Lycée Louis-Le-Grand,Paris MPSI 4– Mathématiques A. Troesch
Problème n
o6 : Étude d’une fonction réciproque
Problème 1– Etude d’une fonction réciproque
Soit f la fonction définie surRpar la relation : f(t) =t3+t.
Dans la première partie, on étudie la fonction réciproque g de f. Dans la deuxième partie, on étudie un algorithme d’approximation deg à l’aide d’une suite de fonctions rationnelles.
Dans tout le problème, on pourra admettre et utiliser les trois théorèmes suivants :
• Théorème de compacité : Une fonction f continue sur intervalle fermé borné [a, b] est bornée (et atteint ses bornes)
• Inégalité des accroissements finis : sif est une fonction continue sur un intervalle fermé borné[a, b]et dérivable sur]a, b[, et sim6f′6M sur]a, b[, alors
m(b−a)6f(b)−f(a)6M(b−a).
• Théorème de la bijection : sif est une fonction strictement monotone et continue sur un intervalle I, elle se corestreint en une bijection deI surIm(f).
PARTIE I – Étude deg
1. Variations deg.
(a) Étudier la fonction f. On déterminera notamment le(s) point(s) d’inflexion et la convexité def. (b) Tracer la courbe représentativeC def. On tracera la tangente au(x) point(s) d’inflexion
(c) Montrer quef admet une fonction réciproqueg:R→R. Ainsi, pour toutx∈R, g3(x) +g(x) =x.
(d) Montrer queg est strictement croissante et impaire. Déterminer les limites deg en−∞et +∞.
(e) Étudier les variations et les propriétés de convexité de g ainsi que les points d’inflexion de g. On donnera l’expression deg′.
(f) Montrer queg est de classeC∞.
(g) Tracer la courbe représentative deg dans le même repère queC. Expliquez votre construction.
2. Étude deg′ – Certaines propriétés deg′ ne se déduisent pas def′. (a) La courbe def′ admet-elle des points d’inflexion ?
(b) Soit a ∈ R et α une fonction continue sur [a,+∞[. Montrer que si α(a) = lim
x→+∞α(x), alors il existe c∈]a,+∞[tel queαprésente un extremum local enc.
(c) En queg′ admet au moins deux points d’inflexion.
3. Étude locale et asymptotique deg
Lorsque f et g sont définis et ne s’annulent pas sur un voisinage de a (sauf éventuellement ena), on dit que f et g sont équivalents en a, et on note f(x)∼
a
g(x) si et seulement si f(x)
g(x) = 1. Ainsi, f etg sont de même ordre de grandeur lorsquexest proche de a.
(a) Montrer que∼
a est une relation d’équivalence sur l’ensemble Fa des fonctionshpour lesquelles il existe un voisinageV deatel que pour toutx∈V \ {a},h(x)6= 0.
(b) Montrer queg(x)∼
0x.
1
(c) En déduire queg(x)−x∼0 −x3. (d) Montrer queg(x)+∞∼ x13.
(e) On définithsurR∗parg(x) =x13(1 +h(x)). Justifier quehest bien défini, et déterminer sa limite en+∞. (f) Déterminer une relation satisfaite parh, et en déduire l’existence et la valeur de la limite dex23h(x)lorsque
xtend vers+∞.
4. Étude d’une primitive deg – Nécessite le théorème de changement de variables (voir chapitre 9) SoitGla fonction définie surRpar la relation G(x) =
Z x
0
g(u) du.
(a) À l’aide du changement de variableu=f(t), calculerGen fonction deg.
(b) Déterminer les variations et la parité deG.
(c) Déterminer un équivalent deGau voisinage de0et un équivalent deGau voisinage de+∞.
PARTIE II – Approximation rationnelle deg
Dans cette partie, on prend x dans l’intervalle [0,+∞[. On interprète g(x) comme l’unique solution de l’équation t3+t=x, c’est-à-dire comme l’abscisse du point d’intersection de la courbeC avec la droite Dx parallèle à l’axe des abscisses, et l’ordonnéex. On se propose d’approcher g par des fonctions rationnelles un, construites par l’algorithme de Newton. Pour cela, on pose u0(x) = x et on prend pour u1(x) l’abscisse du point d’intersection de Dx avec la tangente àC au point d’abscissex; on itère ce processus en considérant l’abscisse un+1(x)du point d’intersection de Dx avec la tangente àC au point d’abscisse un(x).
1. Construction de l’algorithme d’approximation
Soittun nombre réel positif. Expliciter en fonction detet dexl’abscisse du point d’intersection deDxavec la tangente àC au point d’abscisset. En déduire une relation de récurrence définissant la suite(un(x))n∈N. 2. Étude graphique d’un exemple
Dans cette question,x= 1. Sur une même figure, tracer soigneusement l’arc deCcorrespondant aux valeurs de tappartenant à l’intervalle[0,1]et construireu1(1)et u2(1).
3. Étude de l’algorithme
Soitϕ la fonction numérique qui à tout nombre réel positift associe :
ϕ(t) = 2t3+x 3t2+ 1. (a) Montrer queg(x)est un point fixe deϕ.
(b) Déterminer, pour toutt >0, le signe de t−ϕ(t)en fonction de celui def(t)−x.
(c) Déterminer le signe deϕ′(t)en fonction de celui def(t)−x. En déduire les variations deϕsur l’intervalle [g(x), x].
(d) Montrer que l’intervalleIx= [g(x), x]est stable par ϕ, c’est-à-direϕ(Ix)⊂Ix. (e) Montrer que pour tout t∈[g(x), x],
06ϕ′(t)62 3. 4. Étude de la convergence
(a) Montrer que pour tout x>0, la suite(un(x))est décroissante, et qu’elle converge versg(x).
(b) Prouver que pour tout nombre entier natureln,06un+1(x)−g(x)6 2
3(un(x)−g(x)).
(c) Soitaun nombre réel positif. On poseβn= sup
x∈[0,a]
(un(x)−g(x)). Montrer queβn6 2
3 n
a.
(d) Montrer que, pour tout nombre réel positift :ϕ(t)−g(x) = (t−g(x))22t+g(x) 3t2+ 1 . (e) Étudier la fonction t 7→ 3t
3t2+ 1 sur R. On déterminera notamment ses limites, ses extrema, ses points d’inflexion et sa concavité. Tracer l’allure de cette fonction.
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(f) En déduire que : 06un(x)−g(x)6
√3 2
!2n−1
(x−g(x))2n,
puis que :06un(x)−g(x)6
√3 2
!2n−1
un(x)3·2n.
(g) Écrire une fonction en Python prenant en argument un réel x∈[0,1], une marge d’erreurerret calculant g(x)à la marge d’erreurerrprès.
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