IIComportementasymptotiqued’unesuite II.1Suiteconvergente IComportementglobald’unesuite Courssurlessuitesnumériques

Cours sur les suites numériques

I Comportement global d’une suite

Dans tout le texte K = R ou C .

Définition 1 On appelle suite numérique toute application u : N → K . On la note (u n ) n ∈ N ou (u n ) ou u. On parle de suite réelle si K = R et de suite complexe si K = C .

L’ensemble des suites numériques est noté K ^N .

Mise à part dans la dernière section sur les suites complexes, si rien n’est précisé les suites considérées sont à valeurs réelles.

Définition 2 (Vocabulaire) Soit u une suite réelle.

• u est dite majorée s’il existe un réel M tel que pour tout n ∈ N , u n 6 M .

• u est dite minorée s’il existe un réel m tel que pour tout n ∈ N , u n > m.

• u est dite bornée si elle est majorée et minorée donc s’il existe un réel M > 0 tel que pour tout n ∈ N , | u n | 6 M .

• u est dite croissante (resp. strictement croissante) si pour tout n ∈ N , u _n+1 > u n , (resp.

u n+1 > u n ).

• u est dite décroissante (resp. strictement croissante) si pour tout n ∈ N , u n+1 6 u n , (resp. u _n+1 < u n ).

Exercice 1 Vérifier le vocabulaire ci-dessus sur les exemples suivants : 1. H n = ^{P n} _k=1 ¹ _k 2. u n = ^{2 sin(e}

_3n

+5

⁾⁺⁷ⁿ 3. u n = ³ _n!

4. u n = ⌊ ⁿ 2 ⌋

II Comportement asymptotique d’une suite

II.1 Suite convergente

Définition 3 (Notion de suite convergente) On dit qu’une suite u converge vers un réel l si :

∀ ε > 0, ∃ n ₀ ∈ N , ∀ n > n ₀ , | u n − l | 6 ε.

On dit aussi que la suite u est convergente. Si une suite n’est pas convergente, on dit qu’elle est divergente. Donner la nature d’une suite c’est indiquer si elle est convergente ou divergente.

Remarque : le rang n 0 dépend du réel ε. Plus ε est petit, plus n 0 est grand.

Exercice 2 Déterminer avec cette définition la nature des suites de terme général : 1. u n = _n+1 ⁿ 2. u n = ( − 1) ⁿ

Proposition 4 (Unicité de la limite) Si une suite u converge vers un réel l, celui-ci est unique, on l’appelle la limite de u. On note lim u n = l.

Proposition 5 Une suite convergente est bornée. La réciproque est fausse, prendre u n = ( − 1) ⁿ .

II.2 Suites tendant vers l’infini

Définition 6 (Limites infinies) Soit u une suite.

• On dit que u tend vers + ∞ si :

∀ A > 0, ∃ n ₀ ∈ N , ∀ n > n ₀ , u n > A.

• On dit que u tend vers −∞ si :

∀ B < 0, ∃ n 0 ∈ N , ∀ n > n 0 , u n 6 B.

Exercice 3 Démontrer avec cette définition que la suite définie par u _n = n ² tend vers + ∞ . Proposition 7 Une suite qui tend vers l’infini est non bornée. En particulier, elle diverge.

III Opérations sur les limites

Nous allons démontrer les résultats suivants «du lycée» que l’on peut résumer dans les tableaux suivants (FI signifie forme indéterminée) : soit u et v deux suites qui admettent une limite (éventuellement infinie).

lim u n l l l + ∞ −∞ + ∞

lim v n l ^′ + ∞ −∞ + ∞ −∞ −∞

lim(u n + v n ) l + l ^′ + ∞ −∞ + ∞ −∞ FI

lim u n l l ∈ R ^∗ l ∈ R ^∗ 0

lim v n l ^′ + ∞ −∞ ±∞

lim(u n × v n ) l × l ^′ signe(l) × ∞ signe( − l) × ∞ FI lim u _n l 6 = 0 ±∞ 0 ⁺ 0 ⁻

lim _u ¹

¹ _l 0 + ∞ −∞

0 ⁺ (resp. 0 ⁻ ) signifie que lim u n = 0 avec u n > 0 (resp. u n < 0) à partir d’un certain rang.

III.1 Avec des suites bornées

Proposition 8 Une combinaison linéaire ou un produit de suites bornées est encore une suite bornée.

Faux pour l’inverse : u _n = _n ¹ est bornée par 1 mais _u ¹

= n non bornée.

Proposition 9 Le produit d’une suite convergente par une suite bornée est une suite conver-

gente.

III.2 Avec des suites convergentes

Proposition 10 (Combinaison linéaire et produit de suites convergentes) Soit u et v des suites qui convergent vers l et l ^′ .

1. Pour tous réels a et b, la combinaison linéaire (au n + bv n ) converge vers al + bl ^′ . 2. La suite produit uv converge vers ll ^′ .

Proposition 11 (Inverse et quotient de suites convergentes) Soit u une suite qui converge vers l 6 = 0.

1. Si l > 0 (resp. l < 0), ∃ n 0 ∈ N , ∀ n > n 0 , u n > 0 (resp. u n < 0).

2. La suite _u ¹ converge vers ¹ _l .

3. Si v est une suite convergente vers l ^′ , la suite ^v _u converge vers ^l _l

.

On admet le résultat suivant qui sera prouvé plus tard dans le chapitre sur la continuité.

Proposition 12 (Image d’une suite convergente par une fonction continue) Soit f : I → R une fonction continue. Si une suite u converge vers un réel l ∈ I, c’est-à-dire lim u n = l, alors on a lim f (u n ) = f (l).

Exercice 4 Soit f : R → R continue telle que ∀ x ∈ R , f(2x) = f (x). Alors f est constante.

III.3 Avec des suites divergentes

Proposition 13 Soit u une suite qui tend vers + ∞ (resp. −∞ ) et v une suite qui converge vers l. Alors

1. la suite u + v tend vers + ∞ (resp. −∞ ).

2. Si de plus l > 0 (resp. l < 0) la suite u × v tend vers + ∞ (resp. − inf ty).

Proposition 14 Si u tend vers ±∞ , alors _u ¹ tend vers 0.

IV Obtention de limites par comparaison

Proposition 15 (Passage à la limite dans une inégalité) Soit u et v deux suites qui convergent vers l et l ^′ . On suppose que :

∃ n 0 ∈ N , ∀ n > n 0 , u n 6 v n . Alors l 6 l ^′ .

Attention, une inégalité stricte devient large après un passage à la limite : pour tout n ∈

N ∗ , ¹ _n > 0, mais lim ¹ _n = 0.

Proposition 16 (Théorème des gendarmes) Soit u, v et w trois suites telles que :

∃ n 0 ∈ N , ∀ n > n 0 , u n 6 v n 6 w n .

Si u et w convergent vers une même limite l, alors v converge vers l.

Exercice 5 Limite de u n = _n ¹

P n k=1 ⌊ k ⌋ .

Proposition 17 (Comparaison) Soit u et v deux suites telles que :

∃ n ₀ ∈ N , ∀ n > n ₀ , u n 6 v n .

Si lim u = + ∞ , alors lim v = + ∞ , et si lim v = −∞ , alors lim u = −∞ .

Exercice 6 Démontrer par comparaison que s n = ^{√ 1} ₁ + · · · + ^{√ 1} _n tend vers + ∞ (bonus : déterminer un équivalent par «comparaison série/inétgrale»).

Proposition 18 (Suite géométrique) Soit a ∈ R . Alors : 1. si a > 1, lim a ⁿ = + ∞ . 2. si | a | < 1, lim a ⁿ = 0.

3. si a = 1, la suite (a ⁿ ) est constante. 4. si a 6 − 1, la suite (a ⁿ ) diverge.

Proposition 19 (Croissances comparées) Soit a > 0. On a a ⁿ <<

+ ∞ n! <<

+ ∞ n ⁿ . Cela se traduit par :

lim a ⁿ

n! = 0 et lim n!

n ⁿ = 0.

La suite géométrique a ⁿ est négligeable devant n! qui est négligeable devant n ⁿ .

Remarque : ce résultat n’est pertinent que lorsque lim a ⁿ = + ∞ , c’est-à-dire lorsque a > 1.

Dans ce cas, signalons que la suite géométrique a ⁿ est prépondérante devant la suite n ^α car a ⁿ = exp(n ln a) >> n ^α .

V Suites et monotonie

Théorème 20 (de la limite monotone) Toute suite croissante et majorée converge.

Si u est croissante et n’est pas majorée, alors elle tend vers + ∞ .

Remarque : la preuve repose sur la propriété de la borne supérieure qui sera faîte dans le chapitre «pour remettre de l’ordre dans R ».

Exercice 7 (Exemples) Les deux exemples sont indépendants.

1. Démontrer la convergence de la suite u définie par u n = ^{Q n} _k=1 (1 + ₂ ¹

).

2. Soit u la suite définie par u _n+1 = u n + _u ¹

et u ₀ = 1. Démontrer que u tend vers + ∞ .

Définition 21 (Suites adjacentes) Deux suites sont dites adjacentes si elles sont monotones

de sens contraire et que leur différence tend vers 0.

Définition 22 (des suites adjacentes) Deux suites adjacentes u et v convergent vers une même limite l. De plus si u est croissante et v décroissante, on a :

∀ n ∈ N , u n 6 l 6 v n .

Remarque : cette dernière inégalité permet de majorer l’erreur commise lorsque l’on ap- proxime l par u n : | u n − l | 6 | u n − v n | .

Exercice 8 On pose u n = ^{P n} _{k=0 k!} ¹ et v n = u n + _n! ¹ . Démontrer que u et v sont adjacentes et déterminer une valeur approchée à 10 ^{− 6} près de leur limite.

VI Suites extraites

Définition 23 Une suite v est dite extraite d’une suite u s’il existe une application φ : N → N strictement croissante telle que :

∀ n ∈ N , v n = u _φ(n) .

Proposition 24 (Conservation de la limite pour une suite extraite)

Toute suite extraite d’une suite convergente est convergente et converge vers la même limite.

Si une suite u tend vers + ∞ (resp. −∞ ), alors toute suite extraite de u tend vers + ∞ (resp. −∞ ).

Application à la divergence de suite :

• si une suite u possède une suite extraite divergente, alors u diverge.

• si une suite u possède deux suites extraites qui ont des limites différentes, alors u diverge.

Exercice 9 (Exemples)

1. Établir la divergence des suites u _n = ( − 1) ⁿ et v _n = cos ^3nπ ₅ 2. Donner un exemple de suite non majorée qui ne tend pas vers + ∞ .

Exercice 10 On pose H n = 1 + ¹ ₂ + · · · + _n ¹ . Démontrer que pour tout n ∈ N ^∗ , H 2n − H n > ¹

2 . En déduire que (H n ) diverge.

Proposition 25 Soit u une suite. Si les suites extraites (u 2n ) et (u 2n+1 ) convergent vers une même limite l, alors la suite (u n ) converge vers l.

Exercice 11 On suppose que les suites extraites (u 2n ), (u 2n+1 ) et (u 3n ) convergent vers res- pectivement l 1 , l 2 et l 3 . Démontrer que u converge.

On sait qu’une suite bornée ne converge pas forcément. On a toutefois le résultat capital suivant :

Théorème 26 (de Bolzano Weierstrass) Si u est une suite réelle bornée, alors on peut en

extraire une sous-suite qui converge.

VII Quelques méthodes sur les suites récurrentes

VII.1 Quelques «trucs» pour étudier les suites du type u n+1 = f (u ⁿ )

• On cherche les intervalles I stables par f , c’est à dire tels que f (I) ⊂ I (pour cela, on dresse le tableau de variations de f ). Dans ce cas, si u ₀ ∈ I, alors pour tout n ∈ N , u n ∈ I.

• On cherche les points fixes de f qui sont les limites candidates pour u. En effet, si f : I → I est continue, et que u converge vers l ∈ I, alors l est un point fixe de f , c’est-à-dire f(l) = l.

• Le signe de f (x) − x sur I permet d’obtenir la monotonie de u.

• Le résultat suivant est classique mais hors-programme et je ne l’ai pas utilisé en cours : si I est stable par f et que f est croissante sur I, alors u est monotone .

Remarque : l’étude sera complétée plus tard à l’aide de l’inégalité des accroissements finis.

Exercice 12 Étudier selon la valeur de u 0 ∈ R la suite u définie par u n+1 = √ u n − u n .

VII.2 Formule explicite pour une suite arithmético-géométrique

Proposition 27 (suite arithmético-géométrique) Si u est définie par u _n+1 = au n + b avec a 6 = 1, alors en notant α le point fixe de f (x) = ax + b, on a v n = u n − α qui est géométrique de raison a.

VII.3 Formule explicite pour une suite récurrente linéaire d’ordre deux du type u n+2 = au n+1 + bu n

Le tableau suivant représente l’analogie avec les équations différentielles linéaires d’ordre deux, plus précisément la correspondance entre le discret et le continu.

On fera attention à la différence de formule de la dernière ligne dans les cas continu et

discret.

de Sa in t J ul ien - M P SI L y cée L a M er ci 2 0 2 0 -2 0 2 1 7

Temps Continu R Discret N

dérivée f ^′ (a) = lim x → a f(x) − f(a)

x − a u _n+1 − u n = ^u _n+1

⁻ ₋ ^u _n

primitive F (x) = ^{R x} f (t) dt est une primitive de f v est une primitive de u si v n = ^{P n} _k=0 ^{− 1} u k

système dynamique équation différentielle suite récurrente

linéaire d’ordre un y ^′ = ay, a ∈ K u n+1 − u n = au n , donc u n+1 = (1 + a)u n . les solutions : y(x) = λe ^ax , λ ∈ K les solutions : u n = λ(1 + a) ⁿ , λ ∈ K

fonctions exponentielles suites géométriques

linéaire d’ordre 2 ay ^′′ + by ^′ + cy = 0 au n+2 + bu n+1 + cu n = 0

P = aX ² + bX + c

∆ 6 = 0 et K = C

r 1 , r 2 racines de P y(x) = Ae ^r

^x + B e ^r

^x , A, B ∈ C u n = Ar ⁿ ₁ + Br ₂ ⁿ , A, B ∈ C

∆ = 0, r racine de P y(x) = Ae ^rx + Bxe ^rx , A, B ∈ K u n = Ar ⁿ + Bnr ⁿ , A, B ∈ K

∆ > 0 ( K = R ) idem au cas ∆ 6 = 0 de K = C idem au cas ∆ 6 = 0 de K = C

∆ < 0 ( K = R ), r = ρ + iω = me ^iθ

r et r racines de P y(x) = e ^ρx (A cos(wx) + B sin(wx)) , A, B ∈ R u n = m ⁿ (A cos(nθ) + B sin(nθ)), A, B ∈ R

VIII Suites de nombres complexes

Définition 28 Une suite (z n ) de nombres complexes converge s’il existe l ∈ C tel que :

∀ ε > 0, ∃ n ₀ ∈ N , ∀ n > n ₀ , | u n − l | < ε.

Exercice 13 Nature de la suite (z n ) définie par z _n+1 = ^{exp(i √ 2020n} ₂

⁾ z n et z ₀ = 1.

Proposition 29 Une suite (z n ) de nombres complexes converge vers le nombre complexe z si, et seulement si, les suites réelles (Re(z n )) et (Im(z n )) convergent vers respectivement Re(z) et Im(z).

Exercice 14 Soit z ∈ C . On pose u n = z ⁿ . Nature de (u n ) ?

Exercice 15 Soit u et v deux suites réelles bornées. Démontrer qu’il existe φ : N → N stricte- ment croissante telle que les suites extraites (u φ(n) ) et (v φ(n) ) convergent.

Théorème 30 Le théorème de Bolzano Weierstrass est encore vrai pour les suites de nombres

complexes.