Enoncé A565 (Diophante) Qui sommes-nous ?
On considère l’ensembleE des entiers naturelsn≤2013 tels que le produit des diviseurs propres de nest égal à une puissance entièrek >0 den. Par convention,on dit que l’empan de n est égal à k. Par exemple l’entier 12 appartient à E : avec ses diviseurs propres 1, 2, 3, 4 et 6 qui ont pour produit 144 = 122 et son empan est égal à 2. A l’inverse le carré parfait 25 dont le produit des diviseurs propres est égal à 5 et le nombre premier 13 dont le seul diviseur propre est 1 ne font pas partie deE.
Quatre entiers A, B, C et D pas nécessairement pris dans cet ordre et appartenant àE forment une progression arithmétique.
A : « Mon empan est pair. »
B : « J’ai sans conteste le plus grand empan dans E. »
C : « Je suis plus petit queA mais j’ai le même empan que lui. »
D: « Parmi les entiers deEsupérieurs àBcomme moi, tous ont un empan différent du mien. »
Qui sommes-nous ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soitd(n) le nombre des diviseurs den(y compris 1 etnlui-même) etP(n) leur produit. L’ensemble E comprend les entiers ntels que P(n) =nk+1. Si n=mq, avec m etq premiers entre eux, chaque diviseur de n correes- pond à un couple bien déterminé d’un diviseur de m et d’un diviseur de q. Ainsi d(n) =d(m)d(q). De plus, chaque diviseur deq figure dans d(m) diviseurs de n, et chaque diviseur de m dansd(q) diviseurs den, en sorte que P(n) =P(m)d(q)·P(q)d(m), et
P(n)1/d(n)=P(m)1/d(m)·P(q)1/d(q) est une fonction multiplicative.
Si n=pc, puissance du nombre premierp,d(n) = 1 +c, P(n) = 1·p· · ·pc=p(1+c)c/2 =pcd(n)/2=nd(n)/2.
La fonction multiplicative P(n)1/d(n) vaut √
n quand n est puissance de nombre premier, et aussi (par multiplication) pour toutn.
Pour quenappartienne àE, il faut et il suffit que d(n) = 2k+ 2, nombre pair>2.
Un programme factorisant les entiers de 1 à 2013 permet de voir lesquels sont éléments deE, et avec quel empan.
On détermine d’abord B = 1680, d’empan 19. Les empans 10, 12, 16 n’apparaissent pas avant l’entier 3072.
La liste des empans des entiers de 1682 (1681 = 412 n’est pas dans E) à 2013 montre deux valeurs d’empan qui n’apparaissent qu’une fois : 13 (pour 1728) et 14 (pour 1872).D est 1728 ou 1872.
Les conditionsB < DetC < Adonnent 6 possibilités pour la progression arithmétique : B < C < A < D, C < B < A < D, B < C < D < A, C < A < B < D, C < B < D < A et B < D < C < A soit pour les couples (C, A) :
– pour D = 1728 : (1696,1992), (1656,1704), (1704,1752), (1584,1632), (1632,1776), (1776,1824).
– pour D = 1872, avec la limite A ≤ 2013 : (1744,1808), (1584,1776), (1776,1968), (1296,1488).
Le seul couple donnant une même valeur paire (4) aux empans deA etC est (1744,1808), d’où
A= 1808,B = 1680,C = 1744,D= 1872.
