R`egles du jeu
D´eroulement. Les projets se font `a 2 ou 3. Vous serez not´es sur un rapport final et sur une soutenance orale collective. La date de soutenance et de remise du rapport sera fix´ee ult´erieurement (sans doute mars 2009). Au cours du projet, vous devrez – proposer etjustifier un mod`ele math´ematique d’un probl`eme issu de la phy-
sique ;
– manipuler le mod`ele dans des cas simplifi´es pour mieux le comprendre ; – programmer etvalider une m´ethode num´erique d’approximation du mod`ele ; – commenter et critiquer vos r´esultats.
Rapport. La pr´esentation du rapport est tr`es importante. Veillez en particulier aux points suivants
– choisir un titre pertinent (´eviter par exemple ”L3MAGS5 CS”...) ;
– respecter les r`egles ´el´ementaires de la typographie (mettre un espace apr`es un point ou une virgule mais pas avant,etc.) ;
– utiliser un correcteur orthographique et si possible un correcteur grammatical ; – soigner l’introduction (fixer un cadre et des objectifs pr´ecis) et la conclusion
(bilan et perspectives) ;
– inclure une bibliographie pr´esent´ee suivant les r`egles.
Il est inutile de relier le rapport de fa¸con sophistiqu´ee (je pr´ef`ere des feuilles agraf´ees). Vous pouvez utiliser le traitement de texte que vous pr´ef´erez : LateX, MSWord, LYX1, OpenOffice, ... Soyez prudents : pensez `a faire des sauvegardes r´eguli`eres sur plusieurs supports.
Soutenance. Vous disposerez d’un vid´eo projecteur. Vos diapositives doivent ˆetre au format pdf. Vous disposerezexactementde 10 min par personne pour pr´esenter vos travaux, par cons´equent il est important d’avoir r´ep´et´e... La pr´esence de tous aux soutenances est obligatoire : vous devez donc ˆetre prˆets avant le jour J.
Conseils. Quelques remarques de bon sens :
– ne commencez pas votre projet au dernier moment ; – posez des questions ;
– faites des recherches `a la biblioth`eque et sur internet ; – travaillez en ´equipe ;
– Pour les cas 2D utiliser des programmes d´ej`a faits (comme FreeFem http:
//www.freefem.org/) ;
– Le cas ´ech´eant, utilisez ce qu’on fait vos pr´ed´ecesseurs (mais vous devez aller plus loin...)
Ci-dessous, vous trouverez quelques ´enonc´es de projet. Je peux ´eventuellement en produire d’autres.
1recommand´e !
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1. Dynamique des populations
1.1. Pr´esentation. On peut mod´eliser la r´epartition par ˆages (pyramide des ˆages) d’une population au moyen d’une fonction f : [0,120]×[0, T]→R. Le nombre de personnesNa,b(t) dont l’ˆage est compris entre aetb`a l’instantt est donn´e par
Na,b(t) = Z b
a
f(s, t)ds.
Proposer plusieurs mod`eles permettant de calculer l’´evolution de la pyramide des ˆ
ages au cours du temps. Le but est de simuler l’´evolution d’une population en prenant en compte divers ph´enom`enes (guerre, ´epid´emie ou baby-boom).
1.2. Mots-Cl´es. Mod`ele de population ˆage-d´ependant ; ´equation int´egro-diff´erentielle.
http://www.ird.fr/ur079/perso/bacaer/.
2. Modes propres d’un bassin
2.1. Mod´elisation math´ematique. Soit un bassin de forme polygonale Ω∈R2, rempli d’eau, de profondeur variable. La surface de l’eau se trouve `a la hauteur H(x, y, t) =h(x, y) +u(x, y, t),h´etant la hauteur d’eau au repos.
Apr`es agitation du bassin, on observe des oscillations de la surface de l’eau.
Ces oscillations sont quasi-sinuso¨ıdales et mettent assez longtemps `a s’att´enuer. On souhaite connaˆıtre les p´eriodes de ces oscillations, ainsi que la forme de la surface de l’eau. On attachera une attention particuli`ere aux conditions aux limites (plages, quai verticaux,etc.)
2.2. Mots-cl´es. Equation des ondes, ´´ equation de Helmholtz, ´el´ements finis, mode propres, FreeFem.http://www-irma.u-strasbg.fr/~helluy/ADMIN/CV/BANYULS.
3. Rupture d’un barrage
3.1. Mod´elisation math´ematique. Le but de ce projet est de simuler un ´ecou- lement d’eau sur une pente, `a la suite de la rupture d’un barrage. Les inconnues sont la hauteur d’eau h(x, y, t) et la vitesse de l’eau u(x, y, t). La topographie est d´ecrite par une fonctiona(x, y).
3.2. Mots-cl´es. Equations de Saint-Venant ; probl`´ eme de Riemann ; sch´ema de Ru- sanov ; sch´emas ´equilibre.http://www-irma.u-strasbg.fr/~helluy/hyper.html
4. principe de Huygens
4.1. Mod´elisation math´ematique. On veut r´esoudre l’´equation des ondes dans un carr´e deR2 Ω =]−1,1[×]−1,1[
(4.1)
utt−∆u= 0, (x, y, t)∈Ω×[0, T], u(x, y, t) = 0, (x, y)∈∂Ω,
ut(x, y,0) =u1(x, y), u(x, y,0) =u0(x, y).
Ce mod`ele peut par exemple repr´esenter les rides `a la surfaces de l’eau (voir autre projet). On sait calculer des solutions lorsque le domaine Ω est infini. Calculer cette solution en (x, y, t) = (0,0, t) lorsque
(4.2)
u0= 0 u1(x, y) =
(1 six2+y2<1/4 0 sinon.
La solution au point (x, y, t) = (0,0, t) co¨ıncide avec la solution en domaine born´e jusqu’`a ce que les ondes r´efl´echies au bord du domaine reviennent `a l’origine (prin- cipe de Huygens). Calculer l’instant o`u les solutions diff`erent. Programmer une m´ethode de diff´erences finies pour l’´equation des ondes coupl´ee `a une marche en temps de type ”saute-mouton”. Valider sur la solution exacte `a l’origine avant l’ins- tant de retour des ondes du bord. Simuler le ballottement de l’eau dans un bassin.
4.2. Mots-cl´es. Principe de Huygens ; sch´ema saute-mouton ; ph´enom`enes ondula- toires.http://www.cmap.polytechnique.fr/~haddar/Cours/ENSTA/ma201-td10.
5. Mod´elisation du trafic routier
5.1. Mod´elisation math´ematique. On peut mod´eliser le trafic routier sur une autoroute par des ´equations du type
ρt+ (ρv(ρ))x= 0,
o‘uρ(x, t) est la densit´e du trafic,v(ρ) la vitesse moyenne du trafic,xla position sur l’autoroute ett le temps. Mais il existe d’autres mod`eles. Proposer divers mod`eles pour la vitesse de traficv(ρ).
5.2. Analyse du mod`ele. Montrer que dans certains cas, on peut calculer des solutions analytiques. Essayer de mod´eliser un feu rouge et/ou un ´elargissement- r´etr´ecissement et/ou deux populations de v´ehicules (camions et voitures par exemple).
5.3. Mots-cl´es. Trafic routier ; volumes finis ; sch´ema de Godunov.http://www-gm3.
univ-mrs.fr/~leroux/publications/rdtrafic.zip
6. Transform´ee de Fourier discr`ete
6.1. Pr´esentation. La transform´ee de Fourier discr`ete a de multiples applications.
Il existe un algorithme rapide pour la calculer (algorithme de FFT). Il existe aussi des variantes utiles (comme la transform´ee en cosinus discr`ete). Le but de ce projet est de r´esoudre des EDP pos´ees sur un domaine p´eriodique grˆace `a la FFT. Montrer aussi comment r´esoudre le probl`eme de Neumann ou de Dirichlet sur un carr´e.
6.2. Mots-cl´es. FFT ; DCT ; EDP `a coefficients constants ; solution fondamentale.http:
//www.csupomona.edu/~tknguyen/egr509/Notes/Chapter7-1.doc
7. Transformation de Legendre
7.1. Pr´esentation. La transformation de Legendre est un outil math´ematique tr`es utile dans divers domaines des math´ematiques (optimisation, probabilit´e, th´eorie des EDP). Les applications sont nombreuses. Il existe de plus un algorithme rapide pour approcher num´eriquement cette transformation. Le but de ce projet est de programmer cet algorithme et de l’appliquer `a la r´esolution de l’´equation de Burgers grˆace `a la formule de Lax-Hopf.
7.2. Mots-cl´es. Fast Legendre transform ; ´Equation de Burgers ; inf-convolution ; formule de Lax-Hopf.http://oldweb.cecm.sfu.ca/projects/CCA/LLT/
8. D´eformation d’une membrane avec contraintes
8.1. Mod´elisation math´ematique. Une membrane ´elastique est plac´ee pr`es d’un mur et subit une d´eformation `a cause du vent. Le d´eplacement suivantxest not´e u(y) (ou u(y, z) en 2D). L’´energie de la membrane est
(8.1) E(u) =
Z L
y=0
1
2u0(y)2−u(y)p(y)
dy
o`u p(y) est la force de pression du vent au point y. La membrane doit se trouver dans une position qui minimise l’´energie sous contrainte que le d´eplacement soit inf´erieur `a D , la distance au mur
(8.2) E(u) = min
v6DE(v)
8.2. Analyse du mod`ele. Monter que formellement, le probl`eme devient
(8.3)
−u00(y) =f(y) +r(y), 06y61, u(0) =u(L) = 0,
r(y)60,
r(y)<0⇒u(y) =D.
(me consulter).
8.3. Application num´erique. Programmer une m´ethode de diff´erences finies cou- pl´ee `a la m´ethode d’optimisation d’Uzawa pour r´esoudre le probl`eme. Valider avec des solutions exactes lorsque la force du vent est faible.
8.4. Mots-cl´es. Optimisation sous contrainte ; algorithme d’Uzawa ; probl`emes de contact.http://public.enst-bretagne.fr/~chonavel/poly_optim_00/node51.
htm
9. Cavit´e entraˆın´ee
9.1. Pr´esentation. Un fluide visqueux s’´ecoule dans un carr´e. Sa vitesse est nulle sur trois cˆot´es et impos´ee `a une valeur constante sur un des cˆot´es. Mod´eliser puis simuler num´eriquement l’´ecoulement pour plusieurs valeurs du nombre de Reynolds.
9.2. Mots-cl´es. Navier-Stokes ; nombre de Reynolds ; sch´ema MAC ; diff´erences finies ; probl`eme de Stokes ; Freefem.http://www.grc.nasa.gov/WWW/wind/valid/
cavity/cavity.html
10. Dissolution d’un sucre
10.1. Pr´esentation. Simuler de fa¸con r´ealiste la dissolution du sucre dans une tasse de caf´e 3D.
10.2. Mots-cl´es. El´´ ements finis ; ´equation de diffusion ; Freefem 3D.http://www.
freefem.org/ff3d/
