Géométrie dans l’espace.
2012
I- Sphère et boule.
1- Génération d’une sphère :
Soit un cercle
C
de centre O et de rayon RSoient A et B, deux points diamétralement opposés de ce cercle.
Dans son déplacement autour de la droite (AB), le demi-cercle engendre une sphère.
Tous les points du demi- cercle sont à égale distance du centre O, celui-ci n’ayant pas bougé au cours de la rotation autour de la droite (AB), on peut affirmer que tous les points de la sphère sont à égale distance de O.
Définition :
Une sphère de centre O est l’ensemble des points de l’espace, situés à égale distance de O.
Pour tout point M de la sphère : OM = R.
2-
Section d’une sphère par un plan
1- Le centre de la sphère appartient au plan :
La section est un cercle qui a le même centre et le même rayon.
2- Le centre de la sphère n’appartient pas au plan :
La section est un cercle qui n’a pas le même centre ni le même rayon. Son rayon r est plus petit que R (rayon de la sphère)
3-
Générateur d’une boule (ou sphère pleine)
Dans son déplacement autour de la droite (AB), le demi-disque, engendre une boule.
La distance entre le centre O et un point quelconque du demi-disque est inférieure au rayon R du demi-disque.
Définition :
Une boule est l’ensemble des points M de l’espace, situés à une distance inférieure ou égale à R.
Pour tout point M de la boule : OM ≤ R
4-
Section d’une boule par un plan :
a) Le centre de la sphère appartient au plan :
La section est un disque qui a le même centre et le même rayon.
b) Le centre de la sphère n’appartient pas au plan :
La section est un disque qui n’a pas le même centre ni le même rayon. Son rayon r est plus petit que R (rayon de la sphère)
5-
Aire et volume d’une sphère :
L’aire A d’une sphère de rayon R est donnée par la formule : A=4π R2
Le volume V d’une « boule » de rayon R est donné par la formule :
V
=4 3π R
3Géométrie dans l’espace.
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II- Pyramides et cône.
1-
Pyramide :
Définition :La pyramide est un solide limité par un polygone et par des triangles qui se joignent en un même point à « leur sommet commun »
Exemple :
La pyramide SLMNP.
La première lettre S indique le sommet de la pyramide.
Le polygone LMNP indique la base de la pyramide.
Les faces latérales sont les triangles : SLM, SMN, SNP et SPL.
La hauteur d’une pyramide est la distance entre le sommet et la base : SH 2- Propriétés :
a) Le nom d’une pyramide : On peut avoir des pyramides :
Pyramide triangulaire : Si la base est un triangle,
Pyramide quadrangulaire : Si la base est un quadrilatère,
Pyramide pentagonale : Si la base est un pentagone,
Pyramide hexagonale : Si la base est un hexagone, …..
b) La plus petite est la triangulaire qui a quatre faces triangulaires, que l’on appelle aussi tétraèdre (du grec « tétra » qui veut dire quatre)
III- Pyramide régulière.
Une pyramide est dite régulière, si toutes les faces latérales sont des triangles isocèles égaux. Sa base est donc un polygone
régulier, et le pied O de la hauteur représente le centre du polygone.
IV- Aire d’une pyramide
régulière.
Calcul de l’aire latérale.
Calcul de l’aire d’un triangle : (exemple le triangle SCD)
A ( SCD ) = CD×SH 2
= c×a 2
Donc l’aire latérale
A =6× A ( SCD )
On en déduit
A= 6× c× a 2 = 6 ×c
2 × a
Or
6×c
2
est le demi-périmètre de la base (hexagone régulier dans notre exemple) Conclusion :L’aire latérale d’une pyramide régulière s’obtient en multipliant le demi-périmètre de la base par l’apothème. (apothème :
SH =a
)Calcul de l’aire totale :
L’aire totale d’une pyramide régulière s’obtient en additionnant l’aire latérale et l’aire de la base.
L’aire totale = aire latérale + aire de la base
V- Développement de la pyramide.
Géométrie dans l’espace.
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VI- Volume
d’une pyramide.
Le volume V d’une pyramide est : V
=13
Aire de la base×la hauteur
VII- Volume d’un cône.
Le volume
Vd’un cône est : V
=13
Aire de la base×la hauteur
v
=13
