Inégalités
Chapitre 13 – Inéquations
Depuis la première année, tu as l’habitude de travailler avec des équations càd des égalités.
Il est temps de travailler avec des inégalités.
Attention de bien lire les encadrés. Ils donnent des exemples très explicites pour vous aider à résoudre les exercices qui suivent. Il y a également quelques vidéos explicatives.
Bon travail !
1- Equations et inéquations
Une équation est une expression algébrique écrite sous la forme d’une égalité et dans laquelle il y a une ou plusieurs inconnues (lettres). Donc, résoudre une équation, c’est trouver la valeur de l’inconnue qui permet de vérifier cette égalité.
Ex : 3x + 4 = 10 est une équation dans laquelle x vaut 2 car 3.2+4 = 10 Tu as retravaillé cette matière dans un des dossiers précédents.
Dans une expression mathématique, si deux éléments ne sont pas égaux, ils sont forcément inégaux. Il y en a un plus grand que l’autre et inversement un plus petit que l’autre.
Une inéquation est donc une expression algébrique écrite sous la forme d’une inégalité dans laquelle il y a une inconnue. Le signe « = » est remplacé par un des
signes suivants :
• … < ⋯ → … 𝑝𝑙𝑢𝑠 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡 𝑞𝑢𝑒 …
• … > ⋯ → … 𝑝𝑙𝑢𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑 𝑞𝑢𝑒 …
• … ≤ ⋯ → … 𝑝𝑙𝑢𝑠 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡 𝑜𝑢 é𝑔𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 …
• … ≥ ⋯ → … 𝑝𝑙𝑢𝑑 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑 𝑜𝑢 é𝑔𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 … Ex : 3𝑥 + 4 < 3
Voici une situation afin de bien comprendre.
Anne et Bastien, amoureux de vêtements, se voient proposer deux formules dans une boutique.
Tout d’abord, la première formule consiste à un prix unique de 25€ par vêtement, quel que soit le vêtement.
La deuxième formule consiste à acheter une carte de 150€ qui permet l’achat des vêtements à 10€ pièce.
• En fonction de quoi varie le prix total à payer ?
………..
• Je considère que x est le nombre de vêtement et y est le prix total à payer.
• Ecris une expression algébrique qui décrit chaque formule ?
Formule 1 : y = ………
Formule 2 : y = ………
• Représente ces deux formules dans un repère cartésien après avoir trouvé deux points pour chaque formule et en traçant en noir la droite qui passe par les deux points de F1 et en rouge la droite passant par les deux points de F2 Dans chaque formule, je remplace x par une valeur.
Formule 1 Formule 2
x 0 2 x 0 5
y … … y … …
• Montre en vert sur ce graphique à quelle condition F1 > F2 (F1 au-dessus de F2) ?
• Ecris une inégalité qui exprime que la formule 2 est plus avantageuse que la formule 1 c-à-d que l’on paie moins pour la F2 que pour la F1 (F2 < F1).
Utilise les formules trouvées à la page 3.
……….
• Combien de vêtements faut-il acheter pour que la formule 2 soit la plus avantageuse ? Justifie grâce au graphique (F2 est en-dessous de la F1).
……….
Ce que tu viens de faire graphiquement est une résolution d’inéquations. En effet, tu as trouvé les valeurs que l’on doit donner à x pour que F2 < F1. Cette résolution peut donc se faire graphiquement mais également algébriquement. En voici l’exemple afin de vérifier ce que tu as trouvé précédemment.
Exemple de résolution algébrique : 10𝑥 + 150 < 25𝑥
10𝑥 − 25𝑥 < −150
−15𝑥 < −150 𝑥> −150
−15 Explication du changement de sens : voir point 2. p6 𝑥 > 10
Nombre de chemises supérieur à 10
Le but est qu’à la fin de ce dossier, tu saches faire cette résolution algébrique par toi- même. Pour cela, il est nécessaire de bien suivre chaque point de ce carnet.
Résumons :
Une inéquation est une ……….. qui contient une ou plusieurs inconnues.
L’ensemble des solutions d’une inéquation du premier degré à une inconnue est l’ensemble des valeurs que peut prendre ……….
pour vérifier l’inégalité.
https://www.youtube.com/watch?v=RlXFTycwNOY
2- Propriétés des inégalités
Voici quatre inégalités : 2 < 6 6 > −6 −4 < 2 −2 > −12 a. Pour chacune d’elles, suis la consigne pour écrire une nouvelle inégalité en partant
toujours de celle donnée au départ.
• Ajoute 3 aux deux membres : 5 < 9
• Retire 4 aux deux membres : −2 < 2
• Multiplie les deux membres par 4 : 8 < 24
• Multiplie les deux membres par -2 : −4 >−12
• Divise les deux membres par 2 : 1 < 3
• Divise les deux membres par -2 : −1>−3
b. Dans quel(s) cas observes-tu un changement de sens de l’inégalité ?
………
………
On peut donc dire :
• Addition et ordre
Si on ajoute (retire) un même nombre réel aux deux membres d’une inégalité, on obtient une inégalité de ………
• Multiplication et ordre
Si on multiplie (ou divise) les deux membres d’une inégalité par un même
nombre réel strictement positif, on obtient une inégalité de ………
Si on multiplie (ou divise) les deux membres d’une inégalité par un même
nombre réel strictement négatif, on obtient une inégalité de ………..
Exercices :
1) Complète par < 𝒐𝒖 > puis écrit une nouvelle inégalité en respectant la consigne. Entoure ensuite les inégalités qui ont changé de sens.
• 1 ………… 2 Ajoute 2 aux deux membres ………
• -2 ……….. 3 Multiplie les deux membres par -2 ………
• 9 ………… 6 Divise les deux membres par 3 ………
• 4 ………… 8 Retire 8 aux deux membres ………...
• -1 ……….. 1 Retire -5 aux deux membres .………..
• 12 ……… -18 Divise les deux membres par -6 ………...
2) Ecris une nouvelle inégalité en respectant la consigne. Entoure ensuite les inégalités qui ont changé de sens.
3- Solutions d’une inéquation
L’ensemble des solutions d’une équation du premier degré à une inconnue non particulière contient un seul nombre.
Par contre, tu as pu le voir grâce à l’exemple de la page 3 et 4, l’ensemble des solutions d’une inéquation du premier degré non particulière à une inconnue contient ………..
L’inégalité pouvant être vérifiée pour plusieurs nombres réels, on représente l’ensemble des solutions sur une droite graduée et on le note sous forme d’intervalles. https://www.youtube.com/watch?v=bZqZuBBiKp8
Remarque : Dans certains manuels, les points creux peuvent être représentés par des points rouges et les ponts pleins par des points verts.
Exercices :
1) Associe chaque représentation à sa notation.
2) Associe chaque inéquation à la représentation graphique de ses solutions et à sa notation.
3) Représente sur la ligne en pointillés tous les nombres vérifiant cette condition.
4) Complète le tableau.
4- Résolution d’inéquations
Comme dans les équations, on doit isoler l’inconnue.
Exercices :
1) Résous chaque inéquation en indiquant à côté des flèches la manière dont tu as neutralisé le « gêneur ». Représente et note l’ensemble des solutions.
2) Résous chaque inéquation en indiquant à côté des flèches la manière dont tu as neutralisé le « gêneur » à chaque étape. Représente et note l’ensemble des solutions.
3) En lisant bien la remarque et en essayant de ne plus utiliser de flèches, résous les inéquations suivantes et note la solution sous forme
d’intervalles.
4) Résous les inéquations suivantes et note la solution sous forme d’intervalles.
https://www.youtube.com/watch?v=4UHs9siB4Fc
5) Exercice de synthèse. Après avoir bien observé cet exemple, résous les inéquations suivantes et note l’ensemble des solutions sous forme d’intervalles.
𝑥 − 6 ≤ 9 4 < −2 + 𝑥 3𝑥 > 6
−2𝑥 < −8 −4𝑥 ≥ −10 𝑥
3
< 5
−𝑥
2 ≥ 3 2𝑥
5
≥ 7
2𝑥 − 7 > 85 − 2𝑥 < 14 12 − 5𝑥 < 𝑥 − 60 5𝑥 + 15 < 20 + 5𝑥
𝑥 3
≥
34
𝑥 − 6 ≥ 7 + 𝑥 −4𝑥 > −2
−2. (4 − 𝑥) < −𝑥 + 1 5 + 7. (2𝑥 − 1) > 13. (𝑥 + 1)
𝑥+3
4
+
5𝑥−62
<
𝑥3
1−2𝑥
2
−
𝑥−23
≥ −𝑥
5- Inéquations particulières
Comme dans les équations, il existe des inéquations particulières.
• Une inéquation impossible n’admet aucune solution.
Exemples :
0𝑥 < −3 0𝑥 > 5 0𝑥 < 0 0𝑥 > 0 𝑆 = ∅ 𝑆 = ∅ 𝑆 = ∅ 𝑆 = ∅
• Une inéquation indéterminée admet comme solutions tous les nombres réels.
Exemples :
0𝑥 > −3 0𝑥 < 5 0𝑥 ≤ 0 0𝑥 ≥ 0
𝑆 = ℛ 𝑆 = ℛ 𝑆 = ℛ 𝑆 = ℛ
Exercice : Résous les inéquations suivantes.
2𝑥 + 2 < 2𝑥 + 1 2𝑥 < 2𝑥 + 3
5𝑥 − 2 ≥ 5𝑥 − 3 −5. (𝑥 + 2) ≤ 3. (−2𝑥 − 3) − 1 + 3𝑥
6- Problèmes
1) Julie économise 15€ par semaine. Sachant qu’elle dispose déjà de 120€
d’économie, dans combien de semaines va-t-elle pouvoir acheter une tablette à 369€.
2) En s’aidant du plan ci-contre, un jardinier souhaite aménager un terrain carré formé d’une pelouse et de quatre parterres identiques de forme triangulaire comprenant des fleurs.
En utilisant les données fournies ; détermine les mesures que peut prendre x si le jardinier souhaite que le gazon occupe au moins les quatre cinquièmes de son terrain.
