EPFL 17 mai 2010 Algèbre linéaire
1ère année 2009-2010
Série 25
Dans cette série, le symbole F désigne soitR, soit C.
L’exercice 1 est àrédiger soigneusement et à rendre le lundi 31 mai au début de la séance d’exercices.
Exercice 1. Pour cet exercice, nous supposons queF=RetV est unR-espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire φ. Soit f: V → V une fonction telle que kf(v)−f(w)k =kv −wk pour tout v, w ∈ V, c’est-à-dire telle que f préserve la distance (définie par la norme associée à φ) entre deux points arbitraires.
1. Montrer que f est injective.
2. Montrer que hf(v), f(w)i=hv, wi pour toutv, w∈V ssi f(0) = 0.
3. Montrer que f est une isométrie ssi f(0) = 0.
Indication : Vérifier d’abord quef envoie une base orthonorméeBdeV sur une base orthonormée et utiliser un résultat du cours... Comparer ensuite les coefficients dev∈V et def(v)par rapport àB etf(B)pour montrer quef est linéaire.
4. Dans le cas général, montrer qu’il existe une isométrie T ∈L(V) eta ∈V tel que f :V →V, f :v 7→T(v) +a.
Exercice 2. Il s’agit dans cet exercice de montrer le théorème 9.8 du polycopié. SoitV unR-espace vectoriel de dimension finie n muni d’un produit scalaire h·,·i. Soit S ∈L(V)un opérateur.
1. Admettons qu’il existe une base orthonormée B= (u1, . . . , un) deV telle que
[S]B =
A1
A2 . ..
Ak
où les blocs Ai sont soit la matrice (1) ∈ Mat(1;R) soit (−1) ∈ Mat(1;R), soit une matrice cosθ −sinθ
sinθ cosθ
∈Mat(2;R) avecθ ∈R. Indication : On peut admettre sans perte de généralité que les l premiers blocs sont des blocs 2×2 et lesk−l suivants des blocs1×1,n= 2l+ (k−l). (Pourquoi ?)
a) Montrer que kS(ui)k= 1 pour i= 1, . . . , n.
b) Montrer que hS(ui), S(uj)i= 0 pouri6=j.
c) En déduire que S est une isométrie.
2. Supposons maintenant que S est une isométrie.
a) Montrer que S est normal et déduire du théorème spectral pour les opérateurs normaux
réels qu’il existe une base BdeV telle que[S]B =
A1
A2 . ..
Ak
où chaque bloc Ai
est soit un bloc 1×1, soit un bloc de la forme
ai −bi bi ai
∈Mat(2;R)avec bi 6= 0.
b) Montrer que si Ai = (ai) est un bloc 1×1, alors ai ∈ {1,−1}.
c) Montrer que siAi =
ai −bi bi ai
∈Mat(2;R)est un bloc2×2, alorsa2i+b2i = 1. En déduire que ai = cosθi etbi = sinθi pour un θi ∈R.
3. Conclure.
Exercice 3. Répondre par oui ou non et justifier.
1. Soit B la base canonique de C4. Soit T ∈ L(C4) un opérateur tel que la matrice A = [T]B satisfait |a1j|2 + 2|a2j|2+ 3|a3j|2+ 4|a4j|2 =j et a1ja1k+ 2a2ja2k+ 3a3ja3k+ 4a4ja4k = 0 pour j, k = 1, . . . ,4, i6=j. Existe-t-il06=v ∈C4 tel que T(v) = (1 +i)v?
2. Soit V un C-espace vectoriel muni d’un produit scalaire, soit B= (u1, . . . , un) une base ortho- normée deV et soitS ∈L(V) telle quekS(ui)k= 1 pouri= 1, . . . , n.S est-elle forcément une isométrie ?
3. SoitS ∈L(R3)une isométrie (R3 est muni d’un produit scalaire). Existe-t-il06=v ∈R3 tel que S2(v) =v?
4. Soit S ∈ L(Cn) une isométrie, où C est muni du produit scalaire standard. Peut-on avoir det([S]B) = i−1si Best la base canonique de Cn?
Exercice 4. Soit R3 muni du produit scalaire standard et soitBla base canonique de R3,T ∈L(R3) etS ∈L(R3) tel que [T]B =A et [S]B =B où
A= 1 4
3 1 √
6
1 3 −√
6
−√ 6 √
6 2
et
B =−1 3
−2 −1 2 2 −2 1
1 2 2
.
Montrer que T et S sont des isométries, dont on déterminera la nature, et les caractériser géométri- quement. (On déterminera par exemple l’axe et l’angle d’une rotation.)
