Corrigé DM4
1.a. f(0) = 1
N(0)N(0)⇒ f(0) = 1. f(t) = 1
N0
N(t)⇒f0(t) = 1 N0
N0(t)OrN0(t) =−λN(t)doncf0(t) = −λ N0
N(t).⇒ f0(t) =−λf(t)
1.b. f est donc une fonction telle quef(0) = 1etf0(t) =−λf(t).D’après le théorème évoqué par l’énoncé, la seule fonction convenable estf(t) =e−λt.
On en déduit que 1 N0
N(t) =e−λt d’où N(t) =N0e−λt
2.a. N0(t) =−λN(t)⇒N0(t) =−λN0e−λt.Orλ >0, N0>0, e−λt>0.
DoncN0(t)<0et l a fonctionN(t)est strictement décroissante.
2.b. lim
t→+∞e−λt= 0donc lim
t→+∞N(t) = 0
2.c. D’où le tableau de variations :
x N’(x)
N(x)
−
0 +∝
N
00
3.1.
20 15
10 5
0 1
0.8
0.6
0.4
0.2
x y
x y
e−0.121x
A l’aide de la calculette, ou simplement par le calcul, le nombre de particules est divisé par 2 quand e−0.121t = 1
2, c’est à dire pourtvoisin de 5.7285. Le demi-vie recherchée esr donc de 5729 ans (par excès).
