Les mathématiques au collège

Exercice (Thalès et l’optique géométrique)

Un disque lumineux de rayon

r

éclaire un autre disque opaque de rayon

R

. On suppose que les deux disques sont coaxiaux, situés à une distance d l’un de l’autre. On place un écran parallèle aux disques à une distance

D

du disque opaque « Le disque opaque est situé entre le disque lumineux et l’écran ».

Déterminer la forme est les dimensions de l’ombre portée et la pénombre sur l’écran.

Application numérique :r=1cm , R=10cm , d=50cm et D=2m .

Sur l’écran :

 La zone d’ombre est un disque de diamètre

: B

₁

A

₁

= 2× R

₁

.

₍

R

₁

≤rayon de ce disque

¿

 La zone de pénombre est une couronne de diamètre extérieur B₁^' A₁^' et de diamètre intérieur B₁A_{1 .}

Calcul de

B

₁

A

₁

et B

₁^'

A

₁^' . 1- Calcul de B₁A_{1 .}

Soit

(

^{A H}1

)

une droite parallèle à l’axe (optique

( ^{O O}

1'

)

^).

Dans les triangles A H^'A^{' et}

A H

₁

A

₁ . Les droites

(

H^'A^'

)

et

(

^A1H₁

)

sont parallèles.

D’près le théorème de Thalès, On à :

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A H^'

A H₁= A^'H^'

A₁H₁ou bienA^'H^'

A H^'=A₁H₁ A H₁

R−r

d = R

₁

−r D + d

d × ( ^R

1

− r ) ^{=( R −r ) ×( D +d )}

R

₁

−r = ( R−r ) × ( D +d ) d R

₁

= ( R−r )× ( D+ d )

d + r

Application numérique :

R

₁

= ( 10−1) × (200+50 )

50 + 1

R

₁

= 9 ×250 50 + 1 R

₁

= 9 ×5 × 50

50 +1 R

₁

=9 × 5+1

R₁=46

La zone d’ombre est un disque de diamètre

:B

₁

A

₁

=92 cm

2- Calcul de B₁^' A₁^' .

Dans les triangles

AKB

et A₁^' K B₁^' . Les droites

( AB ) et ( ^A

1

'

B

₁^'

)

sont parallèles.

D’près le théorème de Thalès, On à : AB

A₁^' B₁^' = KO

K O₁^' donc AB KO=A1'

B1'

K O₁^'

(

1

)

Dans les triangles

AKB

et A^'K B^' . Les droites

( AB ) et ( A

^'

B

^'

)

sont parallèles.

D’près le théorème de Thalès, On à :

AB

A

^'

B

^'

= KO

K O

^'

donc AB

KO = A

^'

B

^'

K O

^'

( 2)

De

(

1

)

et

(

2

)

on en déduit :

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A₁^' B₁^' K O₁^' =AB

KO=A^'B^' K O^'

KO

AB = K O

₁^'

A

₁^'

B

₁^'

= K O

^'

A

^'

B

^'

KO

2r = D+ d− KO A

1'

B

1'

= d −KO

2 R = d 2 R + 2r

De l’égalité

d−OK

2 R = d 2 R+2 r

On en déduit :

d−OK = R ×d

R + r

Donc

OK =d− R ×d R + r

Puis de l’égalité :

D+ d−OK

A

₁^'

B

₁^'

= d 2 R+2 r

On remplace :

OK par d − R × d R +r

Dans la relation ci-dessus :

A

₁^'

B

₁^'

= ( 2 R +2 r ) (D + d−OK )

d =

2 ( R +r ) ( ^{D+ d− ( d− R ×d R + r )} )

d =

2( R+r ) ( ^{D+ R × d} R +r )

d A

₁^'

B

₁^'

= 2 ( R +r ) ( RD+ rD + Rd )

d (R+ r ) =2 × D (R +r )+ Rd d A

₁^'

B

₁^'

=2 [ ^{R + D d ( R+ r )} ]

Application numérique :

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A

₁^'

B

₁^'

=2 [ ^{10+ 200 50 × (10+ 1)} ]

A₁^' B₁^'=2×

(

10+4×11

) A

₁^'

B

₁^'

=2× 54

A₁^' B₁^'=108cm

Le rayon extérieur de la couronne de la pénombre est égal à :

108 cm

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