L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 − 2011-2012
D. Blottière Mathématiques
Devoir de vacances
Pour le vendredi 2 septembre.
Exercice 1 Soit (O;−→
i ,−→
j ) un repère orthonormé du plan. Soient les trois points du plan A(2; 4) B(4; 3) C(−2; 1).
1. Démontrer que les points A, B etC ne sont pas alignés.
2. Donner une équation cartésienne du cercleCABC passant par les points A, B etC.
3. SoitM(a;b)un point quelconque du plan et soientM0,M00etM000les projetés orthogonaux deM sur les droites (AB),(AC) et(BC) respectivement.
(a) Déterminer les coordonnées deM0,M00 etM000 en fonction des coordonnées (a;b)de M.
(b) Démontrer l’équivalence suivante.
M0, M00 et M000 alignés ⇐⇒ M ∈ CABC
Exercice 2
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 4. Un sac contient n boules numérotées de 1 à n.
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
1. On tire successivement 3 boules sans remise. Soitk un nombre entier compris entre 3 et n. Déterminer la probabilité des événements suivants.
Ak « les 3 boules ont un numéro inférieur ou égal àk » ;
Bk « le plus grand numéro figurant sur les boules tirées est le numérok».
2. On place lesn boules au hasard dans nboîtes numérotées de 1 àn, chaque boîte pouvant contenir de 0 àn boules.
(a) Soit k un entier naturel non nul. Déterminer la probabilité que les boules dont le numéro est inférieur ou égal à k soient placées dans des boîtes dont le numéro est inférieur ou égal àk.
(b) On note pn la probabilité que chaque boîte contienne exactement une boule.
i. Montrer que :
pn= n!
nn.
ii. À l’aide de la formule du binôme de Newton, montrer l’inégalité :
∀x∈ + (1 +x)n≥1 +nx.
iii. En déduire que pn pn+1 ≥2.
iv. Étudier la limite éventuelle de(pn)n∈N≥4 quand n tend vers +∞.
Exercice 3
On considère une pièceAdont la probabilité d’apparition de FACE est1/2et une pièceB dont la probabilité d’apparition de FACE est 1/3.
On choisit au hasard une pièce que l’on lance. Si on obtient FACE, on la relance, sinon on change de pièce. On effectue une succession de lancers.
Pour tout n∈N∗, on note :
Fn « on obtient FACE au n-ième lancer » ; An « on jette la pièce A aun-ième lancer ».
1. ExprimerP(An+1)en fonction deP(An)pour toutn ∈N∗. En déduire une expression de P(An) en fonction den pour toutn ∈N∗.
2. Donner une expression deP(Fn)en fonction deP(An)pour tout n∈N∗. En déduire une expression de P(Fn) en fonction de n pour toutn ∈N∗.
Exercice 4
Soit (un)n∈N la suite définie par u0 ∈R et la relation de récurrence : un+1 =u2n+1
2un
valable pour tout n∈N.
1. (a) Représenter graphiquement les fonctions : f: x7→x2+1
2x et g: x7→x dans un repère(O;−→
i ,−→ j ).
(b) Quelles conjectures peut-on formuler quant à la monotonie éventuelle et au compor- tement asymptotique de la suite (un)n∈N, suivant la valeur donnée à u0?
2. On pose u0 = 1 4.
(a) Démontrer que pour tout n∈N :
0< un < 1 2. (b) Étudier le sens de variation de la suite (un)n∈N.
(c) Démontrer que pour tout n∈N∗ :
0< un≤ 3 16.
(d) Démontrer que pour tout x∈
0, 3 16
:
f0(x)≤ 7 8.
(e) En déduire, en appliquant le théorème des accroissements finis, que pour tout n ∈ N∗ :
un≤ 7 8 un−1
puis que :
un≤ 7
8 n−1
u1.
(f) En déduire le comportement asymptotique de la suite(un)n∈N. 3. On pose maintenantu0 = 1.
(a) Démontrer que la suite (un)n∈N est strictement croissante et minorée par 1.
(b) Démontrer que sur [1,+∞[,f0 est minorée par 5 2.
(c) Montrer, en appliquant le théorème des accroissements finis, que pour tout n ∈N∗ : un+1−un≥ 5
2(un−un−1). (d) En déduire que pour tout n∈N :
un+1−un≥ 5
2 n
(u1−u0).
puis que pour tout n∈N∗ :
un≥ 1 2×
5 2
n−1
.
(e) En déduire le comportement asymptotique de la suite (un)n∈N.
Exercice 5
Soit n ∈N∗. On pose :
In= (−1)n n!
Z e 1
(ln(t))n dt.
1. (a) À l’aide d’une intégration par parties, montrer que I1 =−1.
(b) Montrer que pour tout n∈N∗, on a :
In+1 =In+ (−1)n+1 (n+ 1)!e.
(c) Montrer que pour tout n∈N∗, on a : In =e
n
X(−1)k k!
!
−1.
2. (a) Démontrer que pour tout n∈N∗ : 0≤
Z e 1
(ln(t))n dt≤e−1.
(b) En déduire que pour tout n∈N∗ :
|In| ≤ e−1 n! . (c) Que peut-on en déduire pour la suite (In)n∈N∗? (d) Pour tout n ∈N∗, on pose :
Sn =
n
X
k=0
(−1)k k! .
Déduire de ce qui précède que la suite (Sn)n∈N∗ converge et préciser sa limite.
Exercice 6
Soit f la fonction définie par :
f: R→R; x7→
p|x| ln(x2) six6= 0 0 six= 0.
1. Soitx∈R∗. Écriref(x)« sans valeur absolue et sans carré ». On pourra distinguer deux cas, suivant le signe de x.
2. Démontrer que f est paire.
3. Démontrer que f est continue sur R. 4. La fonction est-elle dérivable en 0 ?
5. Étudier les variations def et préciser ses limites éventuelles en −∞ et en +∞.
6. Tracer l’allure de la courbe représentativeC def dans un repère orthonormé du plan.
7. Soitλ ∈]0,1[. Calculer l’aire A(λ) de la partie du plan comprise entre la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = λ et x = 1. Cette aire A(λ) admet-elle une limite quand λ tend vers 0 ?
Exercice 7
Soit f la fonction définie par :
f : R → R
x 7→
Z 2x x
√ 1
4 +t4 dt . 1. Justifier que la fonction f est bien définie.
2. Montrer que la fonctionf est impaire.
3. Montrer quef est dérivable sur Ret calculer, pour tout x∈R,f0(x).
4. Étudier les variations def. 5. Montrer que pour toutt ∈h√
2,+∞h :
√1 2
1
t2 ≤ 1
√4 +t4 ≤ 1 t2 et en déduire le comportement asymptotique de f en+∞.
Exercice 8
Soit A la matrice définie par :
A=
1 0 1
0 1 −1
1 −1 2
.
L’objectif de cet exercice est de résoudre l’équation matricielle : (E) M2 =A
d’inconnue M ∈ M3(R).
1. Résoudre le système linéaire :
(Sλ) (A−λI3)
x y z
=
0 0 0
d’inconnue
x y z
∈ R3, où λ ∈ R est un paramètre. On pourra distinguer plusieurs cas suivant la valeur de λ.
2. Soit u0 l’unique solution de (S0) de première composante 1, soit u1 l’unique solution de (S1)de première composante1et soitu3l’unique solution de(S3)de première composante 1.
Soit P la matrice 3×3dont la première colonne est formée des composantes de u0, dont la deuxième colonne est formée des composantes de u1 et dont la troisième colonne est formée des composantes deu3.
Montrer que P est inversible et calculer P−1. 3. Calculer la matriceD=P−1AP.
4. (a) Soit M ∈ M3(R) telle queM2 =D.
i. Montrer queD et M commutent, puis que M est diagonale.
ii. En déduire que M appartient à l’ensemble : R(D) =
0 0 0
0 1 0
0 0 √ 3
,
0 0 0
0 1 0
0 0 −√ 3
,
0 0 0
0 −1 0
0 0 √
3
,
0 0 0
0 −1 0
0 0 −√ 3
.
(b) Montrer que réciproquement tout élément M de R(D) vérifieM2 =D.
(c) En déduire l’ensemble solution de :
(E0) M2 =D.
5. (a) Soit M ∈ M3(R). Montrer que si M est solution de (E), alors P−1M P est solution de(E0).
(b) En déduire l’ensemble solution de (E).
Indication : On pourra s’inspirer de la question 4 et montrer, en utilisant 5.(a), que les solutions de(E) appartiennent à un certain sous-ensemble R(A) de M3(R) que l’on précisera, puis vérifier que réciproquement tous les éléments de cet ensemble R(A) sont bien solutions de (E).
