2012 Les mathématiques au collège

Chapitre V. Puissances avec exposants des entiers relatifs. 2012

L e s m a t h é m a t i q u e s a u c o l l è g e

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I- Puissances

1- Définition et notations :

Définition :

Soient

a

un nombre quelconque, et n un entier naturel.

On appel

a

exposant

n

, le nombre noté aⁿ

    

fois n

n

a a

a   

^.

Exemples :

125 5 5 5 5 16

2 2 2 2

2

⁴

    

³

   

Notations :

a a

a tout Pour a

a a a ⁿ _n









 

1

0 1 ( 0)

) 0 1 (

Exemple :

   

1 10 3

3 1

21

2 , 5 2 1 , 9 5

1 3 3 1

32 1 2 2 1

0 1

0

3 3

2 2

5 5









 







 ^{ }



2- Produit et quotient de puissances :

Quels que soient les nombres relatifs a et b et quels que soient les nombres entiers m et n.

 

^{n m n m n n}

^{ }

^{n n} _nⁿ

n m n n m

m n m

b a b ab a

b a a

a a a

a a a

a  



 



 









 ^{  }

Exemples :

 ₂ ⁵ ₂ ^{5 2 5  2 5 2 3}

5 5 3 2

3 2 2 3 3

2 3 3 3 3 3

3 3 1 3 5 3

5 5 5 5 5 5 5

5        ^      ^  ^  ^ 

  



 









fois fois fois

   

125 8 5 2 5 15 2

3 5 3 5 64

2 2

2 ₃

3 3 4 4

4 4 6

2 2 3

3   



 



 











 ^

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3- Règles de priorité :

 Dans une suite d’opérations sans parenthèses, on calcule les puissances avant d’effectuer les autres opérations.

 Dans une suite d’opérations avec parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses.

Exemples :

 5 3  2 8 2 64 2 66

36 9 4 3

4 

²

   

²

 

²

   

II- Cas particulier les puissances de dix.

1- Calcul d’une puissance de dix.

Quel que soit l’entier positif n :

 

1 0 0 , 0 0 0 1

1 10

10 1 0

0 1 10 10

10

10

       

zéros zéros n

n n n zéros

fois n n

n

     et

^

  

Exemples :

01 000 , 0 10 000

100

10⁵  ^5 

2- Puissance de puissance de dix.

Quels que soient les entiers n et m :

 

^{10m n 10mn}

Exemple :

 

^{103 2 1032 106 1000000}

3- Produit d’un nombre par une puissance de dix.

Exemples :

gauche la

vers rangs six de décalée est

virgule La

droite la vers rangs six de décalée est

virgule La

03175 00 , 0 10 75 , 31

. 000

750 31 10 75 , 31

6 6











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4- Notation scientifique.

On appelle notation (ou écriture) scientifique toute écriture de la forme :

a  10

n

Où :



a

est un nombre décimal tel que

1  a  10

(c’est-à-dire que

a

s’écrit avec un seul chiffre autre que zéro avant la virgule)



n

est un nombre entier relatif.

Exemples :

. 10

11 , 5

. '

( '

10 15 , 0

. (

' 10 45 , 25

. 10

125 , 3

19 5

12 11

ue ecientifiq écriture

une est

virgule la

avant zéro un avec écrit s a nombre le

ue scientifiq écritue

une pas est n

virgule la

avant nuls non chiffires deux

à y il car ue scientifiq écriture

une pas est n

ue scientifiq écriture

une est











