• Aucun résultat trouvé

∑∑∑ Module 5 : Formes quadratiques

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "∑∑∑ Module 5 : Formes quadratiques"

Copied!
12
0
0

Texte intégral

(1)

Module 5 : Formes quadratiques

1. Définition et propriétés

1.1 Définition

On appelle forme quadratique le produit X

[ ]

AX où :

[ ]

A est une matrice symétrique,

















=

n ij

i

n 1 j

1 12

1

) n , n (

a b

a

b ...

b ...

b a

A

avec ai les éléments de la diagonale principale et bij l’élément de la iième ligne et de la jième colonne qui est égal par symétrie à l’élément de la jième ligne et de la iième colonne de A

• X un vecteur de dimension (n,1)









=

n 2 1

x x x

X M

• X’ le vecteur transposé de X : X(1,n) =

[

x1,x2,...,xn

]

D’où

[ ] [ ][ ] [ ]

































=









′ =

n 1

n ij

i

n 1 j

1 12

1

n 2 1 n 2 1 n

2 1

x ..

...

...

...

x

a b

a

b ...

b ...

b a

x ..., x , x x x x A x ..., x , x X A

X M

[ ]













 +

+ +

+ +

=

n 1

n n 1

n 1 n

n 1 2

12 1 1

x . . . x

x a ...

x b ..., , x b ...

x b x a

n 1 n 1 2

1 12 2

n n 2

1 1

2n 2 n

n 1 1 n

1 n 1 2

1 2 12

1 1

x x b 2 ...

x x b 2 x a ...

x a

x a ...

x b ...

x x b ...

x x b x a

+ + +

+ +

=

+ + +

+ +

+ +

=

∑ ∑

= =+

=

+

= n 1

1 i

n 1 i j

j i ij n

1 i

2

ixi 2 b x x

a

(2)

Exemples :

Exemple 1 : Ecrire sous la forme X'[A]X les expressions suivantes :

2

2 2 2 1

1 4x x 3x

x + + peut s’écrire x1

(

x1+2x2

)

+x2

(

2x1+3x2

)

ou

[ ]

 

 

 

2 1 2

1 x

x 3 2

2 x 1

x

2 1 2 1 3

3 2 2 2

1 2x 7x 4x x 8x x

x + − − +

[ ]









3 2 1 3

2 1

x x x

7 sym

0 2

4 2 1 x x x

2

2 3 2 1

1 6x x x x

2 − +

[ ]









3 2 1 3

2 1

x x x

1 0 0

0 0 3

0 3 2 x x x

2 1 2 1 3 2 3

3 2 2 2

1 2x 3x 4x x 6x x 8x x

x − − + + −

[ ]









3 2 1 3

2 1

x x x

3 4 3

4 2 2

3 2 1 x x x

Exemple 2 : Ecrire sous la forme développée la forme quadratique en x1,x2x3 dont la matrice est





− 5 4 1

4 2 3

1 3 2

3 2 3 1 2 2 1

3 2 2 2

1 2x 5x 6x x 2x x 8x x x

2 + − − + +

Exemple 3 : Soit la matrice





=

4 6 4

6 2 2

4 2 1

A . Trouver la forme quadratique associée.

→ par le calcul :

[

1 2 3

] [

x1 2x2 4x3 2x1 2x2 6x3 4x1 6x2 4x3

]

4 6 4

6 2 2

4 2 1 x x x A

X = + + + + + +





′ =

[ ]

2 3 1

3 2 2 1

3 2 2 2 1

2 3 3 2 3 1 2 2 3

2 2 1 1 3 1 2 2

1

3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1

x x 12 x x 8 x x 4 x 4 x 2 x

x 4 x x 6 x x 4 x x 6 x 2 x x 2 x x 4 x x 2 x

x x x x 4 x 6 x 4 x 6 x 2 x 2 x 4 x 2 x AX X

+ +

+ + +

=

+ +

+ +

+ +

+ +

=





 + + +

+ +

+

′ =

(3)

Remarque : les coefficients ai

de la matrice A (sur la diagonale de A) sont les coefficients des 2

xi (1, 2 et 4) et les bij

de la matrice A (les éléments de la matrice A qui ne sont pas situés sur la diagonale principale) sont la moitié des coefficients des xij (ici 2, 4 et 6 sont la moitié de 4, 8 et 12)

→ par construction :

aixi2+2

∑∑

bijxixj

( )

23 1 2 3 1 3 2

2 2 2 3 1 2 3 1 2 2 1

3 2 2 2

1 2x 4x 22x x 4x x 6x x x 2x 4x 4x x 8x x 12x x

x + + + + + = + + + + +

1.2. Changements de base

Soit P une matrice.

Soit X=

[ ]

PX1 une application linéaire sur un espace vectoriel F. Elle transforme la forme quadratique

[ ]

A X

X′ de matrice symétrique

[ ]

A sur F en la forme quadratique :

[ ]

( ) [ ][ ] ( [ ] [ ][ ] )

[ ]

1

1

1 1

1 1

X B X

X P A P X X P A X P

= ′

′ ′

′ =

avec

[ ] [

B = PAP

]

,

[ ]

B matrice symétrique.

Toutes les matrices

[ ]

A et

[ ]

B telles que

[ ] [

B = PAP

]

sont dites congruentes.

1.3. Formes quadratiques définies, semi définies

La forme quadratique X′

[ ]

AX est dite :

• définie positive si X′AX>0 pour tout X≠0

• définie négative si X′AX<0 pour tout X≠0

• semi définie positive si X′AX≥0

• semi définie négative si X′AX≤0

Exemple :





=

0 0 0

0 2 0

0 0 1

A Déterminer la nature de la forme quadratique de A.

[ ]

[

x 2x 0

][

x x x

]

x 2x 0

x x x A x x x AX X

2 2 2 3 1 2 1 2

1

3 2 1 3

2 1

≥ +

=

=





′ =

La forme quadratique est donc semi définie positive.

1.4. Matrices définies, semi définies

Théorème 1 : Soit A une matrice symétrique alors :

(4)

• A est définie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives : λj >0

• A est définie non négative ou semi définie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives ou nulles : λj ≥0

• A est définie négative si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement négatives : j <0

λ

• A est semi définie négative si et seulement si toutes ses valeurs propres sont négatives ou nulles : j ≤0

λ

• A est indéfinie si ses valeurs propres sont soient positives, soient négatives.

Théorème 2 : Soit A une matrice symétrique régulière d’ordre n et soit Mj le jème mineur principal, c’est-à- dire le déterminant de la sous-matrice obtenue en supprimant les n-j dernières lignes et les n-j dernières colonnes, alors :

• A est définie positive si et seulement si tous ses mineurs principaux M1,M2...,Mn sont strictement positifs.

• A est définie négative si et seulement si tous ses mineurs principaux alternent en signe en commençant par M1 <0,M2 >0,M3 <0...,(−1)nMn >0

Exemples :

• 1) Soit 

 

= −

2 2

2

A 2 Quelle est la nature de A ?

Il faut rechercher les valeurs propres de A

(

2

)

4

(

4

)

0

2 2

2 I 2

A = −λ 2 − = −λλ =

λ

− λ

= − λ

Deux valeurs propres : 0 4 0≥



= λ

=

λ . A est semi définie positive.

Le théorème 2 n’est pas applicable car A est singulière (déterminant de A=0)

• 2) 

 

= 2 1

1

A 2 Quelle est la nature de A ?

Application des deux théorèmes :

AλI = 21λ 21λ =

(

2λ

)

21=

(

3λ

)( )

1λ =0 Rappel : a2 b2 =(ab)(a+b)

3 0 1 >



= λ

=

λ . A est définie positive.

Calcul des mineurs :

0 3 1 4 M , 0 2

M1= > 2 = − = > . A est définie positive.

2. Diagonalisation d’une matrice symétrique – Notions de vecteurs orthogonaux – produits scalaires

Soit X′AX une forme quadratique

A une matrice symétrique (par définition).

(5)

• Toute matrice symétrique est diagonalisable si et seulement si le polynôme caractéristique d’une matrice symétrique d’ordre n a n racines réelles distinctes ou confondues.

• Si A est une matrice symétrique, 2 vecteurs propres associés à 2 valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

Exemple :





=

1 2 2 2

2 2 3 2 2

2 2 2 1

A Diagonalisons la matrice A (Cf §3)

1) Détermination des valeurs propres

= λ

− λ

− λ

= λ

− 0

1 2 2 2

2 2 3 2 2

2 2 2 1 I A

( )

1λ 322λ 122λ 2 2222 122λ +2222 322λ

( )

λ

(

λλ+λ

)

(

λ

)

+

(

+ λ

)

= 1 3 3 2 8 2 22 2 2 2 4 2 28 6 2

( )

λ

(

λ+λ

)

+ + λ+ + λ

= 1 5 4 2 8 8 4 4

λ + + λ

− λ + λ + λ + λ

= 5 4 2 5 4 2 3 12 12 0

7 13 5 2

3 + λ + λ+ = λ

=

on remarque que λ=−1 est racine de l’équation (est une solution de l’équation) Divisons −λ3 +5λ2+13λ+7 par λ+1 pour trouver les autres racines

2 3

2

3 5 13 7

λ

− λ

+ λ + λ + λ

− λ+1

7

2+6λ+ λ

− λ

+ λ

λ + λ

6 6

13 6

2 2

7 7

7 7

+ λ

+ λ

0

Donc la division de −λ3 +5λ2 +13λ+7 par λ+1 donne −λ2+6λ+7 c'est-à-dire que :

( )

1

(

6 7

)

7 13

5 2 2

3 + λ + λ+ = λ+ −λ + λ+ λ

Recherchons les racines −λ2 +6λ+7=0 c'est-à-dire résolvons −λ2 +6λ+7=0 82

64 28 36+ = =

=

(6)

2 1 8 6 =−

−+

(

λ′,λ ′′

)

= b2±a

2 7 8

6 =

( )(

λ+1 λ+7

)

=0

Ainsi λ2 +6λ+7=

( )(

λ+1 λ+7

)

et donc λ3+5λ2+13λ+7=

( )

λ+1

(

λ2 +6λ+7

)

=

( )( )(

λ+1 λ+1 λ+7

)

(

7

)( )

12

I

A−λ = −λ+ λ+



= λ

= λ

= λ

7 1

3 2 1

2) Recherche des vecteurs propres associés aux différents λi

• λ12 =−1





=









λ

− λ

− λ

0 0 0

z y x

1 2 2 2

2 2 3

2 2

2 2 2 1

1 1

1

z y 2 x 0 z 2 y 2 2 x 2 0 z 4 y 2 4 x 4 0 z 2 y 2 2 x 2

0 z 2 2 y 4 x 2 2

0 z 2 y 2 2 x 2

=

= + +

= + +

 ⇔



= + +

= +

+

= + +

On obtient l’équation d’un plan vectoriel dont une base est formée par exemple par les vecteurs )

0 1 2 ( w )

1 0 1 (

v = − = −

• λ3 =7





=









λ

− λ

− λ

0 0 0

z y x

1 2 2 2

2 2 3

2 2

2 2 2 1

3 3

3

) 3 ( z 3 y 2 x

0 z 3 y 2 x

0 z 2 y 2 x 2

0 z y 2 x 3

0 z 6 y 2 2 x 2

0 z 2 2 y 4 x 2 2

0 z 2 y 2 2 x 6

+

=





=

− +

= +

= + +

 ⇔



=

− +

= +

= + +

( )

( )

 + ==





= +

− +

= + + +

0 z 2 4 y 4

0 z 8 y 2 4 0 z 2 y 2 z 3 y 2 2

0 z y 2 z 3 y 2 3





= +

=

⇔ −

=

=

=

0 z 2 4 y 4

0 z 2 8 y z 8

2 2

2 2 2 z 2 2 4

z y 8

(7)

( )





= +

= +

=

=

z z 3 z 2 z 3 z 2 2 x

z 2 y

On obtient l’équation d’une droite vectorielle de vecteur directeur par exemple u=

[ ]

1, 2,1

On a donc 3 vecteurs propres indépendants. Ils forment une base de ℜ3 (leur déterminant est non nul).

4 0

1 1

1 0 2

2 1 1

=

3) Appelons H, la matrice formée par les 3 vecteurs propres





 − −

=

0 1 1

1 0 2

2 1 1 H

La matrice A peut se décomposer en (Cf §3) A =H⋅D⋅H1













 −





 − −

=

4 2 24

4 2

34 24

14

4 2 4

2 14

1 0 0

0 1 0

0 0 7

0 1 1

1 0 2

2 1 1 A

D H A H H

D H

A= ⋅ ⋅ 11⋅ ⋅ = Vérifions le théorème précédent :

Le vecteur u=

( )

1, 2,1 vecteur propre de A pour la valeur propre 7 est orthogonal à chacun des vecteurs propres v =

[

1,0,1

]

et w=

[

2,1,0

]

associés à la valeur propre -1. (Cf les définitions suivantes pour le démontrer)

On appelle produit scalaire X.Y de 2 vecteurs

[ ]





=

=

n 1 ) 1 , n ( n 1 n) (1,

y y Y

et x , , x

X K M le scalaire x1y1+x2y2+...+xnyn

Exemple :

[

1 1 1

]

X1=





= 2 1 2 X2





= 1

2 1 X3

(

1 2

)

2 1

3 1

2 1

X X 2 10 4 1 1 1 4 1 X 2 X

0 1 2 1 X X

5 2 1 1 1 2 1 X X

=

=

× +

× +

×

=

= +

=

=

× +

× +

×

=

Propriétés du produit scalaire :

(8)

( )

(

11 2 2

)(

33 14

)

3 1133 2 3 1 4 2 4

2 1 2 1

1 2 2 1

X X X X X X X X X X X X

X X X X X X X

X kX kX . X

X X X X

+ +

+

= + +

+

= +

=

=

Définition : deux vecteurs X et Y de taille n, sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

Donc dans l’exemple précédent :

 ⇒



= +

=

= +

=

0 2 2 w u

0 1 1 v u

vecteur u orthogonal à v et w.

Une base formée de vecteurs 2 à 2 orthogonaux s’appelle une base orthogonale de l’espace.

Un vecteur propre est dit normalisé si x 1

n 1 i

2 i =

=

.

On appelle module d’un vecteur X ou norme d’un vecteur noté X la racine carrée du produit scalaire de X par X :

2 n 2

2 2

1 x x

x X . X

X = = + +K+

Exemple : X1=

[

1 1 1

]

X1 = 3

Pour normaliser un vecteur, on divise chacune de ses composantes par X . Une base formée de vecteurs orthogonaux unitaires est dite orthonormale.

Dans l’exemple précédent, les vecteurs suivants :



− −

′=



− +

′=





′=

12 22

12 2 w

0 2 22 2 v

2 1 2 2

u 1 sont aussi vecteurs

propres de A et forment une base orthogonale de ℜ3. De même, si on prend :

w w w v v v u

u′′= u ′′= ′′= on obtient :



−

′′=



− +

′′=





′′= 0

3 1 3 w 2

2 0 1

2 v 1

4 1 4 2 4 u 1

sont aussi vecteurs propres de A et forment une base orthonormale de ℜ3. Changement de base (relatif à la matrice symétrique de l’exemple précédent).

Forme quadratique associée à cette matrice A : AX

X Q= ′

( )

23 1 2 1 3 2 3

2 2 2

1 3x x 4 2x x 4x x 4 2x x x

x

Q = + + + + +

On a vu : (Cf §2)

(9)

( )

2

( )

1 1 1

1 Q x XAX Q x X BX

PX

X= = ′ → = ′ avec B=P′AP

changement de base par le biais de P (matrice de passage de la base canonique à la nouvelle base).

Si l’on choisit une base orthonormale de vecteurs propres de A, la matrice de passage P est appelée matrice orthogonale. Elle possède la propriété suivante :

P 1

P′= Donc B=P1AP

Or on a vu dans la diagonalisation que A=H⋅D⋅H1⇔H1⋅A⋅H=D, avec D matrice diagonale des valeurs propres.

Donc la matrice B=P1AP est la matrice diagonale dont les termes sont les valeurs propres de A.

Il existe cependant une infinité d’autres bases dans lesquelles la matrice B est diagonale sans pour cela que les termes diagonaux soient égaux aux valeurs propres de A.

Dans chacune d’elles, la forme quadratique associée sera : n2

2 n 2 2 2

1x1′ +α x′ + +α x′

α K

La valeur des αidépend de la base choisie. Mais il y a toujours le même nombre de coefficients αi >0, le même nombre de coefficients αi <0 et donc aussi le même nombre de coefficients nuls.

( )

23 1 2 1 3 2 3

2 2 2

1 3x x 4 2x x 4x x 4 2x x x

x

Q = + + + + +

En regroupant tous les termes contenant x1, on peut écrire :

( )

x x12 2x1

(

2 2x2 2x3

)

3x22 x23 4 2x2x3

Q = + + + + +

On voit ainsi apparaître dans les 2 premiers termes le début du développement d’un carré. D’où

( )

x

(

x1

(

2 2x2 2x3

) )

2

(

8x22 4x23 8 2x2x3

)

3x22 x23 4 2x2x3

Q = + + − + + + + +

( )

x

(

x1 2 2x2 2x3

)

2 5x22 3x23 4 2x2x3

Q = + + − − −

soit encore

( )

x =

(

x1+2 2x2 +2x3

)

2 5x22 + 53x23 + 452 x2x3

Q

( )

x =

(

x1+2 2x2 +2x3

)

2 5x22 +2252 x2x3 +53x32

Q

( ) ( )





+

 −



 +

− +

+

= 32 23

2 3 2

2 3 2

1 x

5 x 3 25 x 8

5 2 x 2

5 x

2 x 2 2 x x Q

( )

x

(

x1 2 2x2 2x3

)

2 5 x2 252 x3 2 57x23

Q  −



 +

− +

+

=

Changement de base défini à « l’envers » par : 3

2 1

1 x 2 2x 2x

x′ = + +

3 2

2 x

5 2 x 2

x′ = +

(10)

3

3 x

x′ =

( )

22 3

2

1 x

5 x 7 5 x x

Q = ′ − ′ − ′ Forme quadratique associée à





− 75 0 0

0 5 0

0 0 1

Il y a, comme dans la matrice des valeurs propres, un terme positif et 2 termes négatifs.

3 Dérivée matricielles

3.1 Dérivée d’une matrice par rapport à une variable

Soit une matrice A de dimension p,q : A(p,q) et de terme générique aij, la dérivée de A par rapport à une variable t est une matrice B dont les termes sont les dérivés de la matrice par rapport à t. C'est-à-dire :

( )

B

t A =

∂ de terme générique : t aij

3.2 Dérivée d’une forme quadratique par rapport à un vecteur

Soit Q

( )

x =X

[ ]

AX une forme quadratique où X est un vecteur colonne,

[ ]

A une matrice symétrique définie positive.

On a vu que : (Cf §1)

( ) [ ] ∑ ∑ ∑

= =+

= +

′ =

= n 1

1 i

n 1 i j

j i ij n

1 i

2

ixi 2 b xx a

X A X x Q

Donc la dérivée de Q(x) par rapport à Xi s’écrit :













∂ ∂

∂ ∂

∂ =

n i 1

i

Qx Q x Q x

x Q

M M

( )

X m 2

x m ...

x m 2

x m x 2

Q

i

n in 1

1 i n

1 j

j ij i

= ′

+ +

=

∂∂ =

=

Soit m′i : ième ligne de

[ ]

A =(mi1,...,min)

On démontre que :

[ ]

XAX 2

[ ]

A X

X X

Q =

∂ ′

∂ =

si 2X

X x Q X

X

Q 2i =

= ∂

= ′

Exemple :

Soit

( )

23 1 3 1 2 2 3

2 2 2

1 5x 7x 4x x 2x x 2x x x

x

Q = − − + + +

(11)

[ ]





=

7 1 2

1 5 1

2 1 1 A

[ ]





− +

+

− + +

=









=

∂ =

3 2

1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x 14 x 2 x 4

x 2 x 10 x 2

x 4 x 2 x 2

x x x

14 2

4

2 10 2

4 2 2 X A X 2 Q





− +

+

− + +

=













∂∂

∂ =

3 2

1

3 2 1

2 3 1

3 2 1

x 14 x 2 x 4

x 2 x 10 x 2

x 2 x 4 x 2

x Q x

Q x

Q

X Q

3.3 Maximisation d’une forme quadratique sous contrainte

Cherchons à maximiser la forme quadratique X′

[ ]

AX sous la contrainte X'X=1 (le vecteur X est normé).

Pour résoudre ce problème de maximisation sous contrainte on utilise la procédure du Lagrangien :

(

X'X 1

)

AX ' X

L= −λ −

On calcule alors :

( ) ( )

X 1 X ' X X

AX ' X X L

∂ − λ∂

∂ −

= ∂

∂∂

Or on a vu que :

( )

2AX

X AX '

X =

∂ et

( ) ( )

X X ' X X

1 X ' X

=∂

∂ −

∂ or X'X=x12 +...+xn2

( ) ( )

n n

1 1

x x 2

X ' ... X x x 2

X '

X =

= ∂

⇒ ∂

( )

2X

X X '

X =

⇒ ∂

D’où : 2AX 2 X X

L = − λ

Pour maximiser il faut annuler la dérivée (condition du premier ordre) Fonction à

maximiser

Multiplicateur de Lagrange

Contrainte sous forme d’égalité à 0

(12)

0 X 2 AX X 2

L = − λ =

∂ soit

(

AλΙ

)

X=0 qui est l’écriture de la recherche des vecteurs propres associés aux valeurs propres λ de la matrice A.

Or on sait que avec A symétrique :

= Λ

= AC '

C la matrice diagonale des valeurs propres et C la matrice orthogonale des vecteurs propres.

Donc maximiser X′

[ ]

AX sous la contrainte X'X=1 c’est trouver le vecteur propre normé X qui correspond à la plus grande valeur propre de A

Ce principe est la base des analyses multidimensionnelles qui seront abordées dans le cours d’analyse de données du Master 1.

Références

Documents relatifs

Démontrer qu’il existe une infinité de carrés parfaits dont la somme des chiffres comme le produit des chiffres sont des carrés parfaits non nuls. il existe une infinité de

Dans tout ce problème, on note n un entier supérieur ou égal à 2 et M n ( R ) l’ensemble des matrices carrées possédant n lignes et n colonnes dont les coefficients sont

Calculatrice autorisée (Les 4 exercices sont indépendants. Un soin tout particulier sera apporté à la rédaction des réponses)?. Exercice 1

D´eterminer les valeurs du coefficient a pour lesquelles la matrice A est diagonalisable.. On se propose de montrer que f A

Vérifier que q est une forme quadratique sur E en l’exprimant en fonction des coefficients de la matrice représentant f dans la base canonique de

algèbre quadratique sur A et classes de formes quadratiques binaires à coefficients dans A... Les propriétés des algèbres unitaires projectives de rang 2 et de leurs

G.F.Wankap Nono (Schwarz) et Mme FOKA Solange 2/2 www.doualamaths.net www.doualamaths.ne.

L'étude des principales propriétés des matrices positives a été entreprise au début du siècle (Frobenius [5], Perron [14]), puis complétée et élargie dans le cadre plus