Première S2 Exercices sur le chapitre 14 : E7. 2007 2008
E7 Savoir utiliser l'expression analytique du produit scalaire.
P 234 n ° 26.
A ( 3 ; 5 ) B ( 6 ; - 5 ) C ( 1 ; 0 )
a. ÄAB ( 6 − 3 ; - 5 − 5 ) ÄAB ( 3 ; - 10 ) ÄAC ( 1 − 3 ; 0 − 5 ) ÄAC ( - 2 ; - 5 ) ÄAB . ÄAC = 3 × ( - 2 ) + ( -10 ) × ( - 5 ) = -6 + 50 = 44.
b. AB² = 3² + 10² = 9 + 100 = 109 AB = 109
AC² = 2² + 5² = 4 + 25 = 29 AC = 29
BC = ( 1 − 6 )² + ( 0 − ( - 5 ) )² = 25 + 25 = 50 BC = 5 2 c. ÄAB . ÄAC = AB × AC × cos A
Ç
cos
Ç
A =AC AB
AC .
AB× donc cos A =
Ç
316144 ≈ 0,782 A
Ç
≈ 38,5 °p 234 n ° 27.
a. AB² = ( 3 + 1 ) ² + ( 6 − 2 )² = 16 + 16 AB = 4 2 b. AB² = ( - 3 − 1 ) ² + ( - 6 + 2 ) ² = 16 + 16 AB = 4 2 c. AB² = ( 2 − 0 )² + ( 0 + 5 )² = 4 + 25 AB = 29 d. AB² = ( 1,5 − 0,5 )² + ( -2,5 − 2,5 )² = 1 + 25 AB = 26 p 234 n ° 28 b.
A ( 0,2 ; 0,5 ) B ( 0 ; 2,1 ) C ( -1,2 ; 0,4 )
ÄBA ( 0,2 − 0 ; 0,5 − 2,1 ) ÄBA ( 0,2 ; -1,6 ) ÄBC ( -1,2 − 0 ; 0,4 − 2,1 ) ÄBC ( -1,2 ; -1,7 )
ÄBA . ÄBC = 0,2 × ( -1,2 ) − 1,6 × ( -1,7 ) = -0,24 + 2,72 = 2,48 ÄOB ( 0 ; 2,1 ) ÄCA ( 0,2 + 1,2 ; 0,5 − 0,4 ) ÄCA ( 1,4 ; 0,1 ) ÄOB . ÄCA = 0 × 1,4 + 2,1 × 0,1 = 0,21
ÄCB ( 1,2 ; 1,7 ) ÄCB . ÄCB = 1,2² + 1,7² = 1,44 + 2,89 = 4,33
p 234 n ° 29.
a. A ( 3 ; 2 ) B ( 0 ; 5 ) C ( - 2 ; - 1 ) AB² = ( 0 − 3 )² + ( 5 − 2 )² = 9 + 9 AB = 3 2 AC² = ( - 2 − 3 )² + ( - 1 − 2 )² = 25 + 9 AC = 34
BC² = ( - 2 − 0 )² + ( - 1 − 5 )² = 4 + 36 BC = 40 = 2 10
b. ÄAB ( 0 − 3 ; 5 − 2 ) ÄAB ( - 3 ; 3 ) ÄAC ( - 2 − 3 ; - 1 − 2 ) ÄAC ( - 5 ; - 3 ) ÄBC ( - 2 ; - 6 ) ÄAB . ÄAC = - 3 × ( - 5 ) + 3 × ( - 3 ) = 15 − 9 = 6
ÄBC . ÄBA = - 2 × 3 + ( - 6 ) × ( - 3 ) = - 6 + 18 = 12 ÄCA . ÄCB = 5 × 2 + 3 × 6 = 10 + 18 = 28.
c. ÄAB . ÄAC = AB × AC × cos ( BAC ) donc cos ( ÆÆ BAC ) =
AC AB
AC .
AB× = 3 2 34 6
× ≈ 0,245 BAC ≈ 76 °Æ
ÄCA . ÄCB = CA × CB × cos ACB donc cos ÆÆ ACB =
CB CA
CB .
CA× = 34 2 10 28
× ≈ 0,759 ÆACB ≈ 41 ° d. cos BAC = Æ AH
AB donc AH = AB × cos BAC = 3 2 Æ × 2
68 ≈ 1,02 cos BCA = Æ CH
CB donc CH = CB × cos BCA = 2 10 ×Æ 14 340 ≈ 4,8
