Test de Statique 2013-2014

Test de Statique 2013-2014

Aucun document autorisé. Calculatrice autorisée.

Téléphone et autres appareils électroniques interdits.

La clarté des explications sera prise en compte.

Les expressions seront données de manière littérale avant application numérique.

Chaque exercice est indépendant.

Durée 2h

EXERCICE 1 – (45 min – 7 points) : Un étudiant du Marathon Shell souhaite charger une caisse dans la remorque. Pour cela il pose une planche entre le sol et la remorque.

Hypothèses :

 L’étudiant est capable de fournir un effort de poussée 𝐹⃗⃗⃗⃗ _𝑃 de 500 𝑁 parallèle à la planche et à mi hauteur de la caisse.

 Caractéristiques de la caisse : Hauteur ℎ = 1 𝑚, Longueur 𝐿 = 1,5 𝑚, Largeur 𝑘 = 80 𝑐𝑚, Poids 𝑃⃗ (1000 𝑁) au centre de la caisse.

 Le contact plan/plan entre la caisse et la planche est géométriquement « parfait », physiquement avec frottement. La route est horizontale. On considère le frottement entre la caisse et la planche uniforme sur toute la surface de contact. 𝑓 = 0,2.

Q 1. Sur le schéma ci-dessous représentez (qualitativement, c'est-à-dire pas à l’échelle) les forces en présence lorsqu’on isole la caisse. (Sens des forces 0,5 points - R passe par G 0,5 points)

Q 2. Faites le Bilan des Actions Mécaniques Extérieures à la caisse sous la forme de torseur.

Pour la suite on notera 𝑹_𝒔/𝒄= 𝑹, 𝑷_𝒈/𝒄 = 𝑷 et 𝑭_𝒆/𝒄 = 𝑭 Système matériel isolé : SMI={La caisse}

{ℑ_{𝐹/𝑆𝑀𝐼}} = {−𝐹 0

0 0

0 0

}

𝐴 𝑜𝑢 𝐺

(0,5 points) {ℑ_{𝑃/𝑆𝑀𝐼}} = { 𝑃. 𝑠𝑖𝑛𝛼 0

−𝑃. 𝑐𝑜𝑠𝛼 0

0 0

}

𝐺

(1 point) {ℑ_{𝑅/𝑆𝑀𝐼}} = {𝑅. 𝑠𝑖𝑛𝜑 0

𝑅. 𝑐𝑜𝑠𝜑 0

0 0

}

𝐵 𝑜𝑢 𝐺

(1 point)

C’est un système soumis à 3 forces coplanaires et non parallèle. Les droites supports des forces sont concourantes. Puisque la droite support de F passe par G et que la droite support de P passe par G, alors la droite support de R passe aussi par G.

Q 3. Si l’angle 𝛼 vaut 10°, l’étudiant arrive t’il à faire glisser la caisse sur la planche pour la charger dans la remorque ?

Pour étudier si le mouvement est possible, on se place à la limite de l’équilibre.

Plusieurs stratégies sont possibles :

 Chercher la valeur limite de F à partir de laquelle la caisse se déplace.

 Chercher la valeur limite de 𝜑 (ou f) en dessous de laquelle la caisse se déplace.

On va présenter ici la démarche pour les deux stratégies. Dans tous les cas, il faut commencer par appliquer le principe fondamental de la statique à la caisse isolée.

On applique le Principe Fondamental de la Statique (P.F.S.) (1 point)

∑ 𝐹 = 0⃗ sur 𝑥 : −𝐹 + 𝑃. 𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑅. 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 0 sur 𝑦 : −𝑃. 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑅. 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0

On ne connaît pas la réaction du sol sur la caisse. Comment éliminer ce paramètre ? 𝑅. 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝐹 − 𝑃. 𝑠𝑖𝑛𝛼 (1)

𝑅. 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑃. 𝑐𝑜𝑠𝛼 (2)

(1)

(2)→ 𝑡𝑎𝑛𝜑 =^{𝐹−𝑃.𝑠𝑖𝑛𝛼} _{𝑃.𝑐𝑜𝑠𝛼} → 𝑓 =^{𝐹−𝑃.𝑠𝑖𝑛𝛼} _{𝑃.𝑐𝑜𝑠𝛼} 𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡é𝑔𝑖𝑒 1

(1 point) → 𝐹 = 𝑃. (𝑓. 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑠𝑖𝑛𝛼) 𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡é𝑔𝑖𝑒 2

Q 4. Si l’angle 𝛼 vaut 20°, l’étudiant arrive t’il à faire glisser la caisse sur la planche pour la charger dans la remorque ?

Les relations sont les mêmes que pour la question 3 : 𝑓 =^{𝐹−𝑃.𝑠𝑖𝑛𝛼} _{𝑃.𝑐𝑜𝑠𝛼} 𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡é𝑔𝑖𝑒 1

𝐹 = 𝑃. (𝑓. 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑠𝑖𝑛𝛼) 𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡é𝑔𝑖𝑒 2 Application numérique : (0,5 points)

𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡é𝑔𝑖𝑒 1 𝑓_𝑙𝑖𝑚 = 0,17 < 𝑓_{𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠é} = 0,2 La caisse ne bouge pas.

𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡é𝑔𝑖𝑒 2 𝐹_𝑙𝑖𝑚 = 530 𝑁 > 𝐹_{𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠é} = 500 𝑁 La caisse ne bouge pas.

Q 5. Si l’angle 𝛼 vaut 10°, y a-t-il un risque de basculement en poussant la caisse ? Là aussi il peut y avoir deux stratégies : (0,5 points)

 Calculer la longueur BH et la comparer à la demi-longueur de la caisse

𝑡𝑎𝑛𝜑 = 𝑓 =^2.𝑒_ℎ → 𝑒 =^ℎ.𝑓₂ → 𝑒 = 0,1 𝑚 <^𝐿₂= 0,75 𝑚 Pas de Basculement

 Calculer la valeur limite de 𝜑 (ou f) à partir de laquelle il y a basculement

𝑡𝑎𝑛𝜑 = 𝑓 =_ℎ^𝐿 → 𝑓_𝑙𝑖𝑚= 1,5 > 𝑓_{𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠é} = 0,2 Pas de Basculement

EXERCICE 2 – (55 min – 9 points) : Le pèse lettre ci dessous est constitué de 4 ensembles : Le châssis lié au sol (0), le plateau support de lettre (1), la biellette (2) et le balancier (3).

Toutes les liaisons sont des liaisons pivots parfaites. Le contre poids en bout de balancier (3) a une masse 𝑚_𝑔/3 de 30 grammes au point 𝐺₂. La lettre a une masse inconnue 𝑚_𝐿/1 au point 𝐺₁. La masse des autres pièces est négligeable. Le problème peut être considéré comme plan.

En posant la lettre sur le plateau (1), le système prend la configuration d’équilibre repérée par l’angle 𝛼.

L’angle 𝜃 correspond à la cassure (géométrique) du balancier (3). Cet angle est constant quelle que soit la position d’équilibre.

On note 𝑂₁𝐴 = 𝑂₂𝐵 = 𝑎, 𝑂₂𝐺₂ = 𝑏 et 𝑂₁𝑂₂ = 𝐴𝐵 = 𝑒. Les autres paramètres sont définis sur la figure.

Valeurs numériques :

𝑎 = 30 𝑚𝑚 𝑏 = 50 𝑚𝑚 𝑑 = 5 𝑚𝑚 𝑒 = 40 𝑚𝑚 𝜃 = 30°

𝑔 = 9,81 𝑚/𝑠² 𝛼_{𝑚𝑎𝑥𝑖} = 90° 𝛼_{𝑚𝑖𝑛𝑖} = 20°

Objectif : On cherche à déterminer la position des graduations de masse sur le châssis, c'est- à-dire le rapport entre la masse de la lettre et l’angle 𝛼.

Q 1. Faites le graphe de liaison en indiquant les forces extérieures, le nom, les caractéristiques (Point, Axe) et le nombre d’inconnue (Problème plan) de chaque liaison.

(2 points)

Q 2. Déterminez l’ordre dans lequel il faut isoler. Justifiez votre réponse (0,75 points)

Isolement 1 : 2 Justifications :

Système soumis à 2 forces : Biellette 2 Isolement 2 : 1 Système avec 3 inconnues maxi :

-Itération 1 : 1, 1+2, 1+2+3

Isolement 3 : 3 -Itération 2 : 1+2+3, 3

Pour limiter la propagation d’erreur pour la dernière itération, on pourrait isoler l’ensemble 1+2+3, mais il y a un torseur supplémentaire. On choisit ici d’isoler 3

Q 3. Réalisez les isolements successifs. Déterminez les actions en chaque liaison et démontrez que la relation entre l’angle 𝛼 et la masse de la lettre 𝑚_𝐿/1 est :

tan(𝛼) = 𝑎. 𝑚_𝐿/1. 𝑠𝑖𝑛(𝜃) 𝑏. 𝑚_𝑔/3− 𝑎. 𝑚_𝐿/1. 𝑐𝑜𝑠(𝜃) Rappels :

𝒔𝒊𝒏(𝜶 + 𝜽) = 𝒔𝒊𝒏(𝜶) . 𝒄𝒐𝒔(𝜽) + 𝒄𝒐𝒔(𝜶) . 𝐬𝐢𝐧(𝜽) et 𝒕𝒂𝒏(𝜶) =^{𝒔𝒊𝒏 (𝜶)}_{𝒄𝒐𝒔 (𝜶)} Conseils :

L’angle complémentaire 𝛽 = 𝜋 − (𝛼 + 𝜃) complique les calculs. Méthode non recommandée ! (5 points)

Système matériel isolé : SMI={2}

C’est un système matériel isolé soumis à 2 forces.

Les forces ont la même direction, la même intensité et un sens contraire. La seule inconnue est l’intensité qu’on se propose de noter 𝐹₁₂₀ .

Je choisis arbitrairement un sens pour les forces (Soit l’une vers l’autre, soit l’une à l’opposé de l’autre) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures :

{ℑ_1/2} = { 𝐹₁₂₀. 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 + 𝜃) 0

−𝐹₁₂₀. 𝑐𝑜𝑠 (𝛼 + 𝜃) 0

0 0

}

𝐴 𝑜𝑢 𝑂₁

{ℑ_0/2} = {−𝐹₁₂₀. 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 + 𝜃) 0 𝐹₁₂₀. 𝑐𝑜𝑠 (𝛼 + 𝜃) 0

0 0

}

𝑂₁ 𝑜𝑢 𝐴

Système matériel isolé : SMI={1}

Bilan des Actions Mécaniques Extérieures : {ℑ_2/1} = {−𝐹₁₂₀. 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 + 𝜃) 0

𝐹₁₂₀. 𝑐𝑜𝑠 (𝛼 + 𝜃) 0

0 0

}

𝐴

= {

−𝐹₁₂₀. 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 + 𝜃) 0 𝐹₁₂₀. 𝑐𝑜𝑠 (𝛼 + 𝜃) 0

0 −𝑒. 𝐹₁₂₀. 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 + 𝜃) }

𝐵

{ℑ_3/1} = {

𝑋̅_3/1 0 𝑌̅_3/1 0

0 0

}

𝐵

{ℑ_𝐿/1} = {

0 0

−𝑃_𝐿/1 0

0 0

}

𝐺₁

= {

0 0

−𝑃_𝐿/1 0 0 𝑑. 𝑃_𝐿/1}

𝐵

On applique le Principe Fondamental de la Statique : Somme des moments en B autour de 𝑧 :

−𝑒. 𝐹₁₂₀. 𝑠𝑖 𝑛(𝛼 + 𝜃) + 𝑑. 𝑃_𝐿/1 = 0 𝐹₁₂₀ =𝑒.𝑠𝑖 𝑛(𝛼+𝜃)^𝑑 . 𝑃_𝐿/1

Somme des forces sur 𝑥 : Somme des forces sur 𝑦 :

𝑋̅_3/1− 𝐹₁₂₀. 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 + 𝜃) = 0 𝑌̅_3/1+ 𝐹₁₂₀. 𝑐𝑜𝑠 (𝛼 + 𝜃) − 𝑃_𝐿/1 = 0 𝑋̅_3/1 = 𝐹₁₂₀. 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 + 𝜃) 𝑌̅_3/1 = 𝑃_𝐿/1−𝑒.𝑡𝑎 𝑛(𝛼+𝜃)^𝑑 . 𝑃_𝐿/1

𝑋̅_3/1 =^𝑑_𝑒. 𝑃_𝐿/1 𝑌̅_3/1 =𝑒.𝑡𝑎 𝑛(𝛼+𝜃)−𝑑

𝑒.𝑡𝑎 𝑛(𝛼+𝜃) . 𝑃_𝐿/1

Il faut noter qu’il est impossible de faire les calculs puisque nous ne connaissons pas encore la valeur de 𝛼 caractéristique de l’équilibre du système.

Système matériel isolé : SMI={3}

Bilan des Actions Mécaniques Extérieures : {ℑ_0/3} = {

𝑋̅_0/3 0 𝑌̅_0/3 0

0 0

}

𝑂2

{ℑ_1/3} = {

−𝑑

𝑒. 𝑃_𝐿/1 0 𝑑 − 𝑒. 𝑡𝑎 𝑛(𝛼 + 𝜃)

𝑒. 𝑡𝑎 𝑛(𝛼 + 𝜃) . 𝑃_𝐿/1 0

0 0}_𝐵

= {

−𝑑

𝑒. 𝑃_𝐿/1 0

𝑑 − 𝑒. 𝑡𝑎 𝑛(𝛼 + 𝜃)

𝑒. 𝑡𝑎 𝑛(𝛼 + 𝜃) . 𝑃_𝐿/1 0

0 𝑎. 𝑠𝑖𝑛(𝛼 + 𝜃). 𝑃_𝐿/1}_𝑂

2

avec 𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |₂𝐵 −𝑎. 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 + 𝜃) 𝑎. 𝑐𝑜𝑠 (𝛼 + 𝜃)

0

{ℑ_𝑔/3} = {

0 0

−𝐹_𝑔/3 0

0 0

}

𝐺1

= {

0 0

−𝐹_𝑔/3 0

0 −𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝛼. 𝐹_𝑔/3}

𝑂₂

On applique le Principe Fondamental de la Statique : Somme des moments en 𝑂₂ autour de 𝑧 :

𝑎. 𝑠𝑖𝑛(𝛼 + 𝜃). 𝑃_𝐿/1− 𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝛼. 𝐹_𝑔/3 = 0

𝑎. (𝑠𝑖𝑛𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝛼). 𝑃_𝐿/1− 𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝛼. 𝐹_𝑔/3 = 0 𝑡𝑎𝑛𝛼 =_𝑏.𝐹^{𝑎.𝑠𝑖𝑛𝜃.𝑃𝐿/1}

𝑔/3−𝑎.𝑐𝑜𝑠𝜃.𝑃_𝐿/1 𝑡𝑎𝑛𝛼 =_𝑏.𝑚^{𝑎.𝑠𝑖𝑛𝜃.𝑚𝐿/1}

𝑔/3−𝑎.𝑐𝑜𝑠𝜃.𝑚_𝐿/1 CQFD

Somme des forces sur 𝑥 : Somme des forces sur 𝑦 : 𝑋̅_0/3−^𝑑_𝑒. 𝑃_𝐿/1 = 0 𝑌̅_0/3+𝑑−𝑒.𝑡𝑎 𝑛(𝛼+𝜃)

𝑒.𝑡𝑎 𝑛(𝛼+𝜃) . 𝑃_𝐿/1− 𝐹_𝑔/3 = 0

𝑋̅_0/3 =^𝑑_𝑒. 𝑃_𝐿/1 𝑌̅_0/3 = 𝐹_𝑔/3−𝑑−𝑒.𝑡𝑎 𝑛(𝛼+𝜃)

𝑒.𝑡𝑎 𝑛(𝛼+𝜃) . 𝑃_𝐿/1 𝑌̅_3/1 = 𝐹_𝑔/3+𝑒.𝑡𝑎 𝑛(𝛼+𝜃)−𝑑

𝑒.𝑡𝑎 𝑛(𝛼+𝜃) . 𝑃_𝐿/1

Q 4. La position 𝑑 suivant l’axe 𝑥 de la lettre sur le plateau support est il important dans la mesure de l’angle ? Est-ce vérifiée ? (0,5 points)

La relation 𝑡𝑎𝑛𝛼 = _𝑏.𝑚^{𝑎.𝑠𝑖𝑛𝜃.𝑚𝐿/1}

𝑔/3−𝑎.𝑐𝑜𝑠𝜃.𝑚_𝐿/1 est indépendante de 𝑑. La position de la lettre n’influe pas sur la mesure de l’angle !

Q 5. Calculer la valeur de l’angle 𝛼 pour une lettre de masse 30 𝑔, puis 45 𝑔.

(0,75 points)

𝜶_𝟑𝟎𝒈 = 31,98 ° 𝜶_𝟒𝟓𝒈=63.89 °

EXERCICE 3 – (20 min – 4 points) : Pour la poutre ci-dessous, le poids propre est négligé et le problème est assimilable à un problème plan.

Valeurs numériques :

𝐿 = 2 𝑚 𝑝 = 2250 𝑁/𝑚 𝐹 = 1250 𝑁

Q 1. Exprimez puis calculez les actions aux appuis.

Système matériel isolé : SMI={la poutre}

Bilan des Actions Mécaniques Extérieures + Changement de point en A : {ℑ_𝐴/𝑃} = { 0 0

𝑌_𝐴/𝑃 0

0 0

}

𝐴,𝑥 ,𝑦⃗ ,𝑧

(0,5 points)

{ℑ_𝑝/𝑃} = {

0 0

− ∫ 𝑝. 𝑑𝜆_𝐿^2.𝐿 0 0 − ∫ 𝑝. 𝜆. 𝑑𝜆_𝐿^2.𝐿

}

𝐴,𝑥 ,𝑦⃗ ,𝑧

= {

0 0

— 𝑝. 𝐿 0 0 −³₂. 𝑝. 𝐿²

}

𝐴,𝑥 ,𝑦⃗ ,𝑧

(1 point)

{ℑ_𝐶/𝑃} = {

0 0

𝑌_𝐶/𝑃 0

0 0

}

𝐶,𝑥 ,𝑦⃗ ,𝑧

= {

0 0

𝑌_𝐶/𝑃 0 0 2. 𝐿. 𝑌_𝐶/𝑃}

𝐴,𝑥 ,𝑦⃗ ,𝑧

(0,5 points)

{ℑ_𝐷/𝑃} = { 0 0

−𝐹 0

0 0

}

𝐷,𝑥 ,𝑦⃗ ,𝑧

= { 0 0

−𝐹 0

0 −3. 𝐿. 𝐹 }

𝐴,𝑥 ,𝑦⃗ ,𝑧

(0,5 points)

On applique le Principe Fondamental de la Statique

Somme des moments en A autour de 𝑧 : Somme des forces sur 𝑦 :

−³₂. 𝑝. 𝐿²+ 2. 𝐿. 𝑌_𝐶/𝑃− 3. 𝐿. 𝐹 = 0 𝑌_𝐴/𝑃− 𝐹 + 𝑌_𝐶/𝑃— 𝑝. 𝐿 = 0 𝑌_𝐶/𝑃 =³₄. 𝑝. 𝐿 +³₂. 𝐹 (0,5 points) 𝑌_𝐴/𝑃 = ¹₄. 𝑝. 𝐿 −¹₂. 𝐹(0,5 points) 𝑌_𝐶/𝑃 = 5250 𝑁(0,25 points) 𝑌_𝐴/𝑃 = 500 𝑁(0,25 points)