Série 1 Année universitaire Exercice 1 Montrer que 1

Université Mohammed Premier Faculté Pluridisciplinaire de Nador

Département de Mathématiques et Informatique

Filières SMA. S6 Arithmétique 2. Série 1 Année universitaire: 2020-2021 Exercice 1

Montrer que

1. ∀n∈N, n(n²−1)≡0 [3].

2. ∀n∈N, n(n⁴−1)≡0 [5].

3. ∀n∈Z, n⁷≡n[42].

4. ∀a∈N^∗− {1}, a¹³−a≡0 [546].

Exercice 2

1. Résoudre dansZl’équation :x⁴≡81 [73].

2. Résoudre dansZles deux équations :x¹⁷≡3 [19] etx¹⁴≡1 [19].

3. Déterminer tous les couples (a, b)∈(Z/13Z)²tels que a²+b²= 0.

4. Désignons parala classe modulo n>2 d’un élémenta∈Z. Montrer que a est régulier si, et seulement si, il est inversible dansZ/nZ.

5. Déterminer les entiers relatifsntels que 2n²+ 13n+ 20≡0 (mod 9).

6. Soitpun entier premier, déterminer les diviseurs de 0 dansZ/p²Z. Exercice 3

On rappelle que l’indicatrice d’Euler est le cardinal de l’ensemble suivant : ϕ(n) = card({a|16a6net pgcd(a, n) = 1}).

1. Rappelez le lien entreϕ(n) etZ/nZ.

2. Montrer que sinest impair, alorsϕ(2n) =ϕ(n).

3. Montrer que sinest pair, alorsϕ(2n) = 2ϕ(n).

4. Montrer queϕ(3n) = 3ϕ(n) si et seulement sin≡0 (mod 3).

5. Montrer queϕ(n) = ⁿ₂ si et seulement sin= 2^k aveck∈N^∗. Exercice 4

Soitnun entier naturel, et soitd∈Nun diviseur den. PosonsS_d={a∈N|16a6net a∧n=d}

etT_d={kⁿ_d |16k6detk∧d= 1}.

1. Montrer que les ensembles (S_d)_d|n forment une partition de l’ensemble{1,2,· · · , n}.

2. Montrer queSⁿ

d =Td. Déduire que X

d|n

ϕ(d) =n.

Exercice 5

1. Déterminer, à isomorphisme près, tous les groupes d’ordre 4.

2. Soitkun corps. Montrer que tout morphisme d’anneaux f dekdans un anneauB est injectif.

3. SoitA un anneau intègre fini contenant au moins 2 éléments. Montrer queA est un corps.

Exercice 6

1. Montrer que sixest un entier impair, alorsx²≡1 (mod 8).

2. Déduire que (Z/8Z)^× n’est pas cyclique.

Imprimé avec L^ATEX 2ε 1/1