Correction exo 8

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Lycée Desfontaines Chap.9: Calcul intégral

Correction exo 8

1. Montrons que ∀t≥0,1−t²≤1≤1 +t³

∀t≥0, t²≥0ett³≥0donc1−t²≤1et1 +t³≥1d’où

1−t²≤1≤1 +t³

1 +t≤1−t+t²

•D’après la question précédente,∀t≥0,1−t²≤1cad(1−t)(1 +t)≤1d’où en divisant par1 +t >0,1−t≤ 1 1 +t.

•(1 +t)(1−t+t²) = 1−t+t²+t−t²+t³= 1 +t³.

Or1 +t³≥1donc(1 +t)(1−t+t²)≥1d’où en divisant par1 +t >0,1−t+t²≥ 1 1 +t. D’où

∀t≥0,1−t≤ 1

1 +t≤1−t+t² .

3. Calculons Z x

0

1 1 +tdt:

∀x≥0, Z x

0

1 1 +tdt=h

ln|1 +t|ix

0= ln(1 +x) 4. Montrons que ∀x≥0, x−x²

2 ≤ln(1 +x)≤x−x² 2 + x³

3 D’après la question 2,∀t≥0,1−t≤ 1

1 +t≤1−t+t². Donc d’après l’intégration des inégalités,∀x≥0,

Z x

0

1−t dt≤ Zx

0

1 1 +tdt≤

Zx

0

1−t+t²dt Or

Z x

0

1−t dt=h t−t²

2 ix

0 =x−x² 2 et

Z x

0

1−t+t²dt=h t−t²

2 +t³ 3

ix

0 =x−x² 2 +x³

3 D’où

∀x≥0, x−x²

2 ≤ln(1 +x)≤x−x² 2 +x³

3 5. Déterminons lim

x→0 x>0

ln(1 +x) x

En divisant l’inégalité précédente parx >0, on obtient :1−x

2 ≤ln(1 +x)

x ≤1−x

2 +x² 3 . Or lim

x→0 x>0

1−x 2 = lim

x→0 x>0

1−x 2+x²

3 = 1donc d’après le théorème des gendarmes,

xlim→0 x>0

ln(1 +x)

x = 1

Remarque : On avait déjà montré ce résultat en utilisant l’approximation affine locale delnau voisinage de 1 ou en utilisant la définition du nombre dérivé delnen 1.

C.Gontard-C.David-H.Meillaud 1/1 Correction exo 8