yOxaigu donné. Il ne dépend pas du point M choisi sur la demi-droite [O

Cosinus d’un angle aigu I - Activité pour découvrir le cosinus :

Les perpendiculaires en A, B, C, D, E et F à la demi-droite [Ox) coupent la demi-droite [O^y ) respectivement en A’, B’, C’, D’, E’ et F’.

 Premier exemple : ^xOy 40°

OA  OB  OC  OD  OE  OF 

OA’  OB’  OC’  OD’  OE’  OF’ 

OA

OA'  ^OB'_OB  ^OC'_OC  ^OD'_OD  ^OE_OE^'  ^OF_OF^' 

 Deuxième exemple : ^xOy 27°

OA  OB  OC  OD  OE  OF 

OA’  OB’  OC’  OD’  OE’  OF’ 

OA

OA'  ^OB'_OB  ^OC'_OC  ^OD'_OD  ^OE_OE^'  ^OF_OF^' 

Conclusion :

Le rapport entre la longueur du segment obtenu après la construction [OM’] et la longueur du segment initial [OM] est constant pour un angle

y O

x  aigu donné. Il ne dépend pas du point M choisi sur la demi-droite [O x).

Définition :

Dans le cas où ^xOyest un angle aigu, ce rapport est appelé le cosinus de l’angle^xOy.

Remarques :

 Le cosinus d’un angle aigu est compris entre 0 et 1.

 On utilise la calculatrice pour avoir une valeur plus précise que celle du rapport mesuré grâce à la touche « cos ».

cos 40°  0,766 et cos 27°  0,891 II - Cosinus et triangle rectangle :

A B

D

E

C

A' B' C' D' E'

O

(x)

(y)

1.

Définition :

Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un des deux angles non droits est le rapport entre le côté adjacent à cet angle et l’hypoténuse.

Application :

cos Bˆ  ^côté_hypoténuse^adjacent cos Bˆ  _BC^AB

Méthode :

Le côté adjacent à l’angle se repère en surlignant l’angle et en repérant d’abord l’hypoténuse du triangle rectangle et le côté « restant » surligné est le côté adjacent à l’angle.

III. But et utilité du cosinus :

Dans un triangle rectangle le théorème de Pythagore permettait de trouver un côté manquant à condition : de connaitre 2 côtés.

Exemples :

Le cosinus permet de calculer la mesure d’un côté si on connait un côté et un angle.

1. Trouver un côté de l’angle droit .

On considère le triangle ABD rectangle en B tel que AD=6,32 et BAD^ˆ  35

 Dans le triangle rectangle ABD.



cos( ˆ ) cos( ˆ )

cos( ˆ ) 6,32 cos(35 )

5, 2

côtéadjacentàlangle BAD hypoténusedutriangle BAD AB

AD

AD BAD AB

AB AB





 

  

 A

C

B hypoténuse

Côté adjacent à l’angle B

2. Trouver l’hypoténuse du triangle : On considère un triangle IJK rectangle en I Tel que ^{IK 3,7cm} IKJ^ˆ  60

 Dans le triangle rectangle IJK.

cos( ˆ ) cos( ˆ )

cos( ˆ ) cos( ˆ )

3,7 cos(60 ) 7, 4

côtéadjacentàlangle IKJ hypoténusedutriangle IKJ IK

KJ

KJ IKJ IK

KJ IK

IKJ KJ

KJ





 



 



3. Trouver un angle du triangle rectangle

On considère le triangle RST rectangle en R tel que RT = 5,3 cm et ST=6,12cm

 Dans le triangle rectangle RST.

1

ˆ ' cos( )

' cos( ˆ )

ˆ 5,3 cos( )

6,12

5,3 ˆ

cos ( )

6,12

ˆ 30

côtéadjacentdel angle RTS l hypoténusedutriangle RTS TR

TS RTS

RTS RTS











 