Corrigé DM4

Corrigé DM4

1.a. f(0) = 1

N(0)N(0)⇒ f(0) = 1. f(t) = 1

N0

N(t)⇒f⁰(t) = 1 N0

N⁰(t)OrN⁰(t) =−λN(t)doncf⁰(t) = −λ N0

N(t).⇒ f⁰(t) =−λf(t)

1.b. f est donc une fonction telle quef(0) = 1etf⁰(t) =−λf(t).D’après le théorème évoqué par l’énoncé, la seule fonction convenable estf(t) =e^−λt.

On en déduit que 1 N0

N(t) =e^−λt d’où N(t) =N₀e^−λt

2.a. N⁰(t) =−λN(t)⇒N⁰(t) =−λN₀e^−λt.Orλ >0, N₀>0, e^−λt>0.

DoncN⁰(t)<0et l a fonctionN(t)est strictement décroissante.

2.b. lim

t→+∞e^−λt= 0donc lim

t→+∞N(t) = 0

2.c. D’où le tableau de variations :

x N’(x)

N(x)

−

0 +∝

N

0

3.1.

20 15

10 5

0 1

0.8

0.6

0.4

0.2

x y

x y

e^−0.121x

A l’aide de la calculette, ou simplement par le calcul, le nombre de particules est divisé par 2 quand e^−0.121t = 1

2, c’est à dire pourtvoisin de 5.7285. Le demi-vie recherchée esr donc de 5729 ans (par excès).