Test de Statique 2014-2015
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Téléphone et autres appareils électroniques interdits.
La clarté des explications sera prise en compte.
Les expressions seront données de manière littérale avant application numérique.
Chaque exercice est indépendant.
Durée 2h
EXERCICE 1 – (1h – 9 points) :
Le système mécanique ci-dessous représente une grue pour bateau inférieur à 5 tonnes.
La grue comporte 6 ensembles cinématiques (cf. figure 1) :
le châssis 0 en liaison complète avec le sol
la flèche 1 en liaison pivot d’axe 𝑧⃗ avec le châssis 0 en C
la biellette 2 en liaison pivot d’axe 𝑧⃗ avec le châssis 0 en A
le vérin 3 (considéré monobloc pour l’étude statique) en liaison rotule avec le châssis en E et en liaison rotule avec la flèche en F
la fléchette 4 en liaison pivot d’axe 𝑧⃗ avec la flèche 1 en D et en liaison pivot d’axe 𝑧⃗
avec la biellette 2 en B
le crochet 5 en liaison pivot d’axe 𝑧⃗ avec la fléchette 4 en J
On néglige le poids propre de chaque élément devant les efforts en présence.
Le bateau est lié au crochet au point K. On peut considérer cette liaison comme une ponctuelle d’axe 𝑦⃗ au point K. Soit 𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑏/5, la force maxi du bateau sur le crochet tel que ‖𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = 50 𝑘𝑁. 𝑏/5
Figure 1 : Disposition de la grue quand le vérin est incliné de 30°
Objectif : Déterminer l’effort maxi dans le vérin dans cette configuration.
Données pour la configuration de la figure 1 : 𝐷𝐽⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝑥𝐷𝐽 = 999,18 𝑚𝑚
𝑦𝐷𝐽 = −40,56 𝑚𝑚 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝑥𝐷𝐵 = −587,66 𝑚𝑚 𝑦𝐷𝐵 = +809,11 𝑚𝑚 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝑥𝐶𝐷 = +1892,25 𝑚𝑚
𝑦𝐶𝐷 = +4628,11 𝑚𝑚 𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = | 𝑥𝐶𝐹= +567,67 𝑚𝑚 𝑦𝐶𝐹 = +1388,43 𝑚𝑚 𝛼 = 30° 𝜃 = 30°
Q 1. Faites le graphe de liaison en indiquant les forces extérieures, le nom, les caractéristiques (Point, Axe) et le nombre d’inconnue (Problème plan) de chaque liaison.
Q 2. Déterminez l’ordre dans lequel nous pourrions isoler. Justifiez votre réponse Isolement 1 : Justifications :
Systèmes soumis à 2 forces : -
Isolement 2 : -
-
Isolement 3 : Systèmes avec 3 inconnues maxi : - Itération 1 :
Isolement 4 : - Itération 2 :
Isolement 5 :
Q 3. Réalisez les isolements des trois systèmes soumis à 2 forces. On ne demande « que » l’expression des torseurs en fonction de l’intensité de la force et des angles correspondants.
Q 4. Réalisez l’isolement du système 4. Montrez que l’intensité de l’action en B de 2/4 et les actions sur 𝑥⃗ et 𝑦⃗ en D de 1/4 sont :
𝐹420= 𝑥𝐷𝐽
𝑦𝐷𝐵. 𝑠𝑖 𝑛 𝜃 − 𝑥𝐷𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑃𝑏/5 𝑋̅1/4= 𝑥𝐷𝐽
𝑦𝐷𝐵. 𝑠𝑖 𝑛 𝜃 − 𝑥𝐷𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑃𝑏/5. 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑌̅1/4 =𝑦𝐷𝐵. 𝑠𝑖 𝑛 𝜃 + (𝑥𝐷𝐽 − 𝑥𝐷𝐵). 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑦𝐷𝐵. 𝑠𝑖 𝑛 𝜃 − 𝑥𝐷𝐵. 𝑐𝑜𝑠𝜃 . 𝑃𝑏/5
Q 5. Réalisez l’isolement du système 1. Déterminez l’intensité de l’action en F de 3/1 et les actions sur 𝑥⃗ et 𝑦⃗ en C de 0/1.
Pour alléger les expressions vous utiliserez le torseur de 4/1 ci dessous. Les termes 𝑋̅4/1 et 𝑌̅4/1 sont connus (cf. q4)
{ℑ4/1} = {
𝑋̅4/1 0 𝑌̅4/1 0
0 0
}
𝐷
= {−19,14 𝑘𝑁 0
−109,03 𝑘𝑁 0
0 0
}
𝐷
Q 6. Quel est l’intensité de l’effort dans le vérin ?
EXERCICE 2 – (40 min – 7 points) : On se propose d’étudier la stabilité d’une barre de musculation lorsqu’elle est posée sur son banc.
La modélisation ci-dessous représente la barre de musculation chargée avec les poids en A et B et posée sur le banc en J et K. On suppose pour ce problème que la position des points A et B est fixe quel que soit le nombre de poids.
Pour étudier la stabilité dans de bonnes conditions nous utiliserons le paramétrage suivant :
La barre de musculation n’est malheureusement pas centrée sur le banc (𝑎 et 𝑏 ne sont pas égaux)
Les masses ne sont pas égales. (𝑀𝑔/𝑏 ≠ 𝑀𝑑/𝑏) Ceci permet de prendre en compte les phases de chargement/déchargement qui ne peuvent pas toujours s’effectuer simultanément de chaque côté.
Le poids de la barre nue vaut 𝑃 = 96 𝑁. Attention, le système n’étant pas symétrique, la force associée à cette masse est au centre de la barre de musculation, c'est-à-dire au milieu de [AB]. Elle n’est donc pas au milieu de [JK]. Si (et seulement si) vous n’arrivez pas à déterminer cette position, considérez que la distance du centre de gravité de la barre nue au point J est définie par le paramètre 𝑐.
Q 1. En isolant la barre de musculation + les poids en A et B, montrez que les actions en J et K sont données par les relations :
𝐹𝐽 =(𝑎 + 𝑒). 𝑀𝑔/𝑏− 𝑏. 𝑀𝑑/𝑏+𝑒+𝑎−𝑏2 . 𝑃 𝑒
𝐹𝐾 =(𝑏 + 𝑒). 𝑀𝑑/𝑏− 𝑎. 𝑀𝑔/𝑏+𝑒+𝑏−𝑎2 . 𝑃 𝑒
Q 2. Lors du déchargement de la barre de musculation, on ne peut pas enlever dans le même temps les poids coté gauche et coté droit. On cherche dans cette question à déterminer l’écart de masse limite ∆𝑀𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 entre le coté gauche et le coté droit avant basculement vers la gauche (sens trigo).
On pose 𝑀𝑑/𝑏= 𝑀𝑔/𝑏− ∆𝑀𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒.
Exprimez ∆𝑀𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒.
Application numérique : 𝑎 = 𝑏 = 100 𝑚𝑚 𝑒 = 500 𝑚𝑚 𝑀𝑔/𝑏= 300 𝑁 𝑃 = 96 𝑁.
Peut-on décharger tout le coté droit sans risque ?
Q 3. On prend maintenant l’hypothèse qu’il y a autant de poids de part et d’autre de la barre de musculation : 𝑀𝑔/𝑏= 𝑀𝑑/𝑏 = 300 𝑁. Au moment de poser la barre sur le banc, l’utilisateur est complètement décalé (théoriquement impossible). Dans cette configuration particulière 𝑏 = 0, 𝑎 = 200 𝑚𝑚 et 𝑒 = 500 𝑚𝑚. Est-ce stable ?
EXERCICE 3 – (20 min – 4 points) : Pour la poutre ci-dessous, le poids propre est négligé et le problème est assimilable à un problème plan.
Valeurs numériques :
𝑎 = 2 𝑚 𝑝 = 2000 𝑁/𝑚
Q 1. Exprimez puis calculez les actions aux appuis.
Applications numériques :
𝒀̅𝑨 = 𝒀̅𝑪 =
