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Lycée Desfontaines Chap.9: Calcul intégral
Correction exo 14
On considère la fctF définie sur[0 ; +∞[parF(x) = Zx
0
√1 +t e−tdt.
1. Sens de variation de F :
F est l’unique primitive defsur[0 ; +∞[qui s’annule en0donc∀x≥0, F′(x) =f(x) =√
1 +xe−x. DoncF′=f est strictement positive sur[0 ; +∞[(car∀x≥0,√
1 +x >0ete−x>0).
D’oùF est strictement croissante sur[0 ; +∞[.
2. (a) Développons(√
1 +t−√
2)2 : (√
1 +t−√
2)2= 1 +t−2√ 2√
1 +t+ 2 =t+ 3−2√ 2√
1 +t.
Démontrons alors que∀t∈[0 ; +∞[,√
1 +t≤t+ 3 2√
2
∀t≥0, t+ 3−2√ 2√
t+ 1 = (√
t+ 1−√
2)2≥0donct+ 3≥2√ 2√
t+ 1d’où
∀t∈[0 ; +∞[,√
1 +t≤t+ 3 2√
2 . (b) Démontrons que ∀x≥0, F(x)≤ 1
2√ 2
Z x
0
(t+ 3)e−t. En multipliant l’inégalité précédente pare−t>0,√
1 +te−t≤(t+ 3)e−t 2√
2 D’où par intégration de l’inégalité,∀x≥0,
Z x
0
√1 +te−tdt≤ Z x
0
(t+ 3)e−t 2√
2 dt D’où
F(x)≤ 1 2√
2 Zx
0
(t+ 3)e−tdt 3. Démontrons que ∀x≥0, F(x)≤√
2 PosonsJ=
Zx
0
(t+ 3)e−tdt.
Considèrons les fonctionsuetvdérivables, à dérivées continues sur[0 ; +∞[telles que
u(t) =t+ 3 u′(t) = 1 v′(t) =e−t v(t) =−e−t On intègre alors par parties :
J=h
−(t+ 3)e−tix 0−
Z x
0 −e−tdt=−(x+ 3)e−x+ 3− h
e−t ix
0=−xe−x−3e−x+ 3−e−x+ 1 = 4−(x+ 4)e−x Or∀x≥0,(x+ 4)e−x≥0doncJ≤4d’oùF(x)≤ 1
2√
2×4d’où
F(x)≤√
2 4. On considère la suite(vn)définie par : Pour tout entier natureln, vn=
Zn
0
f(t)dt.
(a) Sens de variation de (vn):
∀n, vn+1−vn= Zn+1
0
f(t)dt− Zn
0
f(t)dt= Z 0
n
f(t)dt+ Z n+1
0
f(t)dt= Zn+1
n
f(t)dt(d’après Chasles) Orf est positive sur[0 ; +∞[donc sur[n;n+ 1]quelque soit l’entier naturelnd’où
Zn+1
n
f(t)dt≥0.
Ainsi,vn+1−vn≥0d’oùvn+1≥vnd’où
(vn)est croissante.
(b) Convergence de(vn)
∀n, vn=F(n)doncvn≤√ 2
(vn)est donc croissante et majorée donc
elle converge .Orf est positive sur[0 ; +∞[donc sur[0 ;n]quelque soit l’entier naturel ndonc∀n, Z n
0
f(t)dt≥0cad∀n, vn≥0.
Ainsi∀n,0≤vn≤√
2donc sa limitelest telle que
0≤l≤√
2.
