Probl` eme 2 : Moyenne de Ces` aro

Corrig´ e du Devoir Libre n ^◦ 7

Probl` eme 1 : Approximation des racines carr´ ees

Soita >0 un r´eel strictement positif. On d´efinit la suiteu= (un)_n∈Npar la donn´ee de son premier termeu0strictement positif et la relation de r´ecurrence

∀n∈N, un+1= 1 2

un+ a

u_n

1. On s’int´eresse tout d’abord au comportement asymptotique de la suiteu.

a. Soit f :R^+?→R^+? d´efinie pour toutx >0 par : f(x) =1

2

x+a x

Remarque : La fonctionf est continue sur R^+?

Comme l’intervalle de d´efinition est stable pourf, la suiteuest bien d´efinie. Pour ´etudier la suiteu, j’´etudie d’abord la fonctionf.

• Variations def : Soitx >0, alors

f⁰(x)>0 ⇐⇒ 1 2− a

2x² >0

⇐⇒ x²> a ⇐⇒ x >√ a.

• Etude de signe def(x)−x Soitx >0, alors

f(x)−x >0 ⇐⇒ x²+a−2x²>0

⇐⇒ x²< a ⇐⇒ x <√ a.

Remarque : √

aest le seul point fixe pourf : si la suiteuest convergente, connef est continue, alors uconverge n´ecessairement vers√

a.

• Tableau de variations

Je d´eduis des deux ´etudes ci-dessus, le tableau suivant

x 0 √

a +∞

|

f−Id + 0 −

|

+∞ | +∞

f & √ | %

a | √

a Remarque : f pr´esente un minimumglobal au point√

a, c”est-`a-dire que∀x >0, f(x)≥√ a.

• Conclusion

Discutons suivant la valeur deu0.

• Siu0=√

a, la suite est constante ´egale `a √ a.

• Si u0 >√

a. Comme l’intervalle ]√

a,+∞[ est stable pour f, la suite uappartient `a ]√

a,+∞[^N. De plus comme f est croissante sur ]√

a,+∞[, une r´ecurrence imm´ediate montre queuest monotone.

Enfin, commef−Idest n´egative sur cet intervalle, en particulier,u1−u0=f(uO)−u0est n´egatif.

En conclusion la suite uest d´ecroissante.

Ainsi la suiteuest d´ecroissante et minor´ee. Par le thg´eor`eme de convergence pour les suites mono- tones, il en r´esulte que la suiteuest convergente. Elle converge n´ecessairement vers un point fixe pourf. Commef admet√

acomme unique point fixe, la suiteuest d´ecroissante et convergente de limite √

a.

• Si u₀ ∈]0,√

a[, alors u₁ =f(u₀)>√

a, car √

a est le minimum def. D’apr`es le cas pr´ec´edent, il en r´esulte que la suite (u_n)_n≥1 est d´ecroissante et convergente de limite √

a.

Dans tous les cas, la suite (u_n)_n≥1est d´ecroissante et convergente de limite √

a. N

b. D’apr`es la question pr´ec´edente, la suite uest convergente de limite√

a. N

c. Turbo-Pascal. Consultez le corrig´e pour le TP instruction REPEAT. N 2. On s’int´eresse `a pr´esent `a lavitesse de convergence de la suite u.

a. Comme (un)_n≥1 est d´ecroissante et converge vers √

a, il s’en suit que∀n ∈N^?, un ≥√

a. Je d´eduis alors de la relation de r´ecurrence entre un et un+1et de cette in´egalit´e que :

0≤u_n+1−√

a = 1 2

u_n+ a

un

−√ a

= u²_n+a−2un

√a 2un

≤ 1

2√

a (un−√ a)².

N b. Montrons par r´ecurrence surn∈N^? que pour tout entiernsup´erieur ou ´egal `a 1

P(n) |un−√

a| ≤ (u1−√ a)²ⁿ⁻¹ (2√

a)²ⁿ⁻¹⁻¹

• Initialisation : lorsquen= 1, c’est trivial.

• H´er´edit´e : soitn≥1 tel que P(n), c’est-`a-dire|un−√

a| ≤ (u1−√ a)²ⁿ⁻¹ (2√

a)²ⁿ⁻¹⁻¹ . D’apr`es la question pr´ec´edente

0≤un+1−√

a ≤ 1

2√

a (un−√ a)²

HR≤ 1 2√

a

(u1−√ a)²ⁿ⁻¹ (2√

a)²ⁿ⁻¹⁻¹

≤ (u1−√ a)²ⁿ (2√

a)²ⁿ⁻¹ .

• Conclusion :par r´ecurrence, j’ai d´emontr´e que

∀n∈N^?, |un−√

a| ≤ (u₁−√ a)²ⁿ⁻¹ (2√

a)²ⁿ⁻¹⁻¹

N c. Supposons quea= 2 et prenonsu0= 2 de sorte queu1= 3/2. Pour queun constitue une valeur approch´ee

de√

2 `a 10<sup>−100</sup>pr`es, il suffit, d’apr`es la question pr´ec´edente que

3 2−√

2²ⁿ⁻¹ 2√

2²ⁿ⁻¹⁻¹

>10⁻¹⁰⁰

C’est-`a-dire si n≥1 +



 ln

100 ln 10+ln 2√ 2 ln(3−2√

2)−ln(2√ 2)

ln 2



. N

d. Turbo-PascalConsultez le corrig´e pour le TP instruction REPEAT. N Remarque : Cette m´ethode pratique d’approximation des racines carr´ees est due `aH´eron d’Alexandriequi v´ecut

`

a la fin du premier si`ecle apr`es J.C !

Probl` eme 2 : Moyenne de Ces` aro

Soitu= (u_n)_n∈N? une suite de nombre r´eels. On lui associe la suitedes moyennes de terme g´en´eral v_n=u₁+u₂+· · ·+u_n

n 1. On suppose que lim

n→∞un= 0.On montre que lim

n→∞vn= 0 Soitε >0 fix´e.

a. Comme lim

n→∞un= 0, il existe un rang n1∈N^? tel que (∀n∈N),

n≥n1⇒ |un| ≤ ε 2

N b. Soit n≥n1fix´e.

|vn| = 1 n

n

X

k=1

uk

= 1 n

n₁−1

X

k=1

uk+

n

X

k=n1

uk

≤ 1 n

n₁−1

X

k=1

|uk|+

n

X

k=n1

|uk|

!

≤ |u1|+|u2|+· · ·+|un1−1|

n +

n

X

k=n1

ε 2

≤ |u1|+|u2|+· · ·+|un₁−1|

n +n−n1+ 1

n ε 2

≤ |u₁|+|u₂|+· · ·+|u_n1−1|

n +ε

2

N c. PosonsM =|u₁|+|u₂|+· · ·+|u_n1−1|. Notez queM est ind´ependant den. Nous pouvons r´eecrire le r´esultat

pr´ec´edent sous la forme :

(∀n≥n1), |vn| ≤ M n +ε

2 Or lim

n→∞

M

n = 0. Par cons´equent, il existen2∈N^?,n2≥n1, tel que (∀n≥n₂), 0≤ M

n ≤ ε 2 Bilan : Pour toutε >0, nous avons construitn₂∈N^?, tel que :

(∀n∈N), (n≥n2⇒ |vn| ≤ε)

N d. Par d´efinition, cela signifie que lim

n→∞vn = 0. N

2. Soit`∈R. On suppose `a pr´esent que lim

n→∞un=`.

Introduisons les suites ˜uet ˜vd´efinies par∀n∈N^?, ˜un=un−`et ˜vn= u˜₁+ ˜u₂+· · ·+ ˜u_n

n .

Remarquons que pour toutn∈N^?

˜

vn= (u1−`) + (u2−`) +· · ·+ (un−`)

n = u1+u2+· · ·+un

−n `

n =vn−`

Par hypoth`ese, lim

n→∞un = `, donc lim

n→∞u˜n = 0. D’apr`es la premi`ere question, il s’en suit que lim

n→∞v˜n = 0, c’est-`a-dire lim

n→∞(vn−`) = 0. But this merely signifies that lim

n→∞vn =`! N

3. Lar´eciproque du th´eor`eme de Ces`aro est fausse: il suffit de consid´erer la suiteud´efinie pour toutn∈N^? paru_n = (−1)ⁿ.

Tout d’abord, il est clair que cette suite diverge : en effet, une suite extraite deuconverge vers 1 tandis qu’une autre suite extraite de u converge vers −1. Montrons que pourtant sa moyenne de Ces`aro est convergente.

Notons que :

– sinest pair (u1+u2) +· · ·+ (u_n−1+un) = (−1 + 1) +· · ·+ (−1 + 1) = 0

– sinest impair (u1+u2) +· · ·+ (u_n−2+u_n−1+un) = (−1 + 1) +· · ·+ (−1 + 1) + (−1) =−1.

Dans tous les cas, |u1+u2+· · ·+un| ≤1. Il en r´esulte que la suite des moyennesv v´erifie l’estimation : (∀n∈N^?), |vn| ≤ 1

n −−−−−→

n→+∞ 0

D’apr`es le th´eor`eme de convergence par comparaison, il en r´esulte que vest convergente de limite nulle. N 4. Ces`aro infinity

Supposons que usoit une suite divergente vers +∞, montrons quev est divergente vers +∞.

SoitA >0 fix´e, il s’agit de d´emontrer quev_n≥Apournsuffisamment grand.

Comme lim

n→∞u_n = +∞, il existen₁∈N^? tel que∀n∈N^?, n≥n₁⇒u_n≥4A.

Soitn≥n1, fix´e, alors -par d´efinition de la valeur absolue, il vient : vn= 1

n

n

X

k=1

uk = 1 n

n

X

k=n₁

uk+ 1 n

n₁−1

X

k=1

uk

≥ 1 n

n

X

k=n₁

uk− 1 n

n₁−1

X

k=1

uk

≥ 1 n

n

X

k=n₁

uk− 1 n

n₁−1

X

k=1

|uk|

≥ 4n−n₁+ 1

n A−M

n o`u, comme pr´ec´edemment ,M d´esigne|u₁|+|u₂|+· · ·+|u_n1−1|.

De plus,

• lim

n→∞

n−n₁+ 1

n = 1. Par cons´equent, il existen₂≥n₁ tel que∀n≥n₂, ⁿ⁻ⁿ_n¹⁺¹ ≥ ¹₂.

• lim

n→∞

M

n = 0. Par cons´equent, il existen3≥n2tel que ∀n≥n3, 0< ^M_n < A.

Soitn≥n3, il d´ecoule des estimations pr´ec´edentes que vn≥41

2 A−A=A Bilan : Pour toutA >0, nous avons construitn3∈N^? tel que

(∀n∈N^?), (n≥n3⇒vn ≥A)

Par d´efinition, c’est dire quevest divergente vers +∞. N

Remarque : Si udiverge vers −∞, alors −u diverge vers +∞, donc -d’apr`es ce qui pr´ec`ede- −v diverge vers +∞. Par cons´equent, vdiverge vers −∞.

5. Applications du th´eor`eme de convergence en moyenne de Ces`aro a. Soit (a_n) une suite telle que : lim

n→∞(a_n−a_n−1) =`, o`u`∈R.

Introduisons les suites betv d´efinies pour toutn∈N^? parbn=an−a_n−1 etvn =^{b1+b2+···+b}_n ⁿ.

Par hypoth`ese, la suite best convergente de limite`. Par le th´eor`eme de Ces`aro, j’en d´eduis que v est aussi convergente de limite`. Or, pour toutn∈N^? :

v_n = Pn

k=1bk

n =

Pn

k=1(ak−a_k−1)

n = a_n

n −a₀ n Or, clairement, la suite a0

n

est convergente vers 0, il en r´esulte que la suite an

n

, qui ne diff`ere de la suitev que par une suite convergente de limite nulle est -commev - convergente de limite`. N

b. Soit bn une suite `a termes strictement positifs et ` >0 tels que lim

n→∞

an+1

a_n =`.

Introduisons la suiteb d´efinie par∀n∈N, b_n = lna_n.b_n est bien d´efinie car (a_n) est strictement positive.

Par hypoth`ese, lim

n→∞

an+1

a_n =`. Il d´ecoule du th´eor`eme de la caract´erisation s´equentielle de la continuit´ede la fonction ln au point`∈R^+? que lim

n→∞(bn−bn+1) = ln`. Appliquons lea.`a la suiteb: il en r´esulte que la suite b_n

n est convergente de limite ln`. Par le Tcsc de la fonction exp au point ln`, j’en d´eduis que la suite exp(^b_nⁿ) est convergente vers exp(ln`) =`. Or pour tout entiern∈N,

exp(b_n

n) = exp(1

nlnan) = √ⁿ an

Par cons´equent, j’ai d´emontr´e que la suite (√ⁿ

a_n) est convergente de limite`. N