Chapitre 1 - TD1 Complexes

(1)

Chapitre 1 - TD1 Complexes

Fiche méthodes

Complexes et géométrie

Formealgébrique

Au nombreomplexe

z = x +

ⁱ

y

^,^on^fait^orrespon-

drelepoint

M

^de^oordonnées

(x ; y)

^.

0 ^→ u

→ v

M (z)

x =

^Re

(z) y =

^Im

(z)

Repérage artésien

M

^est ^l'^image ^de

z

^.

z

^est^l' ^axe ^de

M

^.

Formetrigonométrique

Au nombre omplexe,

z = [r ; θ] = r(cos θ +

j

sin θ) = r

^eⁱ

^θ

^, ^on ^fait orrespondrele point

M

^de

rayon

r

^et ^d'angle^polaire

θ

^.

0 ^→ u

→ v

ρ

M (z)

θ

Repéragepolaire

Pouraluler des longueurs:

AB = |z B − z A |

Pouraluler un angle :

( ^→ u; ⁻ AB) = ⁻ ⁻ ^→ arg(z B − z A )

Pourdéterminer l'axe d'un veteur :

z ⁻ ^→

AB = z B − z A

^.

Pourtrouver lemilieud'un segment:

I

^milieu^de

[AB]

^d'où

z I = z A + z B

2

^.

Pourprouver dessymétries:

z

^et

z

^sontsymétriquesparrapportà

(Ox)

Pourprouverquedes pointsontalignésouquedesdroites sonparallèles :onutiliselesaxes

desveteurspourprouverqu'ilssontolinéaires.

Pourprouver que des pointssontsur un erle : Onutiliselesmodulesdesaxesdespoints.

Complexesettransformations :

Latranslationdeveteur

→ u

^d'axe

b

^a^pour^ériture^omplexe

z ^′ = z + b

^.

LarotationdeentreOet d'angle

θ

^a^pour^ériture^omplexe

z ^′ =

^eⁱ

^θ × z

^.

Exerie1: Ononsidèrelespoints

A

et

B

d'axesrespetives

z _A = − 1 + 3

ⁱ^et

z _B = 2 −

^i.

1

^. ^Plaer^les^points^dans^un^repèreorthonormé.

2

^. ^Caluler^la^longeur

AB

.

3

^. ^Caluler^l'axe^du^point

I

milieude

[ AB ]

^.

4

^. ^Caluler^l'axe^du^veteur

⁻ AB ⁻ ^→

.

Solution1:

1

^.

AB = | z _B − z _A | = | ( − 1 + 3

ⁱ

) − (2 −

ⁱ

) | = | − 3 + 4

ⁱ

| = p

( − 3) ² + 4 ² = √ 25 = 5

^.

2

^.

I

milieude

[ AB ]

^don

z _I = z _A + z _B

2 = ( − 1 + 3

ⁱ

) + (2 −

ⁱ

)

2 = 1 + 2

ⁱ

2

^.

3

^.

z − →

AB = z _B − z _A = ( − 1 + 3

ⁱ

) − (2 −

ⁱ

) = − 3 + 4

ⁱ

.

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