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La commande par mode glissant flou

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

La commande par mode glissant flou

1. Introduction

La commande par mode glissant a largement prouvé son efficacité à travers plusieurs études théoriques, ses principaux domaines d’application sont la robotique [34], [35], [36] et la

commande des moteurs électriques [37]. L’avantage que procure une telle commande qui la rend aussi importante, est sa robustesse vis-à-vis des perturbations et des incertitudes du modèle. Cependant, ces performances sont obtenues au prix de certains inconvénients:

l’apparition du phénomène de chattering ou broutement provoqué par la partie discontinue de la commande qui peut avoir un effet néfaste sur les actionneurs, le système est soumis à chaque instant à une commande élevée afin d’assurer sa convergence vers l’état désiré et ceci n’est pas souhaitable.

Parmi les solutions proposées à ces problèmes on peut citer la commande par mode glissant à bande limite qui consiste à remplacer la fonction de commutation par une fonction de saturation. Mais, cette solution n’est qu’un cas particulier de la commande par mode glissant flou, d’où l’intérêt à utiliser une commande qui combine la logique floue et le mode glissant afin d’obtenir une commande robuste et lisse.

Certains chercheurs [38] ont essayé de trouver une similitude entre la commande floue non linéaire et la commande par mode glissant et de combiner les deux lois de commande, c’est-à-dire la commande floue pour sa rapidité et sa facilité de mise en œuvre, et le régime glissant pour ses fondements théoriques rassurant du point de vue stabilité et robustesse.

Cette combinaison reliant les avantages d’invariance par rapport aux incertitudes et aux perturbations de la commande à régime glissant avec ceux de la rapidité et de la bonne poursuite de trajectoire de la commande floue, permet de s’affranchir des problèmes de broutement de la commande par mode glissant et de déficit en outils d’analyse de la commande à base de la logique floue sans oublier la diminution du nombre de règles floues.

Dans ce chapitre, nous allons étudier un contrôleur flou dont le fonctionnement reflète le principe de la commande par mode glissant pour assurer la stabilité et la robustesse. Ensuite, on va étudier un contrôleur par mode glissant flou.

(2)

2. Synthèse de la commande robuste par mode glissant

Considérons un système non linéaire décrit par la représentation d’état suivante :

) ( ) (

) ( ) ( ) , ( ) , ( ) (

) ( ) (

) ( ) (

1 3 2

2 1

t x t y

t d t u t X b t X f t x

t x t x

t x t x

n

=

+ +

=

=

=

&

M

&

&

(IV.1)

( )

) ( ) (

) ( ) , ( ) , ( ) (

t x t y

t u t X b t X f t x

n

=

+

=

(IV.2)

avec :

T n T

n t x t x t x t

x t x t x t

X( )=[ 1( ), 2( ),K, ( )] =[ ( ),&( ),K, ( 1)( )] est le vecteur d’état.

) , (X t

f et b(X,t) sont des fonctions non linéaires du vecteur d’état avec

b ( X , t ) ≥ b f 0

.

)

(t

u

: la commande.

) (t

d

: la perturbation considérée comme étant bornée :

d ( t ) ≤ D

.

Le but de la commande est de trouver une loi de commande telle que, les trajectoires du vecteur d’état tendent vers zéro malgré la présence des perturbations.

La mise en œuvre d’une commande par mode glissant passe par trois étapes :

• Le choix de la surface de glissement La surface de glissement est donnée par :

S(X,t)=c1x1+c2x2 +L+cn1xn1+xn (IV.3) où

( ) ∑

=

+

=

1 1

, n

i

n i

ix x

c t

X

S avec

f 0

c

i ,i=1,K,n−1 (IV.4)

• • • La condition d’existence d’une surface de glissement

Elle peut être déduite de la fonction de Lyapunov donnée par la relation suivante : 2

2 1S

V = (IV.5)

(3)

Une condition suffisante pour que le système (IV.1) soit stable est :

V& =SS&≤−

η

S (IV.6) Ou : η f0

• L’établissement de la loi de commande

La loi de commande par mode glissant est donnée par la formule suivante :

u=ueq +KSign(S) (IV.7) ueq : la commande équivalente.

(.)

Sign : la fonction signe.

K : une constante positive qui représente le gain de la commande.

L’objectif est de déterminer une loi de commande par mode glissant de telle l'état du système converge vers l'origine.

Pour que le système (IV.1) soit stable les coefficients de (IV.3) doivent être choisis de telle sorte que les racines soient à parties réelles négatives.

On considère la fonction de Lyapunov :

2

2 1 S

V =

(IV.8) D’après le théorème de Lyapunov si

V &

est négative la trajectoire d’état sera attirée vers la surface de glissement et commute autour de celle-ci jusqu’au point d’équilibre.

(

1

)

1

1 n

n

i i

i

x x

c S S S

V & & &

+

=

= ∑

=

+ (IV.9)

( ) ( ) ( ) ( )

 

 + + +

=

= ∑

=

+

f X t b X t u t d t

x c S S S V

n

i i

i

, ,

1

1 1

&

&

(IV.10) Il est facile de conclure que si la commande u a la forme suivante

u = u

eq

KSign ( Sb ( X , t ))

,

( ) X b

K f D

(IV.11) avec

( )

( X t )

b

t X f x c u

n

i i i

eq

,

,

1

1

1

=

= +

(IV.12)

(4)

et





= 1 0 1 ) (ϕ

Sign

Si Si Si

0 0 0 p f

ϕ ϕ ϕ

= (IV.13)

alors la valeur de

V &

sera négative.

On remarque que la loi de commande (IV.11)- (IV.13) ne dépend que des paramètres ciet

K

et des fonctions supposées connues

f ( X , t )

et b(X,t) et que le terme

K * Sign ( Sb ( X , t ))

provoque un phénomène de chattering qui peut exciter les hautes fréquences et les nonlinéarités non modélisables et endommager le système. Ainsi, la loi de commande (IV.11) est efficace mais elle est difficile à mettre en œuvre et peut présenter des risques pour le processus.

Pour réduire l’effet du broutement la fonction discontinue peut être remplacée par une fonction de saturation, qui consiste à déterminer une bande limite autour de la surface de glissement assurant le lissage de la commande et le maintient de l’état du système dans cette bande. La loi de commande, représentée sur la figure IV.1, est alors :

u = u

eq

KSat ( Sb ( X , t ) / Φ ), Φ f 0

(IV.14) avec



=  ϕ ϕ ) ( ϕ )

( Sign

Sat

Si Si

1 1

ϕ

p

ϕ

(IV.15)

Figure IV.1. Sortie de la commande par mode glissant :

( , ) )

( Φ

= Sb X t

KSat u

u

eq 2

/ K ueq

ueq

K ueq +

2 / K ueq +

K ueq

Φ 0

−2

3 −Φ Φ

2

1 Φ Φ

2 Φ 3

−2

1 Sb(X,t)

u

(5)

3. La conception du contrôleur par mode glissant flou

3.1. Détermination de la distance signée d

S

pour un point arbitraire

Soit une surface de glissement de dimension

( n − 1 )

dans l’espace d’état de dimension

n

:

S(X,t)=c1x1+c2x2 +L+cn1xn1 +xn (IV.16) Le vecteur normal

N

à la surface S(X,t)=0 est donné par :

[ ] [

, , , ,1

]

1 , , , ,

1 2

1

1 2

1

=

n T n

c c c

c c N c

K

K (IV.17)

La distance signée

d

S pour un point arbitraire

X

est donnée par:

d

S

= X

T

N

(IV.18) Pour un système non linéaire décrit par l’équation (IV.1), la distance signée

d

S est :

2

1

1 2

2 2 1

1 1 2

2 1 1

+ + + +

+ +

+

= +

n

n n n

S

c c c

x x c x

c x d c

L

L

(IV.19)

( )

1 ,

2 1 2

2 2

1

+ + + +

=

n

S

c c c

t X d S

L

(IV.20) Si on choisit une fonction de Lyapunov de la forme :

2

2 1

d

S

V =

(IV.21) alors

2

1

1 2

2 2

1

+ + + +

=

=

n S

S

c c c

S d S

d

V L

&

&

&

(IV.22) La dérivée de la surface de glissement est donnée par :

1 1

(

,

) (

,

)

( )

1

t d u t X b t X f x c

S i

n

i

i + + +

= +

=

& (IV.23)

En multipliant l’équation (IV.23) par

S

, on obtient :

SS Sn c x Sf

(

X t

)

Sb

(

X t

)

u Sd

( )

t

i i

i + + +

=

=

+ , ,

1 1

& 1

(IV.24) Si on suppose que b(X,t)f0, ∀X alors :

u

augmente avec l’augmentation de

S &

et vice –versa.

si

S f 0

la diminution de

u

va diminuer

S S &

et si

S p 0

l’augmentation de

u

va diminuer

S S &

.

(6)

Si

f 0

d

S la diminution de

u

va diminuer

d

S

d &

s

de sorte que

& p 0

V

et si

p 0

d

S

l’augmentation de

u

va diminuer

d

S

d &

s

aussi de sorte que

& p 0

V

[39].

La relation qui lie la distance signée

d

S entre le vecteur d’état et la surface de glissement et la commande

u

peut être exploitée pour déterminer la base de règles d'un contrôleur flou permettant la stabilité asymptotique du système.

La figure IV.2 représente le plan de phase d’un système d’ordre deux. Soit :

1 =0 +c x

x& : la droite de glissement.

) , (x1 x1

B & : la position de l’état actuel dans le plan de phase.

) , (x x

A & : le point d'intersection de la projection du vecteur d’état actuel B(x1,x&1) sur la surface

de glissement selon la direction du vecteur normal

N

.

d

1 : la distance signée entre le vecteur d’état B(x1,x&1) et le vecteur d’étatA(x,x&)

La distance signée

d

S pour un point arbitraire

B ( x , x & )

est définie comme suit [39] :

[ ] [ ]

[ ]

12

2 1 1 1

2 1

1

1 1

1

c x x c c

x c x d

T

S

+

= +

=

(IV.25)

2

1 c

1

d

S

S

+

=

(IV.26) )

, (x x

A &

) , (x1 x1

B &

1 =0 +c x x&

x x&

N

Figure IV.2. Droite de glissement

S ( x ) = 0

et la distance d1 d1

(7)

Pour que le système soit asymptotiquement stable, on peut utiliser un régulateur flou dont la table de règles est donnée par :

dS NG NM ZR PM PG

uf PG PM ZR NM NG

avec NG : négatif grand, NM : négatif moyen, ZR : zéro, PM : positif moyen et PG : positif grand.

4. Le principe de la commande par mode glissant flou

On suppose un contrôleur flou pour un système d’ordre deux construit par la collection des règles floues suivantes :

R1 : Si S estNG Alors uf est PG R2 : Si S estNM Alors uf est PM

R3 : Si S estZR Alors uf est ZR (IV.27) R4 : Si S estPM Alors uf est NM

R5 : Si S estPG Alors uf est NG

avec NG,NM ,ZR,PMet PG,… sont des ensembles flous dont les fonctions d’appartenance sont montrées dans les figures suivantes :

Tableau 1

: Les règles floues pour la commande uf de la distance euclidienne dS

ufeq ufeq+Kf/2 ufeq +Kf 0

1 NG NM ZR PM PG

f

feq K

uufeqKf/2

u

f

µ

Figure IV.3. Fonctions d’appartenances pour la sortie

u

(8)

Pour n’importe quel ensemble, chaque règle

R

i peut déterminer un ensemble flou. En utilisant la méthode d’inférence max-min on trouve :

 

 

 

 

 

 

= sup

min ( ), min , ( ) )

(

~ ~ ~

~ R f S X F F F f

F

u S

i

u

uf I X S

i

x

µ µ µ

µ

o (IV.28)

L’équation (IV.28) peut être simplifiée en supposant

F ~

x

comme étant un singleton flou c’est-à-dire pour

S = ,

~i

( S ) = 1

FS

µ

α

sinon ~i

( S ) = 0

FS

µ

, l’équation (IV.28) devient :

 

 

= min ( ), ( ) )

(

~ R f F F f

F

u

i

u

uf i

x

µ

S

α µ

µ

o (IV.29)

et la fonction d’appartenance résultante d

Fuf

µ

est :

F~

( u

f

) max [

F~ R1

( u

f

),...,

F~ R5

( u

f

) ]

x x

d

uf

µ

o

µ

o

µ =

(IV.30)

en utilisant la défuzzification par la méthode de centre de gravité, l’expression de la sortie du régulateur flou

u

f est :

( )

∫ ( )

=

2 3

2 3

~ 2 3

2 3

~

f F f

f F f

f

f

du u

du u u

u

d uf d uf

µ µ

(IV.31)

A partir les figures IV.3-IV.4 et l’équation (IV.30), (IV.31) devient : Φ

− −Φ/2 0 Φ/2 Φ

ZR NM

NG PM PG

µ

S

Figure IV.4. Fonctions d’appartenance pour l’entrée

S

(9)

 

 

 

 

+

− +

− +

+ +

+

− +

=

1 6 1

4

) 1 3 )(

3 2

* ( 2

1 4 2 1

) 3 2

* ( 2

1 4 2 1

) 3 2

* ( 2

1 4 6 1

) 1 3 )(

3 2

* ( 2

1 1

2 2 2 2

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

u

f

1 2 1

1 2

0 1 2 0

1 2

1 1

1

− ≤

≤ −

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ p

(IV.32)

avec

= Φ S

ϕ

si S ≥Φ alors

u

f

= − Sign (S )

La figure IV.5 représente le résultat de la sortie uCMGF pour une entrée floue, la loi de la commande par mode glissant flou uCMGF à la forme suivante :

u

CMGF

= u

feq

+ K

f

u

f (IV.33) On peut conclure que ce régulateur par mode glissant flou particulier travaille comme un régulateur par mode glissant à bande limite.

 

− Φ

= S

Sat K u

u

CMGF feq f (IV.34)

Figure IV.5. Sortie de la commande par mode glissant flou

 

− Φ

= S

Sat K u

u

CMGF feq f 2

f /

feq K

u

ufeq f

feq K

u +

2

f /

feq K

u +

f

feq K

u

Φ 0

−2

3 −Φ Φ

2

1 Φ Φ

2 Φ 3

−2 1

Φ S uCMGF

(10)

A partir des figures IV.1 et IV.5 on remarque que le régulateur par mode glissant flou donné par l’équation (IV.34) et le contrôleur par mode glissant donné par l’équation (IV.14) ont une grande ressemblance non seulement au niveau des équations mais aussi au niveau des figures de représentations.

En comparant l’équation (IV.14) et l’équation (IV.34) on remarque qu’on peut remplacer

u

feq et

K

f par les valeurs correspondantes

u

eq et

K

dans le régulateur par mode glissant.

En résumé, dans la conception d’un régulateur flou basé sur cinq règles, les règles floues peuvent être obtenus à partir d’un régulateur par mode glissant. Ce qui assure la stabilité et la robustesse pour le régulateur flou.

5. Commande par mode glissant flou découplée

Soit le système non linéaire d’ordre quatre décrit par la représentation d’état suivante :

) ( ) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) (

2 2

2 4

4 3

1 1

1 2

2 1

t d t u X b X f t x

t x t x

t d t u X b X f t x

t x t x

+ +

=

=

+ +

=

=

&

&

&

&

(IV.35)

avec :

X = [ x

1

, x

2

, x

3

, x

4

]

T est le vecteur d’état,

f

1

( X ), f

2

( X ), b

1

( X )

et b2(X) sont des fonctions non linéaires avec

b

1

( ) Xb

1

f 0

et

b

2

( ) Xb

2

f 0

,

X

,

u (t )

est la commande,

d

1

( t )

et

)

2

( t

d

sont des perturbations supposées comme étant bornées :

d

i

( t ) ≤ D

i, i=1,2. On définit deux surface de glissement

S

1 et

S

2 :

S

1

= c

1

x

1

+ x

2 (IV.36)

S

2

= c

2

x

3

+ x

4 (IV.37) A partir de la théorie de mode glissant présentée dans la partie précédente, on peut choisir une loi de commande de la forme [40] :

u

1

= u

1eq

K

1

Sat ( S

1

b

1

( X ) / Φ

1

)

, avec

( ) X b K D

1 1

1

f

(IV.38) avec

(11)

) (

) (

1 1 2 1

1

b X

X f x u

eq

c

=

(IV.39) et

u

2

= u

2eq

K

2

Sat ( S

2

b

2

( X ) / Φ

2

)

, avec

( ) X

b K D

2

2

f

2 (IV.40) Il est évident que si on pose

u = u

1, cette commande permet de ramener le plus rapidementpossibleles états

x

1 et

x

2 sur la surface

S

1, puis de les y faire glisser jusqu’au point d’équilibre. La même chosesera pour les états

x

3 et

x

4 avec

S

2 si on prend

u = u

2, autrement dit ce régulateur ne peut commanderque l’un des deux sous-systèmes.

Pour le système donné par l’équation (IV.35) on cherche à déterminer une loi de commande

u = u (x )

de sorte que lesystème en boucle fermée soit globalement stable, dans le sens où toutes les variables d’étatsoient uniformément bornées et convergent asymptotiquement vers leurs point d’équilibre.

L’idée principale de ce régulateur découplé consiste à décomposer lesystème en deux sous- systèmes A et B, le sous système A est constitué de

x

1 et

x

2 et sa surface de glissement correspondante est

S

1, le sous système B est constitué de

x

3 et

x

4 et sa surface de glissement correspondante est

S

2. En supposant que l’objectif essentiel est de stabiliser le sous système A, il estraisonnable de considérer l’information venant du sous système B comme étant secondaire, et cetteinformation secondaire doit être prise en compte par le sous système A, une variable intermédiaire

z

qui représente donc cette information secondaire est incorporée en

S

1. La surface

S

1prend la forme

c

1

( x

1

z ) + x

2, ce qui signifie que l’objectif principal est changé à

z

x

1

=

,

x

2

= 0

, ou

z

est une fonction de

S

2[41].

On peut choisir l’expression

S

1 et

S

2comme étant :

S

1

= c

1

( x

1

z ) + x

2 (IV.41)

S

2

= c

2

x

3

+ x

4 (IV.42) donc la loi de commande devient :

u = u

1

= u

1eq

K

1

Sat ( S

1

b

1

( X ) / Φ

1

)

(IV.43) avec

(12)

) (

) (

1 1 2 1

1

b X

X f x u

eq

c

=

(IV.44) la valeur de l’état

z

peut être limitée en posant

, 0 p p 1

U

U

z

z

z

(IV.45) où

z

U est la valeur maximale de

z

.

La variable

z

peut être définie par :

U Z

S z Sat

z 

 

= Φ

2 avec

0 p p 1

z

U (IV.46)

avec

Φ

Z est la bande limite de la surface de glissement

S

2 qui assure le lissage de la commande et le maintient de l’état du système dans cette bande. À partir de l’équation (IV.46)

si

S

2

≠ 0

alors

Z ≠ 0

, si

S

2

→ 0

alors z→0, et

x

1

→ 0

et

S

1

→ 0

et l’objectif de la commande peut être achevé [42].

CMG

: Contrôleur par Mode Glissant

CMGF

: Contrôleur par Mode Glissant Flou.

CMG

2

S

CMG

S

1

CMGF Procédé

Z x3

x4

x1

x2

u

-

Figure IV.6. Schéma de principe de la commande par mode glissant flou.

(13)

5.1. Exemples

5.1.1 Pendule Inversé

Le système se compose d’un chariot mobile en translation supportant un pendule libre en rotation comme le montre la figure IV.7.

En exerçant une force horizontale

u (t )

sur le chariot, le chariot se déplace à la position

x

provoquant la rotation du pendule d'un angle

θ

. Le pendule inversé est un système instable en boucle ouverte, non linéaire et multivariable.

La commande de ce système doit réaliser :

la stabilisation du pendule autour de sa position d’équilibre, en partant d'une condition initiale

θ ( 0 )

comprise dans l'intervalle [

− π / 2

,

+ π / 2

] ;

la stabilisation du chariot dans la position

x = 0

, en partant d'une condition initiale

x ( 0 )

comprise dans l'intervalle [

− 1 m

,

+ 1 m

].

Figure IV.7. Schéma de principe du simple pendule inversé )

(t u

θ

) (t x

(14)

Le mouvement peut être décrit par les équations différentielles suivantes [43] :

) ( 3 cos

. 4 3

4 3 cos

4

cos sin 3 sin

4

) ( 3 cos

. 4

. cos cos

sin sin

1 1 2

2

1 1 1

2 2 4

4 3

1 2

1 2

2 1 1 1

2 2 1

t d u x m

x m m

m

x x g m x Lx m x

x x

t d x

m m L

u x x

x x L m x g x m

x x

p p t

t

p p

p t p t

+

 

 

 −

+

− +

=

=

+

 

 

 −

+

= −

=

&

&

&

&

(IV.47)

avec

x x & x x x x &

=

=

=

=

2 3 4

1

θ , θ , ,

) (t

u

: la commande appliquée sur le chariot.

x

: la position du chariot.

θ

: l'angle du pendule.

kg

m

p

= 0 . 1

: est la masse du pendule.

kg

m

c

= 1

: la masse du chariot.

p c

t

m m

m = +

: la masse totale du chariot-pendule.

m

L = 0 . 5

: demi longueur du pendule.

/

2

81 .

9 m s

g =

: la pesanteur.

Les résultats de simulation sont donnés sur les figures suivantes pour une condition initiale

[ ]

T

x(0) = −1.0,0,−1.0;0 , pour un régulateur par mode glissant flou dont les paramètres sont :

c1 =5,c2 =0.5,K1 =15,Φ1 =5,Φz =8.5812,zU =0.9425

Les figures IV.8 et IV.9 représentent la convergence des états du système vers les points d’équilibres, ainsi que les deux surfaces de glissement S1 et S2 tendre vers zéro.

(15)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -60

-40 -20 0 20 40 60

la variation angle du pendule

temps (sec)

angle du pendule [deg]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-100 -50 0 50 100 150 200

la variation de la vitesse angulaire

temps (sec)

vitesse angulaire [deg/s]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1 0 1 2 3 4 5

la variation position du chariot

temps (sec)

position du chariot [m]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-4 -2 0 2 4 6 8

la variation vitesse du chariot

temps (sec)

vitesse du chariot [m/s]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

la variation de la surface S1(t)

temps (sec)

surface S1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-2 0 2 4 6 8 10

la variation de la surface S2(t)

temps (sec)

surface S2

Figure IV.9. Variation de la surface de glissement 1S et la surface 2S Figure IV.8. Variation des variables d’état

θ

(t),

θ

&(t),x(t)etx&(t)

(16)

On remarque que la variable z et la commande appliquée convergent vers zéro comme le montre la figure IV.10. La représentation des plans de phase x2 = f(x1) et x4 = f(x3) est à l’origine dans le régime permanant (figure IV.11).

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

la variation de la variable z

temps (sec)

la variable z

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30

la variation de la commande

temps (sec)

la commande u [N]

-1 0 1 2 3 4 5

-4 -2 0 2 4 6 8

plan de phase et droite de glissement s2

x(3)

x(4)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

plan de phase et droite de glissement s1

x(1)

x(2)

Figure IV.10. Variation de la variable z et la commande u

Figure IV.11. Plan de phase (x(1),x(2)) et la droite de glissement 1S , Plan de phase (x(3),x(4)) et la droite de glissement 2S

(17)

Les résultats de simulation avec une perturbation externe : d1(t)=d2(t)=0.5sin(t), données sur les figures IV.12- IV.13 représentent la convergence des états du système vers les points d’équilibres, ainsi que les deux surfaces de glissement S1 et S2 tendre vers zéro malgré la présence des perturbations.

On remarque que la variable z et la commande appliquée convergent vers zéro comme le montre la figure IV.14. La représentation des plans de phase x2 = f(x1) et x4 = f(x3) est à l’origine dans le régime permanant (figure IV.15).

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-60 -40 -20 0 20 40 60

la variation angle du pendule

temps (sec)

angle du pendule [deg]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-100 -50 0 50 100 150 200

la variation de la vitesse angulaire

temps (sec)

vitesse angulaire [deg/s]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1 0 1 2 3 4 5

la variation position du chariot

temps (sec)

position du chariot [m]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-4 -2 0 2 4 6 8

la variation vitesse du chariot

temps (sec)

vitesse du chariot [m/s]

Figure IV.12. Variation des variables d’état

θ

(t),

θ

&(t),x(t)etx&(t)

(18)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -6

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

temps (sec)

surface S1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-2 0 2 4 6 8

temps (sec)

surface S2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

la variation de la variable z

temps (sec)

la variable z

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30

la variation de la commande

temps (sec)

la commande u [N]

-1 0 1 2 3 4 5

-4 -2 0 2 4 6 8

plan de phase et droite de glissement s2

x(3)

x(4)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

plan de phase et droite de glissement s1

x(1)

x(2)

Figure IV.15. Plan de phase (x(1),x(2)) et la droite de glissement 1S , Plan de phase (x(3),x(4)) et la droite de glissement 2S

Figure IV.14. Variation de la variablez et la commande u Figure IV.13. Variation de la surface de glissement 1S et la surface 2S

(19)

5.1.2. Système B-B (Ball-Beam)

Le mouvement du système B-B (Ball-Beam) représenté par la figure IV.16 peut être décrit par les équations différentielles suivantes [43] :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

3

( ) ( )

22

sin

1

( ) )

4 3 4 2

2 1

t x g t x t x B t x

t x t x

t d t u t x

t x t x

=

= +

=

=

&

&

&

&

(IV.48)

avec

x x & x r x r &

=

=

=

=

2 3 4

1

θ , θ , ,

)

u (t

: La commande appliquée au B-B (Ball-Beam).

r

: La position de la balle.

θ

: L’angle de la barre.

Jb: Le moment d'inertie de la barre.

M: La masse de la balle.

R :Rayon de la balle.

2 2

MR J

B MR

b +

=

B = 0 . 7143 , J

b

= 2 * 10

6

kg . m

2

, M = 0 . 05 kg , R = 0 . 01 m , g = 9 . 81 m / s

2

(20)

L'objectif de la commande est de garder la balle au centre de la barre et la barre en position horizontale.

Les résultats de simulation sont donnés sur les figures suivantes pour une condition initiale

[ ]

T

x ( 0 ) = 1 . 0 , 0 , 1 . 0 , 0

, pour un régulateur par mode glissant flou dont les paramètres sont : c1 =5,c2 =0.5,K1 =15,Φ1 =0.5,Φz =5,zU =0.9425

Les figures IV.16 et IV.17 représentent la convergence des états du système vers les points d’équilibres, ainsi que les deux surfaces de glissement S1 et S2 tendre vers zéro.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-10 0 10 20 30 40 50 60

la variation angle du beam

temps (sec)

angle du beam [deg]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20

la variation de la vitesse angulaire

temps (sec)

vitesse angulaire [deg/s]

R

) (t

θ

r

) (t u

Figure IV.16. Schéma de principe du B-B (Ball-Beam)

(21)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.4

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

la variation position du ball

temps (sec)

position du ball [m]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2

la variation vitesse du ball

temps (sec)

vitesse du ball [m/s]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1 0 1 2 3 4 5

la variation de la surface S1(t)

temps (sec)

surface S1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1 -0.5 0 0.5

la variation de la surface S2(t)

temps (sec)

surface S2

On remarque que la variable z et la commande appliquée convergent vers zéro comme le montre la figure IV.18. La représentation des plans de phase x2 = f(x1) et x4 = f(x3) est à l’origine dans le régime permanant (figure IV.19).

Figure IV.16. Variation des variables d’état

θ

(t),

θ

&(t),r(t)etr&(t)

Figure IV.17. Variation de la surface de glissement 1S et la surface 2S

(22)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.2

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1

temps (sec)

la variable z

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-15 -10 -5 0 5

temps (sec)

la commande u [N]

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2

plan de phase et droite de glissement S2

x(3)

x(4)

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

plan de phase et droite de glissement S1

x(1)

x(2)

Les résultats de simulation avec une perturbation externe : d(t)=5sin(t), données sur les figures IV.20- IV.21 représentent la convergence des états du système vers les points d’équilibres, ainsi que les deux surfaces de glissement S1 et S2 tendre vers zéro malgré la présence des perturbations.

On remarque que la variable z et la commande appliquée convergent vers zéro comme le montre la figure IV.22. La représentation des plans de phase x2 = f(x1) et x4 = f(x3) est à l’origine dans le régime permanant (figure IV.23).

Figure IV.18. Variation de la variable z et la commande u

Figure IV.19. Plan de phase (x(1),x(2)) et la droite de glissement 1S , Plan de phase (x(3),x(4)) et la droite de glissement 2S

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