A
B
O
Chapitre 2 : symétrie centrale
Utile dans le langage courant, ne pas confondre les deux symétries : axiale ( droite ) et centrales (point).
I. Symétrie par rapport à un point.
La figure 2 est obtenue à partir de la figure 1 par un demi-tour autour du point O.
On dit que la figure 2 est « la symétrique de la figure 1 par rapport au point O ».
On dit aussi qu’elle est « l’image de la figure 1 par la symétrie de centre O ».
Propriété fondamentale 1.1:
Si O est le milieu du segment [AB], alors les deux points A et B sont symétriques par rapport au point O.
Cas particulier: le symétrique de O par rapport à O est le point O lui même. On dit qu’il est invariant.
Propriété 1.2 :
Si deux points A et B sont symétriques par rapport au point O , alors le point O est le milieu du segment [AB].
Ex 1, 2, 4, 6 et 7 page 149
II. Symétrique centrale et constructions : sans quadrillage 1) Construire l'image d'un point :
Les points A et O sont placés, il faut placer le point A' tel que les points A et A' soient symétriques par rapport à O.
On trace la demi-droite [AO). On trace un arc de cercle de centre O et de rayon OA. Il coupe la demi-droite [AO) en un point.
On place le point A' à
l'intersection de la demi-droite [AO) et de l'arc de cercle. On code la figure.
2) Construire l'image d'un segment
Méthode pour construire le symétrique, par rapport au point O, du segment [AB] : (1) construire le symétrique du point A : A'
(2) puis le symétrique du point B : B'.
(3) tracer le segment [A'B'].
A O
A O
A O A'
fiche + ex 36 page 153
3) Construire l'image d'une demi-droite, d'une droite
Méthode : construire l'image de deux points (attention aux demi-droites).
O
A’
A
C
C ’
A
B
A’
B’ O
III.
Propriétés de la symétrie centrale 1) Segments
Propriété 1.3 :
Si deux segments sont symétriques par rapport à un point alors ils ont la même longueur
2) Droites
Propriété 1.4 :
Si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont parallèles
3) Cercle
Propriété 1.5 :
Si deux cercles sont symétriques par rapport à un point alors ils ont le même rayon.
Méthode de construction:
1. Construire l'image du point A.
2. Construire l'image du cercle ( avec le même rayon ).
4) Angles
Propriété 1.6 :
Si deux angles sont symétriques par rapport à un point alors ils ont la même mesure.
5) Figure
: Propriété 1.7 :Si deux figures sont symétriques par rapport à un point
alors elles sont superposables , en particulier : elles ont la même aire et le même périmètre.
Autre façon d'énoncer les propriétés :
1) La symétrie centrale conserve les longueurs.
2) La symétrie centrale transforme une droite en une droite parallèle.
IV. Symétrie centrale : constructions avec quadrillage
But construire le point A' : symétrique du point A par rapport au point O sans compas ni règle graduée.
Méthode : utiliser le quadrillage.
On reporte le chemin de A à O à partir du point O : on arrive en A'.
Pour construire l'image de la droite (d), à partir du point A', on s'aide du quadrillage car les droites (d) et (d') sont parallèles. ( propriété 1.4)
V. Centre de symétrie d’une figure.
Définition : Lorsqu’une figure se superpose à sa symétrique par rapport à un point O, on dit que O est le centre de symétrie de la figure.
Exemples :
O est le centre de symétrie du rectangle ABCD.
remarque : AO = OC et DO = OB
Le centre d’un cercle est son centre de symétrie.
O
A B
C D
A
O
4 en bas 6 à droite
A'
(d) (d')
