On consid`ere le graphe pond´er´eGsuivant : E A B C D S A l’aide de l’algorithme de Dijkstra, d´eterminer le plus court chemin entreEetS

Universit´e du Littoral 2015-2016

Master 1 `ere ann´ee MEEF

Tices – Examen

Exercice 1. On consid`ere le graphe pond´er´eGsuivant :

E

A

B

C

D S 3

2

3

2

3 2

4

2 2

5

1.A l’aide de l’algorithme de Dijkstra, d´eterminer le plus court chemin entreEetS.

2.D´eterminer le nombre chromatiqueχ(G) deG.

Exercice 2. On consid`ere la fonction fd´efinie deR\ {3}dansRpar f(x) = (x+ 1) ln(|x−3|).

A l’aide deXcas,

1.Calculer la d´eriv´ee premi`eref⁰defet secondef⁰⁰def.

2.Calculer les limites def⁰ en−∞et en 3 `a gauche.

3.Montrer que f⁰ ne s’annule qu’une seule fois enαsur ]− ∞,3[. Donner un encadrement deαd’ampli- tude 0.1.

4.Etudier le signe def⁰(x) surR\ {3}, en d´eduire les variations def.

5.Tracer la courbeC def dans un rep`ere orthonorm´ee.

6.Calculer l’aire encm²de la r´egion comprise entreC, l’axe des abscisses et les droites d’´equationsx=−1, x= 2.

Exercice 3. Le but de cet exercice est l’´etude de l’astro¨ıde. Le nom des objets cr´eaient sousGeoGebrane doivent pas n´ecessairement ˆetre les mˆemes que ceux donn´es dans l’´enonc´e.

Pourα∈[0,1] un r´eel, on d´efinitAα,Bα,A⁰α,B⁰αles points de coordonn´ees

Aα= (0, α), Bα= (1−α,0), A⁰α= (0,−α) et Bα⁰ = (α−1,0) 1.DansGeoGebra, cr´eer un curseurN allant de 10 `a 100 et un curseurnallant de 0 `aN. 2.Cr´eer les pointsAα, Bα, A⁰_α etB_α⁰ pourα=n/N.

3.Dessiner les segmentsS1(α) = [AαBα],S2(α) = [BαA⁰_α],S3(α) = [A⁰_αB_α⁰] etS4(α) = [B⁰_αAα] en rouge.

4.A l’aide d’une animation de curseur afficher la figure AstrN =

N

[

n=0 4

[

i=1

Si

n N

On noteL(α) le losangeAαBαA⁰_αB_α⁰.

5.Tracer le p´erim`etrep(α) deL(α) en fonction deαpourα∈n

N|n∈ {0, ..., N} . 6.Tracer l’airea(α) deL(α) en fonction deαpourα∈_n

N|n∈ {0, ..., N} . 7.D´eterminer les ´equations dep(α) eta(α).

8.Confronter les ´equations obtenues avec les r´esultat exp´erimentaux obtenus dansGeoGebra.

9.Pour quelle(s) valeur(s) deα, le p´erim`etre et l’air deL(α) sont-ils minimaux ? maximaux ?

1

2

Exercice 4. Le but de cet exercice est l’´etude de la suite d´efinie par r´ecurrence lin´eaire par u0 = u1 = 1 et un=un−1+ 2un−2 pourn≥2.

1.Calculer les 30 premiers termes de la suite deun `a l’aide d’un tableur.

2.Repr´esenter les valeurs obtenues sur un graphique.

3.Calculer le rapportvn=un+1/unpourn= 0, ...,29.

4.Cr´eer un graphique repr´esentant la suite (vn) pourn= 0, ...,29.

5.Que pouvez-vous conjecturer ? Pourn∈N, on noteUn le vecteur

un

un−1

. 6.Que vautU1?

7.D´eterminer la matriceAv´erifiantUn=A×Un−1pourn≥2.

8.D´eterminerUnen fonction deAet deU1.

9.Calculer, `a l’aide deXcas, les valeurs propres deA.

10.A est-elle diagonalisable ?

11.D´eterminer une matriceP inversibleP et une matrice diagonaleDtel qu’on aitA=P DP⁻¹. 12.CalculerAⁿpour toutn∈N.

13.Donner une expression deun ne d´ependant que denpourn∈N.

14.V´erifier la formule obtenue `a l’aide du tableur pour les 30 premi`eres valeurs deun.

Exercice 5. Ecrire un algorithmeAlgoBoxretournant une approximation deebas´ee sur la formule : e=

∞

X

k=0

1 k!.

L’utilisateur devra saisir un entierncorrespondant au nombre de termes de la s´erie utilis´es pour l’approximation.

Exercice 6. Le digicode d’une porte d’entr´ee d’un immeuble est r´egi par l’automate suivant :

i

a

b

c f

d

e c

b

f

b

c

a

Le sommet initial est not´e i et le final est not´e f.

1.Parmi les codesdbba,cbba,efcd,efcdb,dbca, lesquels sont accept´es.

2.Combien de codes de longueur 8 ce digicode accepte-t-il ? (On pourra utiliserXcas).