous sommes p o s é s l e problème de t r o u v e r une d é f i - n i t i o n de c e s a l g è b r e s où l ' a x i o m e d ' I v o Thomas [ 8 ) s o i t e x p l i c i t e m e n t formu- l é . Pour r é s o u d r e un t e l problème nous avons en p a r t i c u l i e r é t é amenés à d é - m o n t r e r , en u t i l i s a n t l a t h é o r i e des f i l t r e s p r e m i e r s , que l ' é g a l i t é
( T ) : Tn =
(U
n_
2 ^ x n - 1 ) x0) = 1 où ^ = Xo e t n > 2 , c o r r e s p o n d a n t à l ' a x i o m e d ' I v o Thomas, e s t v é r i f i é e dans t o u t e a l g è b r e de L u - k a s i e v i c z d ' o r d r e n e t dans t o u t e a l g è b r e de P o s t d ' o r d r e n .D ' a u t r e p a r t , dans ( 4 ) , L . I t u r r i o z a montré que l e s a l g è b r e s de L u k a s i e v i c z d ' o r d r e n sont des a l g è b r e s de H e y t i n g .
Nous nous proposons i c i d ' u t i l i s e r c e t t e p r o p r i é t é pour donner une démonstra- t i o n é l é m e n t a i r e de ( T ) dans une a l g è b r e de L u k a s i e v i c z d ' o r d r e n e t dans une a l g è b r e de P o s t d ' o r d r e n .
Pour c e l a nous é t a b l i r o n s , d ' a b o r d une é g a l i t é ( TF) é q u i v a l e n t e à ( T ) dans une a l g è b r e de H e y t i n g , p u i s une d é m o n s t r a t i o n é l é m e n t a i r e de ( TF ) dans une a l g è b r e de L u k a s i e v i c z d ' o r d r e n .
I I . DEFINITIONS ET PROPRIETES. Nous supposons connues l e s d é f i n i t i o n s e t l e s p r o p r i é t é s des a l g è b r e s de H i l b e r t - B e r n a y s ( o u " B r o u v e r i a n l a t t i c e $H ( 2 ) , ou
" r e l a t i v e l y pseudo-complemented l a t t i c e s " ( 6 ) ) , d e s a l g è b r e s de H e y t i n g ( o u
f fp s e u d o - b o o l e a n a l g e b r a s '1 ( 6 ) ) e t des a l g è b r e s de L u k a s i e v i c z dfa r d r e n ( 3 ) ( 4 ) . Nous ne r a p p e l l e r o n s i c i que c e l l e s que nous u t i l i s e r o n s e x p l i c i t e m e n t par l a s u i t e .
Dans une a l g è b r e de H i l b e r t - B e r n a y s , donc à f o r t i o r i dans une a l g è b r e de H e y - t i n g , nous avons l e s t r o i s p r o p r i é t é s s u i v a n t e s ( 6 ) :
P l . x =^>(y = ^ z ) s ( x A y ) z P 2 . ( x z ) A ( y z ) » ( x V y ) ^ z P 3 . x = ^ x - 1
Dans une a l g è b r e de L u k a s i e v i c z d ' o r d r e n , l ' i m p l i c a t i o n i n t u i t i o n n i s t e peut ê t r e d é f i n i e par l ' é g a l i t é s u i v a n t e ( 4 ) :
n - 1
D l . x 4 y = y V
A
( - S . x V S . y ) i - 1 " 145
Sur l'axiome d'Ivo-Thomas
- r e p r é s e n t a n t une n é g a t i o n de De Morgan et S^, S ^ , . . . , S^ ^ l e s n - 1 o p é r a - t i o n s u n a i r e s d ' u n e a l g è b r e de L u k a s i e v i c z d ' o r d r e n .
De p l u s , dans une a l g è b r e de L u k a s i e v i c z d ' o r d r e n , nous avons l e s p r o p r i é - t é s s u i v a n t e s ( 3 ) :
PU. Si x < y a l o r s x V z < y V z P 5 . - ( x V y ) = - x A - y
P6. S. x < S0x < . . . < S x , -S 1x < - S 0x ^ . . . ^ - S . x
1 d n—i n - i n—d 1
P 7 . 1 e s t l e p l u s grand é l é m e n t , 0 e s t l e p l u s p e t i t é l é m e n t . P 3 . S ^ X V - S ^ x = 1 , i = 1 , . . . , n - 1
P9- Si( x V y l ^ S . x V S . y , i = 1 , . . . , n - 1 S^(x A y ) = S^x A S . y , i = 1 , . . . , n - 1
P10. S . S . x = S . x , i = 1 , . . . , n - 1 , j « 1 , . . . , n - 1 P l i . - S . - S . x = S . x , i = l , . . * , n - 1 , j = 1 , . . . , n - 1
J i i
P 1 2 . S . x A - S . x = 0 , i * 1 , . . . , n - 1
i l * * '
Dans t o u t c e q u i v a s u i v r e , pour s i m p l i f i e r l e s é c r i t u r e s , nous p o s e r o n s p a r d é f i n i t i o n :
D2. T . = xo e t T = (U 0 x , ) x0 ) T , a v e c n > 2 .
± n n— d n—x n—1
I I I . THEOREME 1.
Dans une algèbre de HiIbert-Bernay8 on a n - 1
T «
(( V
( x . - x . ) ) x0) Xo n k = 1 ~ k- l TtD é m o n s t r a t i o n : C e t t e é g a l i t é e s t v é r i f i é e pour n - 2 . Supposons l a d é m o n t r é e pour n - 1 . Nous avons a l o r s
n-2
TQ - ( ( xn_2 = * x n - 1 ) => X o ) ((( V ( xk^1 s xk ) ) = ^ X o ) =^ X o ) ksl
s o i t en t e n a n t compte de P I
n-2
Tq = ( ( ( xQ_2 ~ * x n - 1 ) x © ) A (( N / ( xk^1 x ^ ) x o ) ) Xo • k * l
En u t i l i s a n t P2 on o b t i e n t n-2
n n - 2 ^ V l V (Vi =* «•) 46 *<> »
n - 1
(( r / (x^^ x^)) = ^ x0) = ^ x0 e t l e théorème 1 e s t "bien d é m o n t r e . k = l
C e t t e é g a l i t é v é r i f i é e dans aine a l g è b r e de H i l b e r t - B e r n a y s nous donne a l o r s l e théorème s u i v a n t :
I V . THEOREME 2 .
Dans une algèbre de Hilbert-Bernays = 1 est équivalent à n - 1
(TM ( ( \/ ( x
k - 1= ^ x
k)) ^ x
0) ^ x
0= 1
Les théorèmes 1 e t 2 sont v a l a b l e s , à f o r t i o r i , dans une a l g è b r e de H e y t i n g .
V , THEOREME 3 .
Dans toute algèbre de Lukasiewicz d'ordre n (n > 2) lfégalité n - 1
(( \J ( x ^ =-> x ^ ) ) xc) = ^ x0 = 1 est vérifiée.
n - 1
D é m o n s t r a t i o n : Posons Tf = ( ( \J ( x , . x, )) Xo) x<> • n kv] L K - i &
En a p p l i q u a n t D l à x^ ^ =$> e t en u t i l i s a n t l e s p r o p r i é t é s de d i s t r i b u t i - v i t é on o b t i e n t
n - 1 n - 1
Tn = ( (
V
V (A
( - B .x,
. V S. x. ) ) )x
0) - » x
0=
n k-1 K i = 1 x
k
xk *
n - 1 n - 1
(( V
(A
( - S . * V S . ^ V xk) ) ) = ^ x 0) ^ X o »k=l i ^ = l
k
K(( A ( V (-SidoVl
V Si(k)*k
V xk
) ) ) * o )x<>
, i d é c r i v a n t l ' e n -x k— 1
semble des a p p l i c a t i o n s de [ l , . n - l ] dans l u i - m ê m e . Ce q u i s ' é c r i t e n c o r e
n - 2
Tn * ( ( A ^ -Si ( l)Xo ) V ( V ( S .(k)Xk V V ( 8 i ( n . l ) V l ) V n - 1
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Sur l'axiome d'Ivo-Thomas
Si i n ' e s t pas l ' a p p l i c a t i o n i d e n t i q u e i l e x i s t e un e n t i e r k t e l que
i ( k + l ) < i ( k ) . Or d ' a p r è s P 6 , s i i ( k + l ) < i ( k ) on a S . ^ j J ^ < Sifr)\ e t PU nous donne a l o r s ( S . ^ ^ V - S ^ ^ ) < ( S . (k)x k V - S . ^ j j ^ ) •
En u t i l i s a n t P7 e t P8 on o b t i e n t donc l e r é s u l t a t s u i v a n t :
s i i n ' e s t pas l ' a p p l i c a t i o n i d e n t i q u e on a S ^ ^ x ^ ^ " ^ i f k + l )3^ * ^ * S i i e s t l ' a p p l i c a t i o n i d e n t i q u e on a i ( k ) * k •
1 é t a n t l e p l u s grand é l é m e n t on a donc n - 1
T ' = ( ( V ( - S . x . . V S . x , V x . ) ) x0) Xo • n i ~ l
En a p p l i q u a n t à nouveau D l , P 2 , P3 e t P7 nous p e r m e t t e n t d ' é c r i r e n - 1 n - 1
n j-1 J i-1 X 1 - 1 1 1 1 J
n - 1 n - 1
( A ( ( - S , ( V < -s, -x, - i V Sixi V V S i x « ) ) x° '
j = l J i = l 1 l"A 1 1 J
s o i t e n c o r e d ' a p r è s P 9 , P 1 0 , P5 e t P l i n - 1 n - 1
T ! * ( A (( A ( S . x . A - S . x . A - S . x . ) ) V S . X o ) ) - » x0 . n j = l i s l 1™-*- * * J * J
A l ' a i d e de P 1 2 , P7 e t P6 , on v é r i f i e f a c i l e m e n t que
n - 1 n - 1 n - 1 A (( A ( S , x , . A - S . x , A - S . x , ) ) V S.Xo) » A S. x0 * S0X o »
j » 2 i = l 1 1 - 1 1 1 J 1 J j - 2 J d
n - 1
d ' o ù r - ((( A <Sixi - l A "Sixi A " V i ^ V Sl X o ) A (S2 Xo)) X o ' i = l
D ' a p r è s P6 on a < pour i « 1 , n - 1 , l a d i s t r i b u t i v i t é "
e n t r a î n e a l o r s n - 1
Tn = (( A <Sixi - l A -s ixi A S2x0) ) V ( SlXo A S2x0) ) x0 * n - 1
((( A ( S j X ^ A - Si Xi) ) A ( - S ^ ) A ( S j X , , A S2x0) ) V ( S ^ o A S2x0) ) Xo . Or une a l g è b r e de L u k a s i e v i c z d ' o r d r e n e s t en p a r t i c u l i e r un t r e i l l i s e t v é r i f i e p a r conséquent l e s l o i s d ' a b s o r p t i o n , p a r s u i t e
Tn = (Six° A *o 8 8 Sxx0 x0 d ' a p r è s P 6 ,
De p l u s , S^x x » 1 e s t un théorème dans une a l g è b r e de L u k a s i e w i c z d ' o r d r e n donc Tf * 1 e t l e théorème 3 e s t d é m o n t r é ,
n
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D ' a p r è s l e s théorèmes 1 , 2 e t 3 lfé g a l i t é ( T ) c o r r e s p o n d a n t à lfa x i o m e dfI v o Thomas e s t v é r i f i é e dans t o u t e a l g è b r e de L u k a s i e w i c z dfo r d r e n •
En prenant comme d é f i n i t i o n des a l g è h r e s de P o s t dfo r d r e n c e l l e que nous avons donnée dans C l ) on c o n s t a t e que lfé g a l i t é ( T ) e s t a u s s i v é r i f i é e dans t o u t e a l g è b r e de P o s t d ' o r d r e n •
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D.BECCHIO
Département de Mathématiques U n i v e r s i t é Claude Bernard 4 3 , bd du 11 novembre 1918 69621 VILLEURBANNE
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