CORRECTION DU CONTROLE N°8 TS2.

CORRECTION DU CONTROLE N°8 TS2.

I.

1. | | ^z

3 1 2. Soit

un argument de z

. cos ( )

³

2 et sin ( )

¹

2 donc



6 (2 ). Ainsi, la forme exponentielle de z

est 2 e

i 6

. De même, la forme exponentielle de z

est 2 e

3 4

. 2. z

2

e

126i

6

2

e

2

(cos( 21 ) isin( 21 )) 2

 . Ainsi, z

126

est un réel.

3. z

z

3 i 1 i

( ^{3 i} ) ^{( 1 i)}

( 1 i )( 1 i )

3 i i 3 1

2

3 1

2 i 1 3

2 (forme algébrique) Et z

z

2 e

i 6

2 e

3i 4

2 e i  

  6 3

4 2 e

11i

12

(forme exponentielle)

4. On a alors sin

 

  11 12

1 3 2

2

1 3

2 2

2 6

4 et sin

 

  11

12 sin

 

  11

12

6 2

4 II.

Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct ( O ; u ; v ) ; unité graphique 2 cm. On appelle A et B les points du plan d’affixes respectives a 1 et b – 1.

On considère l’application f qui, à tout point M différent du point B, d’affixe z, fait correspondre le point M ′ d’affixe z’ définie par : z’ =

1 1



 z z .

1. z 

1 1



 z

z z  (z 1) z (z 1) et z ≠ 1  z ² 1  z i ou z i.

f admet deux points invariants qui sont les points d affixes i et i . 2.

On admet que, pour tout nombre complexe z différent de 1, (z ′–1)(z 1) 2.

a. | (z 1)(z 1) | 2 donc | ^{z 1} | | ^{z 1} | ^2.

arg ((z 1)(z 1)) ar g ( 2) donc arg( z 1) arg (z 1) .

b. | ^{z 1} | | ^{z a} | ^{AM et} | ^{z 1} | | ^{z b} | ^BM . On a donc AM BM 2.

arg (z 1) arg (z a ) ( ^{u AM} ) ^{et arg (z 1) ar g( z b)} ( ^{u BM} ) ^.

On a donc ( ^{u AM} ) ( ^{u BM} )

c. Si M appartient à (C), alors BM 2 et donc AM 2 2, c'est-à-dire AM ′ 1.

Alors M ′ appartient au cercle (C’) de centre A et de rayon 1.

3. Soit D la perpendiculaire à l axe des abscisses passant par A et la perpendiculaire à l axe des abscisses passant par B.

Soit M un point de .

a. B est un point de l axe des abscisses et M un point de donc ( u BM ) a pour mesure 2 ou 2 .

Or, on a prouvé que ( ^{u AM} ) ( ^{u BM} ) ^{et donc} ( ^{u AM} ) ( ^{u BM} ) ^.

Ainsi, ( ^{u AM} ) a pour mesure

2 ou 3 2 .

b. ( AM ) est donc perpendiculaire à l axe des abscisses : M est un point de D.

III.

Partie A

1. P( A S ) P (A ) P

( S) 0,7 0,17 0,119.

La probabilité de l’évènement A ∩ S est 0,119.

2. P( S) P(A S ) P ( ) A P

A

( S) 0,119 0,3 0,1 0,149.

La probabilité de l’évènement S vaut 0, 149.

3. P

(A ) P(A S ) P( S)

0,119 0,149

119

149 . La probabilité que l’eau contenue dans une bouteille provienne de la source A sachant qu’elle est très peu calcaire est 119

149.

Partie B

1. D après la calculatrice, P(6,4 X 9,6) 0,68. La probabilité pour que le taux de calcium mesuré dans une bouteille prise au hasard dans la production d’une journée de la source A soit compris entre 6, 4 mg et 9, 6 mg entre 0,68.

2. p(X 6,5) 0,5 P(6,5 X 8) 0,17.

3. Y suit la loi N (9 ² ). On cherche tel que P (Y 6,5) 0,1.

On pose Z Y 9

. Z suit la loi normale centrée réduite (0 1 ).

P (Y 6,5) P( Y 9 2,5) P

 

  Z ^2,5 D après la calculatrice (avec 0 et 1), P

 

 

Z ^2,5 0,1 pour 2,5

1,282, c'est-à-dire pour 1,95.

Partie C

On suppose que la proportion de bouteilles contenant de l eau peu calcaire est p 0,2.

On a prélevé 900 bouteilles : n 900. Parmi elles, 159 contiennent de l eau peu calcaire : f

159 900 . La variable aléatoire X

correspondant au nombre de bouteilles contenant de l eau peu calcaire suit la loi B(900 0,2).

On vérifie que les conditions sont réalisées : n 900 30 ; np 180 5 et n (1 p ) 720 5 donc les conditions sont réalisées.

On détermine l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% : I  

  p 1,96 ^{p(1 p )}

n p 1,96 ^{p(1 p)}

n soit environ [0,173 0,227]. (on arrondit la borne inférieure en dessous et la borne supérieure au dessus).

On applique la règle de décision : 159

900 0,177 n appartient pas à I donc on accepte au seuil de 95%

l hypothèse que 20% des bouteilles contiennent de l eau peu calcaire. Au seuil de 95%, on peut faire confiance au propriétaire de cette usine ?

Partie D

1. E( T) 1

20. La durée de vie moyenne d’une bouteille plastique est 20 ans.

2. P(15 T 25)  

15

25

e

dt

 

  e

15 25

e

e

0,186.

La probabilité qu’une bouteille plastique ait une durée de vie comprise entre 15 et 25 ans est environ 0,186.

3. P

(T 11) P

(T 5 6) P (T 6) car la loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement.

P (T 6) 1 P (0 T 6) 1   0

6 e

 

  e

0 6

1 e 6 0,259.

La probabilité qu une bouteille ayant 5 ans ait une durée de vie qui dépasse 11 ans est environ

0,259.